Wyrafinowany monoid

W matematyce monoid wyrafinowania jest monoidem przemiennym M takim, że dla dowolnych elementów a ₀ , a ₁ , b ₀ , b ₁ z M takich, że ₀₀ a + a ₁ = b + b ₁ , istnieją elementy c ₀₀ , c ₀₁ , c ₁₀ , c ₁₁ z M takie, że ₀ a = c ₀₀ + do ₀₁ , za ₁ = do ₁₀ + do ₁₁ , ₀ b = do ₀₀ + do ₁₀ , i b ₁ = do ₀₁ + do ₁₁ .

przemienny monoid M jest stożkowy , jeśli x + y = 0 implikuje, że x = y = 0, dla dowolnych elementów x , y z M .

Podstawowe przykłady

Semilattyka łączenia z zerem jest monoidem wyrafinowania wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozdzielna .

Każda grupa abelowa jest monoidem wyrafinowania.

Dodatni stożek G ⁺ częściowo uporządkowanej grupy abelowej G jest monoidem udoskonalenia wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą interpolacyjną , przy czym ta ostatnia oznacza, że ​​dla dowolnych elementów a ₀ , a ₁ , b ₀ , b ₁ z G takich, że a _i ≤ b _j dla każdego i, j<2 istnieje element x z G taki, że a _ja ≤ x ≤ b _jot dla wszystkich ja, j<2 . Dzieje się tak na przykład w przypadku, gdy G jest uporządkowany w sieci .

Typ izomorfizmu algebry Boole'a B jest klasą wszystkich algebr Boole'a izomorficznych z B . (Jeśli chcemy, aby to był zbiór , ograniczmy się do algebr Boole'a o randze teoriomnogościowej niższej niż B .) Klasa typów izomorfizmu algebr Boole'a, obdarzonych dodatkiem określonym przez ${\ Displaystyle [X] + [Y] = [X \ razy Y]}$ (dla dowolnych algebr Boole'a X i Y , gdzie ${\ Displaystyle [X]}$ oznacza typ izomorfizmu X ), jest stożkowym monoidem wyrafinowania.

Miary Vaught w algebrach Boole'a

Dla algebry Boole'a A i monoidu przemiennego M mapa μ : A → M jest miarą , jeśli μ(a)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 , oraz μ(a ∨ b)=μ(a)+ μ(b) zawsze, gdy a i b są rozłączne (to znaczy a ∧ b=0 ), dla dowolnego a, b w A . Mówimy dodatkowo, że μ jest miarą Vaught (za Robertem Lawsonem Vaught ), lub V-miara , jeśli dla wszystkich c w A i wszystkich x,y w M takich, że μ(c)=x+y , istnieją rozłączne a, b w A takie, że c=a ∨ b , μ(a )=x i μ(b)=y .

Element e w przemiennym monoidzie M jest mierzalny (względem M ), jeśli istnieje algebra Boole'a A i V-miara μ : A → M taka, że ​​μ(1)=e ---mówimy, że μ miary e . Mówimy, że M jest mierzalne , jeśli jakikolwiek element M jest mierzalny (względem M ). Oczywiście każdy mierzalny monoid jest stożkowym monoidem udoskonalenia.

Hans Dobbertin udowodnił w 1983 r., Że każdy stożkowy monoid uszlachetniający zawierający co najwyżej ℵ ₁ elementów jest mierzalny. Udowodnił również, że każdy element w co najwyżej policzalnym stożkowym monoidzie wyrafinowania jest mierzony za pomocą unikalnej (do izomorfizmu) miary V na unikalnej, co najwyżej policzalnej algebrze Boole'a. Podniósł tam problem, czy jakikolwiek monoid stożkowy jest mierzalny. Friedrich Wehrung odpowiedział na to przecząco w 1998 roku. Kontrprzykłady mogą mieć dowolną liczność większą lub równą ℵ ₂ .

Niestabilna K-teoria regularnych pierścieni von Neumanna

Dla pierścienia (z jednostką) R , oznaczmy przez FP( R ) klasę skończenie generowanych R -modułów rzutowych prawostronnych . Równoważnie, obiekty FP( R ) są bezpośrednimi sumami wszystkich modułów postaci Rn ^jako , gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, widzianą prawy moduł nad sobą. Oznacz przez typ izomorfizmu obiektu $X$ w FP . Wtedy zbiór V(R) wszystkich typów izomorfizmów członków FP ( R ), obdarzonych dodatkiem określonym przez ${\ Displaystyle [X] + [Y] = [X \ oplus Y]}$ , jest stożkowym monoidem przemiennym . Ponadto, jeśli R jest regularnością von Neumanna , to V(R) jest monoidem udoskonalenia. Ma jednostkę zamówienia ${\ Displaystyle [R]}$ . Mówimy, że V(R) koduje niestabilną K-teorię R .

Na przykład, jeśli R jest pierścieniem podziału , to elementy FP( R ) są dokładnie skończenie wymiarowymi prawymi przestrzeniami wektorowymi nad R , a dwie przestrzenie wektorowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar . Stąd V (R) jest izomorficzne z monoidem ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+} = \ {0,1,2, \ kropki \}}$ wszystkich liczb naturalnych, wyposażonych w zwykłe dodawanie.

Nieco bardziej skomplikowany przykład można uzyskać w następujący sposób. Algebra macierzowa nad polem F jest skończonym $n$ pierścieni postaci , pierścieniem wszystkich macierzy kwadratowych z wpisami w F dla zmiennej liczby całkowite n . Bezpośrednią granicą algebr macierzowych nad F jest lokalna algebra macierzowa nad F . Każda lokalnie macierzowa algebra jest regularna von Neumanna. Dla dowolnej lokalnej algebry macierzowej R , V(R) jest dodatnim stożkiem tak zwanej grupy wymiarowej . Z definicji grupa wymiarów to częściowo uporządkowana grupa abelowa , której podstawowy porządek jest skierowany , której dodatni stożek jest monoidem udoskonalenia i który jest nieperforowany , litera oznaczająca, że ​​mx≥0 implikuje, że x≥0 dla dowolnego elementu x z G i dowolna dodatnia liczba całkowita m . Każda uproszczona , to znaczy częściowo uporządkowana grupa $jest$ postaci , grupą wymiarową Effros , Handelman i Shen udowodnili w 1980 r., że grupy wymiarowe są dokładnie bezpośrednimi granicami grup uproszczonych, gdzie mapy przejścia są pozytywnymi homomorfizmami. Wynik ten został już udowodniony w 1976 roku, w nieco innej formie, przez PA Grilleta. Elliott udowodnił w 1976 r., Że dodatni stożek dowolnej policzalnej bezpośredniej granicy grup uproszczonych jest izomorficzny z V(R) , dla jakiegoś lokalnie macierzystego pierścienia R . Wreszcie Goodearl i Handelman udowodnili w 1986 r., Że dodatni stożek dowolnej grupy wymiarowej zawierającej co najwyżej ℵ ₁ elementów jest izomorficzny z V(R) , dla jakiegoś lokalnie macierzowego pierścienia R (nad dowolnym polem).

₀ Wehrung udowodnił w 1998 r., że istnieją grupy wymiarów z jednostką rzędu, których stożka dodatniego nie można przedstawić jako V(R) , dla regularnego pierścienia von Neumanna R . Podane przykłady mogą mieć dowolną liczność większą lub równą ℵ ₂ . Otwartym problemem jest to, czy jakikolwiek stożkowy monoid o udoskonaleniu zawierający co najwyżej ℵ ₁ (lub nawet ℵ ) elementów można przedstawić jako V ( R ) dla R von Neumanna regularnego.

Dalsza lektura

• Dobbertin, Hans (1986), „Miary Vaught i ich zastosowania w teorii sieci”, Journal of Pure and Applied Algebra , 43 (1): 27–51, doi : 10.1016 / 0022-4049 (86) 90003-4
• Goodearl, KR (1995), „regularne pierścienie von Neumanna i problemy rozkładu sumy bezpośredniej”, grupy i moduły abelowe (Padwa, 1994) , Matematyka i jej zastosowania, tom. 343, Springer, Dordrecht, s. 249–255, doi : 10.1007/978-94-011-0443-2_20
•   Goodearl, KR (1986), Częściowo uporządkowane grupy abelowe z interpolacją , badania matematyczne i monografie, tom. 20, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, ISBN 0-8218-1520-2
•   Goodearl, KR (1991), regularne pierścienie Von Neumanna. Wydanie drugie , Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, ISBN 0-89464-632-X
• Tarski, Alfred (1949), Algebry kardynalne. Z dodatkiem: Cardinal Products of Isomorphism Types, Bjarni Jónsson i Alfred Tarski , Oxford University Press, Nowy Jork