Wspornik Frölichera-Nijenhuisa

W matematyce nawias Frölichera – Nijenhuisa jest rozszerzeniem nawiasu Liego pól wektorowych na formy różniczkowe o wartościach wektorowych na rozmaitości różniczkowalnej .

Jest to przydatne w badaniu połączeń , zwłaszcza połączenia Ehresmanna , jak również w bardziej ogólnych badaniach projekcji w wiązce stycznej . Został wprowadzony przez Alfreda Frölichera i Alberta Nijenhuisa (1956) i jest powiązany z pracą Schoutena (1940).

Jest spokrewniony, ale nie taki sam jak wspornik Nijenhuis-Richardson i wspornik Schouten-Nijenhuis .

Definicja

Niech Ω*( M ) będzie snopkiem algebr zewnętrznych form różniczkowych na gładkiej rozmaitości M . Jest to stopniowana algebra , w której formy są stopniowane według stopnia:

${\ Displaystyle \ Omega ^ {*} (M) = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ infty} \ Omega ^ {k} (M).}$

Stopniowane wyprowadzenie stopnia ℓ jest odwzorowaniem

${\ Displaystyle D: \ Omega ^ {*} (M) \ do \ Omega ^ {* + l} (M)}$

który jest liniowy względem stałych i spełnia

${\ Displaystyle D (\ alfa \ klin \ beta) = D (\ alfa) \ klin \ beta + (-1) ^ {\ ell \ stopień (\ alfa)} \ alfa \ klin D (\ beta).}$

Zatem w szczególności iloczyn wewnętrzny z wektorem definiuje stopniowane wyprowadzenie stopnia ℓ = −1, podczas gdy pochodna zewnętrzna jest stopniowanym wyprowadzeniem stopnia ℓ = 1.

Przestrzeń wektorowa wszystkich wyprowadzeń stopnia ℓ jest oznaczona przez Der _ℓ Ω*( M ). Bezpośrednią sumą tych przestrzeni jest stopniowana przestrzeń wektorowa , której jednorodne składowe składają się ze wszystkich stopniowanych pochodnych danego stopnia; jest to oznaczone

${\ Displaystyle \ operatorname {Der} \, \ Omega ^ {*} (M) = \ bigoplus _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Der} _ {k} \, \ Omega ^ { *}(M).}$

Tworzy to stopniowaną superalgebrę Liego pod antykomutatorem wyprowadzeń zdefiniowanych na jednorodnych wyprowadzeniach D ₁ i D _{2 odpowiednio} stopni d ₁ i d ₂ , przez

${\ Displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} \ circ D_ {2} - (- 1) ^ {d_ {1} d_ {2}} D_ {2} \ circ D_ {1 }.}$

Każda postać różniczkowa K o wartościach wektorowych w Ω ^k ( M , TM ) z wartościami w wiązce stycznej M definiuje stopniowane wyprowadzenie stopnia k - 1, oznaczone przez i _K i nazywane operatorem wstawiania . Dla ω ∈ Ω ^ℓ ( M ),

${\ Displaystyle i_ {K} \, \ omega (X_ {1}, \ kropki, X_ {k + \ ell -1}) = {\ Frac {1} {k! (\ ell -1)!}} \ suma _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {znak}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\kropki ,X_ {\ sigma (k)}, X_ {\ sigma (k + 1)}, \ kropki, X_ {\ sigma (k + \ ell -1)})}$

Nijenhuisa -Lie wzdłuż K ∈ Ω ^k ( M , TM ) jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d\,{\circ }\,i_{K}-(-1)^{k-1}i_{K}{\circ }\,d}$

gdzie d jest pochodną zewnętrzną, a i _K jest operatorem wstawiania.

Nawias Frölichera – Nijenhuisa jest definiowany jako unikalna postać różniczkowa o wartościach wektorowych

${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] _ {FN}: \ Omega ^ {k} (M, \ operatorname {T} M) \ razy \ Omega ^ {\ ell} (M, \ operatorname {T} M) \to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}}$

takie że

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[K, L] _ {FN}} = [{\ mathcal {L}} _ {K}, {\ mathcal {L}} _ {L}].}$

Stąd,

${\ Displaystyle [K, L] _ {FN} = - (-1) ^ {kl} [L, K] _ {FN}.}$

⁰ Jeśli k = 0, więc K ∈ Ω ( M , T M ) jest polem wektorowym, odzyskuje się zwykły wzór na homotopię pochodnej Liego

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {K} = [d, i_ {K}] = d \, {\ circ} \, i_ {K} + i_ {K} \, {\ circ} \, D.}$

Jeśli k = ℓ =1, więc K,L ∈ Ω ¹ ( M , T M ), mamy dla dowolnych pól wektorowych X i Y

${\ Displaystyle [K, L] _ {FN} (X, Y) = [KX, LY] + [LX, KY] + (KL + LK) [X, Y] -K ([LX, Y] + [ X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).}$

⁰ Jeśli k =0 i ℓ =1, więc K=Z ∈ Ω ( M , T M ) jest polem wektorowym i L ∈ Ω ¹ ( M , T M ), dla dowolnego pola wektorowego X

${\ Displaystyle [Z, L] _ {FN} (X) = [Z, LX] -L [Z, X].}$

Podany jest wyraźny wzór na nawias Frölichera – Nijenhuisa (dla form φ i ψ oraz pól wektorowych X i Y ) ${\ Displaystyle \ phi \ otimes X}$ i ${\ Displaystyle \ psi \ otimes Y}$ przez

${\ Displaystyle \ lewo. \ prawo. [\ phi \ otimes X, \ psi \ otimes Y] _ {FN} = \ phi \ klin \ psi \ otimes [X, Y] + \ phi \ klin {\ mathcal {L }}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \ klin i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\klin d\psi \otimes X).}$

Wyprowadzenia pierścienia form

Każde wyprowadzenie Ω ^* ( M ) można zapisać jako

${\ Displaystyle i_ {L} + {\ mathcal {L}} _ {K}}$

dla unikalnych elementów K i L z Ω ^* ( M , TM ) . Nawias Liego tych wyprowadzeń jest podany w następujący sposób.

• Wyprowadzenia postaci tworzą superalgebrę Liego wszystkich wyprowadzeń dojeżdżających do $.$ d Nawias jest podany przez

${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {K_ {1}}, {\ mathcal {L}} _ {K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}}$

gdzie nawias po prawej stronie to nawias Frölichera-Nijenhuisa. W szczególności $stopniowaną$ Frölichera – Nijenhuisa definiuje algebry na która Liego pól wektorowych

• ⁰ Wyprowadzenia postaci $Ω$ superalgebrę Liego wszystkich wyprowadzeń znikających na funkcjach M ) . Nawias jest podany przez

${\ Displaystyle [i_ {L_ {1}}, i_ {L_ {2}}] = i_ {[L_ { 1},L_{2}]^{\land }}}$

gdzie nawias po prawej stronie to nawias Nijenhuisa-Richardsona .

• Nawias wyprowadzeń różnych typów jest określony przez

${\ Displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {K} ,i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}} dla K$

w Ω k ⁽ M , T M ), L w Ω ^l+1 ( M , TM ) .

Aplikacje

Tensor Nijenhuisa prawie złożonej struktury J jest nawiasem Frölichera – Nijenhuisa J ze sobą samym. Prawie złożona struktura jest złożoną strukturą wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Nijenhuisa wynosi zero.

Za pomocą nawiasu Frölichera – Nijenhuisa można zdefiniować krzywiznę i współkrzywiznę postaci 1 o wartościach wektorowych, która jest rzutem . To uogólnia pojęcie krzywizny połączenia .

Istnieje powszechne uogólnienie nawiasu Schoutena – Nijenhuisa i nawiasu Frölichera – Nijenhuisa; szczegółowe informacje można znaleźć w artykule na temat wspornika Schouten – Nijenhuis .

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956), „Teoria form różniczkowych o wartościach wektorowych. Część I.”, Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360 .
• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1960), „Niezmienność operacji na postaci wektorowej w ramach odwzorowań”, Communicationes Mathematicae Helveticae , 34 : 227–248, doi : 10.1007/bf02565938 .
• PW Michor (2001) [1994], „Nawias Frölichera – Nijenhuisa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Schouten, JA (1940), "Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen", Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452 .