Wielowymiarowy model probitowy

Ten artykuł dotyczy modelowania kilku skorelowanych wyników binarnych. Aby uzyskać informacje na temat modelowania pojedynczego zdarzenia z wieloma wynikami, zobacz wielomianowy probit .

W statystyce i ekonometrii wielowymiarowy model probitowy jest uogólnieniem modelu probitowego używanego do wspólnego oszacowania kilku skorelowanych wyników binarnych. Na przykład, jeśli uważa się, że decyzje o wysłaniu co najmniej jednego dziecka do szkoły publicznej i decyzja o głosowaniu za budżetem szkoły są skorelowane (obie decyzje są binarne), to wielowymiarowy model probitowy byłby odpowiedni do łącznego przewidywania tych decyzji. dwie opcje na podstawie indywidualnej. JR Ashford i RR Sowden początkowo zaproponowali podejście do wielowymiarowej analizy probitowej. Siddhartha Chib i Edward Greenberg rozszerzyli tę ideę, a także zaproponowali metody wnioskowania oparte na symulacji dla wielowymiarowego modelu probitowego, który uprościł i uogólnił estymację parametrów.

Przykład: probit dwuwymiarowy

$probitowym$ istnieje tylko jedna binarna zmienna zależna więc używana jest $tylko$ zmienna utajona . Natomiast w dwuwymiarowym modelu probitowym istnieją dwie binarne zmienne zależne i ${\ Displaystyle$$Y_ {2}}$ , więc istnieją dwie zmienne latentne: $Displaystyle Y_ {1}^{*}}$ i ${\ Displaystyle Y_ {2} ^ {*}}$ . Zakłada się, że każda obserwowana zmienna przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy leżąca u jej podstaw zmienna ciągła latentna przyjmuje wartość dodatnią:

$_ \text{inaczej}},\end{przypadków}}}$

$\ Displaystyle Y_ {2} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} Y_ {2}^{*}>0,\\0&{\text{inaczej}},\end{przypadki}}}$

z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} Y_ {1} ^ {*} = X_ {1} \ beta _ {1 }+\varepsilon _{1}\\Y_{2}^{*}=X_{2}\beta _{2}+\varepsilon _{2}\end{przypadki}}}$

I

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\\ varepsilon _ {2} \ koniec {bmatrix}} \mid X\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{bmatrix }}\Prawidłowy)}$

Dopasowanie dwuwymiarowego $\ displaystyle$$.$ wartości i Aby to zrobić, należy zmaksymalizować prawdopodobieństwo modelu . To prawdopodobieństwo jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}) = {\ duży (} \ prod & P (Y_ {1} = 1, Y_ { 2}=1\mid \beta _{1},\beta_{2})^{Y_{1}Y_{2}}P(Y_{1}=0,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})Y_{2}}\\[8pt]&{}\qquad P(Y_{1}=1,Y_{2} =0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}(1-Y_{2})}P(Y_{1}=0,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})(1-Y_{2})}{\Duży )}\end{wyrównane}}}$

$Y_ {1} ^ {*}}$ zmiennych ukrytych funkcjach prawdopodobieństwa i wzięcie logów daje 1 $Displaystyle$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma & {\ duży (} Y_ {1} Y_ {2} \ ln P (\ varepsilon _ {1}> -X_ {1} \ beta _ {1} \ varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln P(\varepsilon _{ 1}<-X_{1}\beta_{1},\varepsilon_{2}>-X_{2}\beta_{2})\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1 }(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2} )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{ 1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2}){\Big )}.\end{wyrównane}}}$

Po pewnym przepisaniu funkcja logarytmu wiarygodności przyjmuje postać:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma & {\ Duży (} Y_ {1} Y_ {2} \ ln \ Phi (X_ {1} \ beta _ {1}, X_ {2} \ beta _ {2 },\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},X_{2 }\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln \Phi (X_{1}\beta _{ 1},-X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},\rho ){\Big )}.\end{wyrównane}}}$

Zauważ, że $skumulowaną$ funkcją dystrybucji dwuwymiarowego rozkładu normalnego . $displaystyle Y_ {1}}$$i$ w logarytmu wiarygodności są obserwowanymi zmiennymi równymi jeden lub zero.

Probit wielowymiarowy

W ogólnym przypadku $} = (y_ {1},. .., y_ {j}), \ (i = 1, ..., N)}$ gdzie możemy przyjąć $wybory$ i jako jednostki lub obserwacje, prawdopodobieństwo zaobserwowania ${\ displaystyle j}$ wybór ${\ Displaystyle \ mathbf {y_ {i}}}$ jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr (\ mathbf {y_ {i}} | \ mathbf {X_ {i} \ beta} \ Sigma) = & \ int _ {A_ {J}} \ cdots \ int _{A_{1}}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta} ,\Sigma )dy_{1}^{*}\kropki dy_{J}^{*}\\\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta} ,\Sigma )=&\int \mathbb {1} _{y^{ *}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta} ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^ {*}\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle A = A_ {1} \ razy \ cdots \ razy A_ {J}}$ i

${\ Displaystyle A_ {j} = {\ rozpocząć {przypadki} (- \ infty, 0] i y_ {j} = 0 \\ ( 0,\infty )&y_{j}=1\end{przypadki}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ log \ Pr (\$ log

Z wyjątkiem tego $, że$ nie ma rozwiązania całek w równaniu logarytmu wiarygodności w postaci Zamiast tego do symulacji prawdopodobieństw wyboru można zastosować metody symulacyjne. Metody wykorzystujące próbkowanie ważności obejmują algorytm GHK (Geweke, Hajivassilou, McFadden i Keane), AR (akceptacja-odrzucenie), metoda Sterna. Istnieją również podejścia MCMC do tego problemu, w tym CRB (metoda Chiba z Rao-Blackwellization), CRT (Chib, Ritter, Tanner), ARK (jądro akceptacji-odrzucenia) i ASK (jądro adaptacyjnego próbkowania). W Probit-LMM zaproponowano podejście wariacyjne skalujące się do dużych zbiorów danych (Mandt, Wenzel, Nakajima i in.).

Dalsza lektura

• Greene, William H., Analiza ekonometryczna , wydanie siódme, Prentice-Hall, 2012.