Wielomiany Abela

Wielomiany Abela w matematyce tworzą ciąg wielomianów , którego n- ty wyraz ma postać

{\ Displaystyle p_ {n} (x) = x (xan) ^ {n-1}.}

Sekwencja nosi imię Nielsa Henrika Abla (1802-1829), norweskiego matematyka.

Ten ciąg wielomianów jest typu dwumianowego : odwrotnie, każdy ciąg wielomianów typu dwumianowego można uzyskać z ciągu Abla w rachunku umbralnym .

Przykłady

Dla $a = 1$ wielomiany to (sekwencja A137452 w OEIS )

{\ Displaystyle p_ {0} (x) = 1;}

{\ Displaystyle p_ {1} (x) = x;}

{\ Displaystyle p_ {2} (x) = -2x + x ^ {2};}

{\ Displaystyle p_ {3} (x) = 9x-6x ^ {2} + x ^ {3};}

{\ Displaystyle p_ {4} (x) = -64x + 48x ^ {2} -12x ^ {3} + x ^ {4};}

Dla $a = 2$ wielomiany są

{\ Displaystyle p_ {0} (x) = 1;}

{\ Displaystyle p_ {1} (x) = x;}

{\ Displaystyle p_ {2} (x) = -4x + x ^ {2};}

{\ Displaystyle p_ {3} (x) = 36x-12x ^ {2} + x ^ {3};}

{\ Displaystyle p_ {4} (x) = -512x + 192x ^ {2} -24x ^ {3} + x ^ {4};}

{\ Displaystyle p_ {5} (x) = 10000x-4000x ^ {2}+600x ^ {3}-40x ^ {4}+ x ^ {5};}

{\ Displaystyle p_ {6} (x) = -248832x + 103680x ^ {2} -17280x ^ {3}+1440x ^ {4} -60x ^ {5} + x ^ {6};}

Rota, Gian-Carlo ; Shen, Jianhong; Taylor, Brian D. (1997). „Wszystkie wielomiany typu dwumianowego są reprezentowane przez wielomiany Abela” . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . Seria 4. 25 (3–4): 731–738. MR 1655539 . Zbl 1003.05011 .