Wzór śladowy Behrenda

W geometrii algebraicznej wzór śladu Behrenda jest uogólnieniem wzoru śladu Grothendiecka-Lefschetza na gładki stos algebraiczny nad skończonym polem, przypuszczany w 1993 i udowodniony w 2003 przez Kai Behrenda . W odróżnieniu od klasycznej formuła nalicza punkty w sposób „na stos ”; bierze pod uwagę obecność nietrywialnych automorfizmów.

Pragnienie formuły wynika z faktu, że ma ona zastosowanie do stosu modułów głównych wiązek na krzywej nad skończonym polem (w niektórych przypadkach pośrednio, poprzez stratyfikację Hardera – Narasimhana , ponieważ stos modułów nie jest typu skończonego). Zobacz stos modułów głównych wiązek i zawarte w nich odniesienia, aby uzyskać dokładne sformułowanie w tym przypadku.

Pierre Deligne znalazł przykład, który pokazuje, że wzór może być interpretowany jako swego rodzaju wzór śladu Selberga .

Dowód formuły w kontekście formalizmu sześciu operacji opracowanego przez Yvesa Laszlo i Martina Olssona podaje Shenghao Sun.

Sformułowanie

Z definicji, jeśli C jest kategorią, ${\ displaystyle C}$ której każdy obiekt ma skończenie wiele automorfizmów, liczba punktów w jest oznaczona przez do

${\ Displaystyle \ # C = \ suma _ {p} {1 \ ponad \ # \ nazwa operatora {Aut} (p)}}$

z sumą przebiegającą przez przedstawicieli p wszystkich klas izomorfizmu w C . (Generalnie szereg może się różnić.) Wzór stwierdza: dla gładkiego stosu algebraicznego $„$ skończonego typu nad skończonym polem ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1}: X \ do X}$ arytmetycznym ” Frobeniusem , czyli odwrotność zwykłego geometrycznego Frobeniusa we wzorze Grothendiecka, ${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ # X (\ mathbb {F} _ {q}) = q ^ {\ dim X} \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {i} \ operatorname {tr } \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

W tym przypadku kluczowe jest, aby kohomologia stosu odnosiła się do gładkiej topologii (nie etale).

Gdy X jest rozmaitością, kohomologia gładka jest taka sama jak kohomologia etale i dzięki dualności Poincarégo jest to równoważne ze wzorem śladowym Grothendiecka. (Ale dowód wzoru śladowego Behrenda opiera się na wzorze Grothendiecka, więc nie obejmuje to wzoru Grothendiecka).

Prosty przykład

Rozważ ${\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m} = [\ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {q} / \ mathbb {G} _ {m}]}$ , stos klasyfikacyjny schematu grup multiplikatywnych (to znaczy ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} (R) = R ^ {\ razy}}$ ) . Z definicji ${\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m} (\ mathbb {F} _ {q})}$ jest kategorią główną ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ -wiązki nad ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {q}}$ , który ma tylko jedną klasę izomorfizmu (ponieważ wszystkie takie wiązki są trywialne według twierdzenia Langa ). $-izomorfizmów$ grupa automorfizmów to $,$${\ Displaystyle \ # \ mathbb {G} _ {m} (\ mathbb {F} _ {q}) = \ # \ mathbb {F} _ {q} ^ { \times }=q-1}$ ​​liczba wynosi .

$obliczyć$ możemy l kohomologię . Zauważmy, że w układzie topologicznym mamy $\ Displaystyle B \ mathbb {C} ^ {\ razy} \ cong \ mathbb {CP} ^ {\ infty}} ($ gdzie ${ \displaystyle B\mathbb {C} ^{\times}}$ oznacza teraz zwykłą przestrzeń klasyfikującą grupy topologicznej), której wymierny pierścień kohomologii jest pierścieniem wielomianowym w jednym generatorze ( twierdzenie Borela ), ale nie będziemy tego używać bezpośrednio. Jeśli chcemy pozostać w świecie geometrii algebraicznej, możemy zamiast tego „przybliżyć” $rzutowe$ o coraz większym wymiarze Rozważymy więc mapę $mathbb {P} ^ {N$ przez $}$ -pakiet odpowiadający ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1).}$ Ta mapa indukuje izomorfizm w kohomologii w stopniach do 2N . Zatem parzyste (odp. Nieparzyste) liczby Bettiego $B sol {\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}$ odp. 0), a l -adyczna reprezentacja Galois na (2n) -tej kohomologii grupa jest n- tą potęgą charakteru cyklotomicznego. Druga część jest konsekwencją faktu $,$ że kohomologia jest klasy cyklu algebraicznego. To pokazuje że

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ geq 0} (-1) ^ {i} \ operatorname {tr} \ lewo (\ phi ^ {-1}; H ^ {i} (B \ mathbb {G} _ { m},\mathbb {Q} _{l}}\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\ ułamek {q}{q-1}}.}$

Zauważ to

${\ Displaystyle \ dim B \ mathbb {G} _ {m} = \ dim \ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

Mnożąc przez $otrzymuje$ się przewidywaną

Notatki

• Shenghao, słońce (2011). „Seria L stosów Artina na skończonych polach”. Algebra i teoria liczb . 6 : 47–122. arXiv : 1008.3689 . doi : 10.2140/ant.2012.6.47 .