Wąski problem ucieczki

Aby zapoznać się z odcinkiem Fargo , zobacz The Narrow Escape Problem .

Problem wąskiej ucieczki jest wszechobecnym problemem w biologii , biofizyce i biologii komórkowej .

Formuła matematyczna jest następująca: cząstka Browna ( jon , cząsteczka lub białko ) jest ograniczona do ograniczonej domeny (przedziału lub komórki) odbijającą granicą, z wyjątkiem małego okienka, przez które może uciec. Problem wąskiej ucieczki polega na obliczeniu średniego czasu ucieczki. Ten czas rozchodzi się, gdy okno się kurczy, przez co obliczenia stają się pojedynczym problemem perturbacyjnym .

Kiedy ucieczka jest jeszcze bardziej rygorystyczna z powodu poważnych ograniczeń geometrycznych w miejscu ucieczki, problem wąskiej ucieczki staje się problemem strasznej cieśniny .

Problem wąskiej ucieczki został zaproponowany w kontekście biologii i biofizyki przez D. Holcmana i Z. Schussa, a później przez A. Singera i doprowadził do teorii wąskiej ucieczki w matematyce stosowanej i biologii obliczeniowej .

Sformułowanie

Ruch cząstki opisuje granica Smoluchowskiego równania Langevina :

$${\ Displaystyle dX_ {t} = {\ sqrt {2D}} \ dB_ {t} + {\ Frac {1} {\ gamma} }F(x)\,dt}$$

gdzie jest współczynnikiem dyfuzji $cząstki$ , jest współczynnikiem tarcia na jednostkę masy, siłą na jednostkę masy , $F (x)$$Displaystyle$ i $_$ ruchem . _

Średni czas pierwszego przejścia i równanie Fokkera-Plancka

Częstym pytaniem jest oszacowanie średniego czasu przebywania cząstki dyfundującej w ograniczonej domenie, $\ Omega}$ ucieknie ona przez małe absorbujące okno swoim $Displaystyle$ granica ${\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}$ . Czas jest szacowany asymptotycznie w granicy ${\textstyle \varepsilon = {\frac {|\częściowy \Omega _ {a}|}{|\częściowy \Omega |}}\ll 1}$

${$ gęstości prawdopodobieństwa ( ) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w pozycji $}$$displaystyle x}$ w czasie $t$ .

PDF spełnia równanie Fokkera-Plancka :

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x, t)F(x))}$$

z warunkiem początkowym

$${\ Displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, 0) = \ rho _ {0} (x) \,}$$

i mieszane warunki brzegowe Dirichleta – Neumanna ( ${\ displaystyle t> 0}$ )

$${\ Displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, t) = 0 {\ tekst {dla}} x \ w \ częściowe \ Omega _ {a}}$$

$${\ Displaystyle D {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy n}} p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ Frac {p _ {\ varepsilon} (x, t)} {\ gamma}} F ( x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$$

Funkcja

$${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = \ int _ {\ omega} \ int _ {0} ^ {\ infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$$

reprezentuje średni czas przebywania cząstki, uwarunkowany pozycją początkową ${\ displaystyle y}$ . Jest to rozwiązanie problemu wartości brzegowych

$$\ Displaystyle D \ Delta u _ {\ varepsilon} (y) + {\ Frac {1} {\ gamma}} F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$$

$${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = 0 {\ tekst {dla}} y \ w \ częściowe \ Omega _ {a}}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u _ {\ varepsilon} (y)} {\ częściowe n}} = 0 {\ tekst {dla}} y \ w \częściowym \Omega _{r}}$$

Rozwiązanie zależy od wymiaru domeny. Dla cząstki dyfundującej na dwuwymiarowym dysku

$${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = {\ Frac {A} {\ pi D}} \ ln {\ Frac {1 }{\varepsilon }}+O(1),}$$

gdzie $jest$ domeny. Funkcja nie zależy od położenia początkowego $ze$ z wyjątkiem małej warstwy granicznej w pobliżu granicy $względu$

Termin pierwszego rzędu ma znaczenie w wymiarze 2: dla okrągłego dysku o promieniu średni czas ucieczki cząstki rozpoczynającej się w środku wynosi ${\ displaystyle R}$

$${\ Displaystyle E (\ tau | x (0) = 0) = {\ Frac {R ^ {2}} {D}} \ lewo (\ log \ lewo ({\ Frac {1} {\ varepsilon}} \ po prawej)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\po prawej).}$$

Czas ucieczki uśredniony w odniesieniu do jednorodnego początkowego rozkładu cząstki jest określony wzorem

$${\ Displaystyle E (\ tau) = {\ Frac {R ^ {2}} {D}} \ lewo (\ log \ lewo ({\ Frac {1} {\ varepsilon}} \ prawej) + \ log 2+ {\frac {1}{8}}+O(\varepsilon)\right).}$$

Geometria małego otworu może wpływać na czas ucieczki: jeśli okno pochłaniające znajduje się w rogu kąta , to: ${\ displaystyle \ alpha}$

$${\ Displaystyle E \ tau = {\ Frac {|\ Omega |} {\ alfa D}} \ lewo [\ log {\ Frac {1} {\ varepsilon}} + O (1) \ prawo].}$$

${\ displaystyle E \ tau }$ dwuwymiarowej, czas ucieczki rośnie algebraicznie, a nie logarytmicznie: w dziedzinie ograniczonej między dwoma stycznymi okręgami, czas ucieczki wynosi: mi

$${\ Displaystyle E \ tau = {\ Frac {|\ Omega |} {(d-1) D}} \ lewo ({\ Frac {1} {\varepsilon}}+O(1)\right),}$$

gdzie d > 1 jest stosunkiem promieni. Wreszcie, gdy domena jest pierścieniem, czas ucieczki do małego otworu znajdującego się na wewnętrznym okręgu obejmuje drugi parametr, którym jest ${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {R_ {1} }{R_{2}}}<1,}$ stosunek promienia wewnętrznego do zewnętrznego, czyli czas ucieczki, uśredniony względem jednolitego rozkładu początkowego, wynosi:

$${\ Displaystyle E \ tau = {\ Frac {(R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2})} {D}} \ lewo [\ log {\ Frac {1} {\ varepsilon} }+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}} }\log {\frac {1}{\beta}}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon,\beta ^{4})R_{2} ^{2}.}$$

$zawiera$ dwa wyrazy asymptotycznego rozwinięcia $.$ jest pochłaniającej Przypadek $1$ pozostaje otwarty, a dla dziedzin ogólnych asymptotyczne rozszerzenie czasu ucieczki pozostaje problemem otwartym. Podobnie problem obliczania czasu ucieczki w pobliżu punktu wierzchołkowego w domenach trójwymiarowych. Dla ruchów Browna w polu sił

$${\ Displaystyle F (x) \ neq 0}$$

przerwa w widmie niekoniecznie jest mała między pierwszą a drugą wartością własną, w zależności od względnego rozmiaru małego otworu i barier siłowych, które cząstka musi pokonać, aby uciec. Strumień ucieczki niekoniecznie jest Poissonowski .

Wyniki analityczne

Twierdzenie, które wiąże problem ucieczki ruchu Browna z (deterministycznym) problemem równania różniczkowego cząstkowego, jest następujące.

Twierdzenie - Niech będzie domeną ograniczoną z gładką granicą $będzie$ Γ $\ Gamma}$$Displaystyle$ zamkniętym podzbiorem $częściowy \ Omega}$ . Dla każdego $} dla każdego$ pierwszym uderzeniem cząstki ${\ Displaystyle \ Gamma$$τ x {\ Displaystyle \ tau _$ { $.$$,$ że cząstka zaczyna się od $,$ ruchom Browna w się od Następnie średni czas pierwszego przejścia ${\ Displaystyle T (x): = \ mathbb {E} [\ tau _ {x}]}$ i jego wariancja, ${\ Displaystyle v (x): = \ mathbb {E} [(\ tau _ {x} -T (x)) ^ {2}]}$ są rozwiązaniami o następującej wartości granicznej problemy:

$${\ Displaystyle - \ Delta T = 2 {\ tekst {w}} \ Omega, ~ T = 0 {\ tekst {na }}\Gamma ,~\częściowe _{n}T=0{\text{on }}\częściowe \Omega \setminus \Gamma }$$

$${\ Displaystyle - \ Delta v = 2 \ vert \ nabla T \ vert ^ {2} {\ tekst {w}} \ Omega, ~ v =0{\text{ na }}\Gamma ,~\częściowe _{n}v=0{\text{ na }}\częściowe \Omega \setminus \Gamma }$$

Tutaj ${\ Displaystyle \ częściowe _ {n}: = n \ cdot \ nabla}$$pochodną$ w kierunku , zewnętrzną normalną do ${\ Displaystyle \ częściowe \ Omega.}$ Ponadto średnią wariancji można obliczyć ze wzoru

$${\ Displaystyle {\ bar {v}}: = {\ Frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {\ Omega} v (x )dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$$

Pierwsza część twierdzenia jest wynikiem klasycznym, natomiast średnią wariancję udowodnili w 2011 roku Carey Caginalp i Xinfu Chen.

Czas ucieczki był przedmiotem wielu badań wykorzystujących małą bramkę jako asymptotycznie mały parametr. Poniższy wynik w postaci zamkniętej daje dokładne rozwiązanie, które potwierdza te asymptotyczne formuły i rozszerza je na bramki, które niekoniecznie są małe.

Twierdzenie (Carey Caginalp i Xinfu Chen Formuła zamknięta) — W 2-D, z punktami identyfikowanymi przez liczby zespolone, niech

$${\ Displaystyle \ Omega: = \ lewo \ {re ^ {i \ theta} \ vert 0 \ równoważnik r <1, ​​{\ tekst {}} - \ varepsilon \ równoważnik \ teta \ równoważnik 2 \ pi - \ varepsilon \right\},~\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}}$$

Wtedy średni czas pierwszego przejścia dla , dla $}}$$Displaystyle z \ in {$ określony wzorem

$${\ Displaystyle T (z) = {\ Frac {1- \ vert z \ vert ^ {2}} {2}} + 2 \ log {\ lewo | {\ Frac {1-z + {\ sqrt {(1- ze^{-i\varepsilon})(1-ze^{i\varepsilon})}}}{2\sin {\frac {\varepsilon}{2}}}}\right|}}$$

Kolejny zestaw wyników dotyczy gęstości prawdopodobieństwa lokalizacji wyjścia.

Twierdzenie (Carey Caginalp i Xinfu Chen Probability Density) — Gęstość prawdopodobieństwa położenia cząstki w momencie jej wyjścia wyraża się wzorem

$$_ (e^{i\theta})={\begin{przypadków}0,&{\text{if}}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta}{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon}{2}}-\sin ^{2}{\ frac {\theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{przypadki}}}$$

Oznacza to, że dla dowolnego ( $\$$częściowy \ Omega$ \ Displaystyle \ \ Ruch Browna w $i$ odzwierciedlając, kiedy uderza, uciekając, gdy uderzy $,$ kończy się ucieczką z ${\ displaystyle$${\ displaystyle \ gamma}$ jest

$${\ Displaystyle P (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} {\ bar {j}} (y) dS_ {y}}$$

gdzie ${\ Displaystyle dS_ {y}}$ jest elementem powierzchniowym ${\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}$ w ${\ Displaystyle y \ w \ częściowe \ Omega}$ .

Symulacje ucieczki przed ruchem Browna

W symulacji występuje błąd losowy spowodowany statystycznym procesem próbkowania. Błąd ten można ograniczyć, odwołując się do centralnego twierdzenia granicznego i przy użyciu dużej liczby próbek. Występuje również błąd dyskretyzacji spowodowany przybliżeniem wielkości kroku do skończonych rozmiarów w przybliżeniu ruchu Browna. Można wtedy uzyskać wyniki empiryczne, ponieważ rozmiar kroku i rozmiar bramki są różne. Korzystając z podanego powyżej dokładnego wyniku dla konkretnego przypadku koła, można dokonać dokładnego porównania rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem numerycznym. To wyjaśnia różnicę między skończonymi krokami a ciągłą dyfuzją. Rozkład lokalizacji wyjść uzyskano również za pomocą symulacji dla tego problemu.

Zastosowania biologiczne

Stochastyczne reakcje chemiczne w mikrodomenach

Szybkość reakcji chemicznych jest odwrotnością wąskiego czasu ucieczki, który uogólnia klasyczny wzór Smoluchowskiego dla cząstek Browna znajdujących się w ośrodku nieskończonym. Opis Markowa może być użyty do oszacowania wiązania i niezwiązania z niewielką liczbą miejsc.

Linki zewnętrzne

• Matematyki Stosowanej i Biologii Obliczeniowej w Ecole Normale Superieure w Paryżu
• Publikacje i wykłady Carey Caginalp http://www.pitt.edu/~careycag/
• Dokument Comptes Rendus http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• Dokument ARiMR http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf