h-wektor

W kombinatoryce algebraicznej wektor h równania uproszczonego polytopu jest podstawowym niezmiennikiem polytopu, który koduje liczbę ścian o różnych wymiarach i pozwala wyrazić Dehna – Sommerville'a w szczególnie prostej formie. Charakterystyka zbioru h -wektorów uproszczonych polytopów została wymyślona przez Petera McMullena i udowodniona przez Lou Billera oraz Carla W. Lee i Richarda Stanleya ( g -twierdzenie ). Definicja h ma zastosowanie do dowolnych abstrakcyjnych uproszczonych kompleksów . Hipoteza g wektorów stwierdzała, że ​​dla kul uproszczonych wszystkie możliwe wektory h występują już wśród h granic wypukłych politopów uproszczonych. Udowodnił to w grudniu 2018 roku Karim Adiprasito .

Stanley wprowadził uogólnienie h -wektora, torycznego wektora h , który jest zdefiniowany dla dowolnie uszeregowanych posetów i udowodnił, że dla klasy posetów Eulera równania Dehna-Sommerville'a nadal obowiązują. Innym, bardziej kombinatorycznym uogólnieniem wektora h , które było szeroko badane, jest wektor flagowy h pozycji szeregowej. W przypadku pozycji Eulera można to bardziej zwięźle wyrazić za pomocą nieprzemiennego wielomianu w dwóch zmiennych zwanych cd -indeks .

Definicja

Niech Δ będzie abstrakcyjnym uproszczonym zespołem wymiaru d − 1 z f _i i -wymiarowymi ścianami i f ₋₁ = 1. Liczby te układają się w f -wektor Δ,

${\ Displaystyle f (\ delta) = (f_ {-1}, f_ {0}, \ ldots, f_ {d-1}).}$

Ważny przypadek szczególny występuje, gdy Δ jest granicą d -wymiarowego wypukłego polytopu.

Dla k = 0, 1, …, re , niech

${\ Displaystyle h_ {k} = \ suma _ {i = 0} ^ {k} (-1) ^ {ki} {\ binom {di} {ki}} f_ {i-1}.}$

Krotka

${\ Displaystyle h (\ delta) = (h_ {0}, h_ {1}, \ ldots, h_ {d})}$

nazywa się wektorem h Δ. W szczególności ${\ Displaystyle h_ {0} = 1}$ , ${\ Displaystyle h_ {1} = f_ {0} -d}$ i ${\ Displaystyle h_ {d} = (-1) ^ {d} (1- \ chi (\ Delta))}$ χ $\ Displaystyle \ chi (\ Delta)}$ jest cechą Eulera ${\ displaystyle \ Delta}$ . Wektor f i wektor h jednoznacznie określają się nawzajem poprzez zależność liniową

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} ( t-1)^{di}=\suma _{k=0}^{d}h_{k}t^{dk},}$

z czego wynika, że ${\ Displaystyle i = 0, \ kropka, d}$ ,

${\ Displaystyle f_ {i-1} = \ suma _ {k = 0} ^ {i} {\ binom {dk} {ik}} h_ {k}.}$

W szczególności ${\ Displaystyle f_ {d-1} = h_ {0} + h_ {1} + \ kropka + h_ {d}}$ . Niech R = k [Δ] będzie pierścieniem Stanleya-Reisnera Δ. Wtedy jego szereg Hilberta-Poincarégo można wyrazić jako

${\ Displaystyle P_ {R} (t) = \ suma _ {i = 0} ^ {d} {\ Frac {f_ {i-1} t ^ {i}} {(1-t) ^ {i}} }={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.}$

Motywuje to do zdefiniowania h -wektora skończenie wygenerowanej dodatnio stopniowanej algebry o wymiarze Krulla d jako licznika jej szeregu Hilberta – Poincarégo zapisanego mianownikiem ( 1 - t ) ^d .

Wektor h jest blisko spokrewniony z wektorem h ^* dla politopu wypukłej sieci, patrz wielomian Ehrharta .

Relacja powtarzalności

h ${\ Displaystyle \ textstyle h}$ -vector $)}$ można obliczyć z ${\ Displaystyle \ textstyle f}$ -wektor ${\ Displaystyle (f_ {-1}, f_ {0}, \ kropka, f_ {d-1})}$ korzystając z relacji rekurencyjnej

${\ Displaystyle h_ {0} ^ {i} = 1, \ qquad -1 \ równoważnik ja \ równoważnik d}$

${\ Displaystyle h_ {i + 1} ^ {i} = f_ {i}, \ qquad -1 \ równoważnik ja \ równoważnik d-1}$

${\ Displaystyle h_ {k} ^ {i} = h_ {k} ^ {i-1} -h_ {k-1} ^ {i-1}, \ qquad 1 \ równoważnik k\równik i\równoważnik d}$ .

$k \ równoważnik d$ ostatecznie ustawienie ≤ $Displaystyle \$ . W przypadku małych przykładów można użyć tej metody do szybkiego ręcznego obliczenia $wypełniając$ wpisy tablicy podobnej do trójkąta Pascala . Rozważmy na przykład kompleks graniczny ośmiościanu ${\ displaystyle \ textstyle \ Delta}$ . fa ${\ Displaystyle \ textstyle f}$ -wektor ${\ Displaystyle \ textstyle \ Delta}$ to ${\ Displaystyle \ textstyle (1,6,12,8)$ . Aby obliczyć -wektor ${\ Displaystyle$$\ Delta}$ , skonstruuj trójkątną tablicę, najpierw pisząc ${\ Displaystyle d + 2}$${\ Displaystyle \ textstyle 1$ s w dół lewej krawędzi i -wektor w dół prawej krawędzi ${\ displaystyle \ textstyle f}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} &&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\koniec {matrycy}}}$

(Ustawiliśmy $tablica była$ trójkątna). Następnie, zaczynając od góry, wypełnij każdy pozostały wpis, sąsiada z lewego górnego rogu od sąsiada z prawego górnego. W ten sposób generujemy następującą tablicę:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} i&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\koniec {macierz}}}$

Wpisy w dolnym rzędzie (poza końcowym $)$ to wpisy wektora ${\ displaystyle \ textstyle h}$ . Stąd wektor -wektor $textstyle$$\ Delta}$ to ${\ Displaystyle \ textstyle (1,3,3,1)$ .

Toryczny wektor h

Z dowolnie stopniowanym posetem P Stanley powiązał parę wielomianów f ( P , x ) i g ( P , x ). Ich definicja jest rekurencyjna w kategoriach wielomianów związanych z przedziałami [0, y ] dla wszystkich y ∈ P , y ≠ 1, postrzeganych jako uszeregowane pozety niższego rzędu (0 i 1 oznaczają minimalny i maksymalny element P ). Współczynniki f ( P , x ) tworzą toryczny h -wektor P . _ Gdy P jest posetem Eulera rzędu d + 1 takim, że P - 1 _jest uproszczone, toryczny wektor h pokrywa się ze zwykłym wektorem h skonstruowanym przy użyciu liczb fi elementów z P - 1 danego rzędu i + 1. W tym przypadku toryczny h -wektor P spełnia równania Dehna-Sommerville'a

${\ displaystyle h_ {k} = h_ {dk}.}$

Powodem przymiotnika „toryczny” jest związek wektora torycznego h z kohomologią przecięcia pewnej rzutowej rozmaitości torycznej X , gdy P jest zespołem granicznym wymiernego polytopu wypukłego. Mianowicie, składowe są wymiarami parzystych grup kohomologii X :

${\ Displaystyle h_ {k} = \ dim _ {\ mathbb {Q}} \ operatorname {IH} ^ {2k} (X, \ mathbb {Q} )}$

(nieparzyste przecięcia grup kohomologii X są równe zeru). Równania Dehna – Sommerville'a są przejawem dualizmu Poincarégo w kohomologii przecięcia X . Kalle Karu udowodnił, że toryczny h polytopu jest unimodalny, niezależnie od tego, czy polytop jest wymierny, czy nie.

Flaga h -wektor i cd -indeks

Intensywnie badano inne uogólnienie pojęć wektora f i wektora h wypukłego polytopu. Niech $łańcuch$ skończonym stopniowanym posetem rangi $n$ , tak że każdy maksymalny w ma n . Dla ${$ podzbioru $S$ _ $}$$Displaystyle \ alpha _ {P} (S$$)$ oznaczają liczbę łańcuchów w szeregi tworzą . Bardziej formalnie, niech

${\ Displaystyle rk: P \ do \ {0,1, \ ldots, n \}}$

$}$ funkcją rangi $się$ niech $będzie$ -rank $P$ wybranym subpozytem , który składa z elementów z których ranga jest w: ${\ displaystyle S}$ :

${\ Displaystyle P_ {S} = \ {x \ w P: rk (x) \ w S \}.}$

Wtedy ${\ Displaystyle \ alpha _ {P} (S)}$ jest liczbą maksymalnych łańcuchów w i funkcją ${\ Displaystyle P_ {S}}$

${\ Displaystyle S \ mapsto \ alfa _ {P} (S)}$

nazywa się flagą f - wektor P . Funkcja

${\ Displaystyle S \ mapsto \ beta _ {P} (S), \ quad \ beta _ {P} (S) = \ suma _ {T \ subseteq S} (-1) ^ {| S |-|T|}\alfa _{P}(S)}$

nazywa się flagą h -wektor $_$ _ Zgodnie z zasadą włączenia-wyłączenia ,

${\ Displaystyle \ alfa _ {P} (S) = \ suma _ {T \ subseteq S} \ beta _ {P} (T).}$

Flaga wektorów f - i h $-$ udoskonala zwykłe wektory f - i h - swojego zespołu rzędów : $\ Displaystyle \ Delta (P)$ }

${\ Displaystyle f_ {i-1} (\ Delta (P)) = \ suma _ {| S | = i} \ alfa _ {P} (S), \ quad h_ {i} (\ Delta (P)) =\suma _{|S|=i}\beta _{P}(S).}$

Flaga h -vector z $może$ być wyświetlana za pomocą wielomianu w nieprzemiennych a i b . Dla dowolnego podzbioru {1,…, n } zdefiniuj odpowiedni jednomian w a i b , ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle u_ {S} = u_ {1} \ cdots u_ {n}, \ quad u_ {i} = a {\ tekst {dla}} i \ notin S, u_ {i} = b {\ tekst {dla }}i\w S.}$

Wtedy nieprzemienna funkcja generująca dla flagi h -wektor P jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ Psi _ {P} (a, b) = \ suma _ {S} \ beta _ {P} (S) u_ {S}.}$

Z relacji między α _P ( S ) i β _P ( S ) nieprzemienna funkcja generująca dla flagi f -wektora P jest

${\ Displaystyle \ Psi _ {P} (a, a + b) = \ suma _ {S} \ alfa _ {P} (S) u_ {S}.}$

Margaret Bayer i Louis Billera ustalili najbardziej ogólne zależności liniowe, które zachodzą między składowymi wektora flagowego h eulerowskiej poset P .

Fine zauważył elegancki sposób wyrażenia tych relacji: istnieje nieprzemienny wielomian Φ _P ( c , d ), zwany indeksem cd dla P , taki, że

${\ Displaystyle \ Psi _ {P} (a, b) = \ Phi _ {P} (a + b, ab + ba).}$

Stanley udowodnił, że wszystkie współczynniki cd -index kompleksu brzegowego polytopu wypukłego są nieujemne. Przypuszczał, że to zjawisko pozytywności utrzymuje się w bardziej ogólnej klasie pozycji Eulera, którą Stanley nazywa kompleksami Gorensteina* i która obejmuje uproszczone sfery i pełne wachlarze. To przypuszczenie zostało udowodnione przez Kalle Karu. Kombinatoryczne znaczenie tych nieujemnych współczynników (odpowiedź na pytanie „co one liczą?”) pozostaje niejasne.

Dalsza lektura

•   Stanley, Richard (1996), Kombinatoryka i algebra przemienna , Progress in Mathematics, tom. 41 (wyd. 2), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9 .
•   Stanley, Richard (1997), Kombinatoryka wyliczeniowa , tom. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1 .