Wzmocniony solidny

Rysunek 1: Mały sześcian materiału z prętami zbrojeniowymi. Sześcian jest pęknięty, a materiał znajdujący się nad pęknięciem jest usuwany, aby pokazać zbrojenie przechodzące przez pęknięcie.

W mechanice ciał stałych wzmocnione ciało stałe to kruchy materiał wzmocniony ciągliwymi prętami lub włóknami. Powszechnym zastosowaniem jest żelbet . Kiedy beton pęka, siła rozciągająca w pęknięciu nie jest już przenoszona przez beton, lecz jedynie przez stalowe pręty zbrojeniowe. Żelbet będzie nadal przenosił obciążenie, pod warunkiem że zapewnione zostanie wystarczające zbrojenie. Typowym problemem projektowym jest znalezienie najmniejszej ilości zbrojenia, która może przenieść naprężenia na małej kostce (ryc. 1). Można to sformułować jako optymalizacyjny .

Problem z optymalizacją

Zbrojenie jest skierowane w kierunku x, y i z. Współczynnik zbrojenia definiuje $się$ w przekroju pręta zbrojeniowego jako powierzchnię zbrojenia na całej powierzchni , $która jest powierzchnią materiału kruchego$ powierzchnia

{\ Displaystyle \ rho _ {x}}

=

{\ Displaystyle A_ {rx}}

/

{\ Displaystyle A_ {x}}

{\ Displaystyle \ rho _ {y}}

=

{\ Displaystyle A_ {ry}}

/

{\ Displaystyle A_ {y}}

{\ Displaystyle \ rho _ {z}}

=

{\ Displaystyle A_ {rz}}

/

{\ displaystyle A_{z}}

W przypadku betonu zbrojonego współczynniki zbrojenia wynoszą zwykle od 0,1% do 2%. Granicę plastyczności zbrojenia $.$ przez Tensor naprężenia kruchego materiału wynosi

{\ Displaystyle \ lewo [{\ początek {macierz} \ sigma _ {xx} - \ rho _ {x} f_ {y} & \ sigma _ {xy} i \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {xy }&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\ rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}

.

Można to interpretować jako tensor naprężenia materiału kompozytowego minus naprężenia przenoszone przez zbrojenie przy plastyczności. To sformułowanie jest dokładne dla współczynnika zbrojenia mniejszego niż 5%. Zakłada się, że materiał kruchy nie ma wytrzymałości na rozciąganie. (W przypadku żelbetu założenie to jest konieczne, ponieważ beton ma małe pęknięcia skurczowe.) Dlatego też głównymi naprężeniami kruchego materiału musi być ściskanie. Głównymi naprężeniami tensora naprężeń są jego wartości własne .

Problem optymalizacji formułuje się następująco. Minimalizuj z $zastrzeżeniem$ $_$ $wartości$ kruchego _ mniejszy lub równy zero ( ujemny-półokreślony ). Dodatkowe ograniczenia to ≥ 0, $\ rho _ {y}} ≥ 0$ , ${\ displaystyle \ rho _ {x}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {z}}$ ≥ 0.

Rozwiązanie

Rozwiązanie tego problemu można przedstawić w formie najbardziej odpowiedniej do obliczeń ręcznych. Można to przedstawić w formie graficznej. Można go również przedstawić w formie najbardziej odpowiedniej do implementacji komputerowej. W tym artykule przedstawiono tę drugą metodę.

Istnieje 12 możliwych rozwiązań tego problemu poprzez wzmocnienie, które przedstawiono w poniższej tabeli. Każdy wiersz zawiera możliwe rozwiązanie. Pierwsza kolumna zawiera numer rozwiązania. Druga kolumna zawiera warunki, dla których rozwiązanie jest ważne. Kolumny 3, 4 i 5 zawierają wzory do obliczania współczynników zbrojenia.

	Stan	${\ Displaystyle \ rho _ {x}}$ ${\ Displaystyle f_ {y}}$	${\ Displaystyle \ rho _ {y}}$ ${\ Displaystyle f_ {y}}$	${\ Displaystyle \ rho _ {z}}$ ${\ Displaystyle f_ {y}}$
1	${\ Displaystyle I_ {1}}$ ≤ 0, ${\ Displaystyle I_ {2}}$ ≥ 0, ${\ Displaystyle I_ {3}}$ ≤ 0	0	0	0
2	$\ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle I_ {1} (\ sigma _ {yy} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} ^ {2}) -I_ {3}} ≤$ > 0 ≤ 0 ${\ Displaystyle I_ {2} (\ sigma _ {yy} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} ^ {2}) - I_{3}(\sigma _{yy}+\sigma _{zz})}$ ≥ 0	${\ Displaystyle {\ Frac {I_ {3}} \ sigma _ {yy} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} ^ {2}} }}$	0	0
3	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {xz} ^ {2}}$ > 0 ${\ Displaystyle I_ {1} (\ sigma _ {xx} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {xz} ^ {2}) -I_ {3}} ≤$ ≤ 0 ${\ Displaystyle I_ {2} (\ sigma _ {xx} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {xz} ^ {2}) - I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{zz})}$ ≥ 0	0	${\ Displaystyle {\ Frac {I_ {3}} {\ sigma _ {xx} \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {xz} ^ {2}} }}$	0
4	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {xy} ^ {2}}$ > 0 ${\ Displaystyle I_ {1} (\ sigma _ {xx} \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {xy} ^ {2}) -I_ {3}}$ ≤ 0 ${\ Displaystyle I_ {2} (\ sigma _ {xx} \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {xy} ^ {2}) - I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})}$ ≥ 0	0	0	${\ Displaystyle {\ Frac {I_ {3}} {\ sigma _ {xx} \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {xy} ^ {2}} }}$
5	${\ displaystyle \ sigma _ {xx} <0}$	0	${\ Displaystyle \ sigma _ {yy} - {\ Frac {\ sigma _ {xy} ^ {2}} {\ sigma _ {xx}}} + \| \ sigma _ {yz} - {\ Frac {\ sigma _ {xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}\|}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} - {\ Frac {\ sigma _ {xz} ^ {2}} {\ sigma _ {xx}}} + \| \ sigma _ {yz} - {\ Frac {\ sigma _ {xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}\|}$
6	${\ displaystyle \ sigma _ {yy}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} - {\ Frac {\ sigma _ {xy} ^ {2}} {\ sigma _ {yy}}} + \| \ sigma _ {xz} - {\ Frac {\ sigma _ {yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}\|}$	0	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} - {\ Frac {\ sigma _ {yz} ^ {2}} {\ sigma _ {yy}}} + \| \ sigma _ {xz} - {\ Frac {\ sigma _ {yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}\|}$
7	${\ displaystyle \ sigma _ {zz}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} - {\ Frac {\ sigma _ {xz} ^ {2}} {\ sigma _ {zz}}} + \| \ sigma _ {xy} - {\ Frac {\ sigma _ {yz}\sigma _{xz}}{\sigma _{zz}}}\|}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {yy} - {\ Frac {\ sigma _ {yz} ^ {2}} {\ sigma _ {zz}}} + \| \ sigma _ {xy} - {\ Frac {\ sigma _ {xz}\sigma _{yz}}{\sigma _{zz}}}\|}$	0
8	${\ Displaystyle \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xz} + \ sigma _ {xy}}$ ≥ 0 ${\ Displaystyle \ sigma _ {xz} \ sigma _ {xy} + \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xy} + \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xz}}$ ≥ 0	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} + \ sigma _ {xz} + \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {yy} + \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} + \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xz}}$
9	${\ Displaystyle - \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xz} + \ sigma _ {xy}}$ ≥ 0 ${\ Displaystyle - \ sigma _ {xz} \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xy} + \ sigma _ {yz} \ sigma _ { xz}}$ ≥ 0	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} - \ sigma _ {xz} + \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xz}}$
10	${\ Displaystyle \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xz} - \ sigma _ {xy}}$ ≥ 0 ${\ Displaystyle \ sigma _ {xz} \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xz}}$ ≥ 0	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} - \ sigma _ {xz} - \ sigma _ {xy}}$	$\ Displaystyle \ sigma _ {yy} + \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} + \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xz}}$
11	${\ Displaystyle - \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xz} - \ sigma _ {xy}}$ ≥ 0 ${\ Displaystyle - \ sigma _ {xz} \ sigma _ {xy} + \ sigma _ {yz} \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {yz} \ sigma _ { xz}}$ ≥ 0	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} + \ sigma _ {xz} - \ sigma _ {xy}}$	$\ Displaystyle \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {yz} - \ sigma _ {xy}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} - \ sigma _ {yz} + \ sigma _ {xz}}$
12	${\ Displaystyle \ sigma _ {xy} \ sigma _ {xz} \ sigma _ {yz} <0}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} - {\ Frac {\ sigma _ {xz} \ sigma _ {xy}} {\ sigma _ {yz}}}}$	$\ Displaystyle \ sigma _ {yy} - {\ Frac {\ sigma _ {yz} \ sigma _ {xy}} {\ sigma _ {xz}}}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} - {\ Frac {\ sigma _ {yz} \ sigma _ {xz}} {\ sigma _ {xy}}}}$

i $_$ $niezmiennikami$ $.$ naprężenia _ _ _

Algorytm uzyskania prawidłowego rozwiązania jest prosty. Oblicz współczynniki zbrojenia każdego możliwego rozwiązania spełniającego warunki. Dalej ignoruj rozwiązania ze współczynnikiem zbrojenia mniejszym od zera. $Oblicz$ wartości i $_$ $,$ ta _ jest najmniejszy. Główne naprężenia w kruchym materiale można obliczyć jako wartości własne tensora naprężenia kruchego materiału, na przykład poprzez Metoda Jacobiego .

Wzory można łatwo sprawdzić, zastępując współczynniki wzmocnienia w tensorze naprężenia materiału kruchego i obliczając niezmienniki. Pierwszy niezmiennik musi być mniejszy lub równy zero. Drugi niezmiennik musi być większy lub równy zero. Zapewniają one warunki z kolumny 2. W przypadku rozwiązań od 2 do 12 trzeci niezmiennik musi wynosić zero.

Przykłady

Poniższa tabela przedstawia obliczone współczynniki zbrojenia dla 10 tensorów naprężeń. $Zastosowana$ plastyczności zbrojenia wynosi 500 N/mm². Gęstość masy prętów zbrojeniowych wynosi 7800 kg/m ³ . $.$ tabeli obliczone naprężenie materiału kruchego $ilość$ zbrojenia.

	${\ displaystyle \ sigma _ {xx}}$	$\ displaystyle \ sigma _ {yy}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {zz}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {yz}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {xz}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {xy}}$	${\ displaystyle \ rho _ {x}}$	${\ displaystyle \ rho _ {y}}$	${\ displaystyle \ rho _ {z}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {m}}$	${\ displaystyle m_ {r}}$
1	1 N/mm²	2 N/mm²	3 N/mm²	-4 N/mm²	3 N/mm²	-1 N/mm²	1,00%	1,40%	2,00%	-10,65 N/mm²	343 kg/m ³
2	-5	2	3	4	3	1	0,00	1,36	1,88	-10.31	253
3	-5	-6	3	4	3	1	0,00	0,00	1,69	-10.15	132
4	-5	-6	-6	4	3	1	0,00	0,00	0,00	-10.44	0
5	1	2	3	-4	-3	-1	0,60	1,00	2.00	-10,58	281
6	1	-2	3	-4	3	2	0,50	0,13	1,80	-10.17	190
7	1	2	3	4	2	-1	0,40	1,00	1,80	-9.36	250
8	2	-2	5	2	-4	6	2.40	0,40	1,40	-15.21	328
9	-3	-7	0	2	-4	6	0,89	0,00	0,57	-14,76	114
10	3	0	10	0	5	0	1,60	0,00	3.00	-10.00	359

Bezpieczne przybliżenie

Rozwiązanie problemu optymalizacyjnego można przybliżyć zachowawczo.

${\ Displaystyle \ rho _ {x} f_ {y}}$ ≤ ${\ Displaystyle \ sigma _ {xx} + | \ sigma _ {xy} | + | \ sigma _ {xz} |}$

${\ displaystyle \ rho _ {y} f_ {y}}$ ≤ ${\ Displaystyle \ sigma _ {yy} + | \ sigma _ {xy} | + | \ sigma _ {yz} |}$

${\ displaystyle \ rho _ {z} f_ {y}}$ ≤ ${\ Displaystyle \ sigma _ {zz} + | \ sigma _ {xz} | + | \ sigma _ {yz} |}$

Można to udowodnić w następujący sposób. Dla tej górnej granicy charakterystyczny wielomian tensora naprężenia materiału kruchego wynosi

${\ Displaystyle \ lambda ^ {3} + 2 (|\ sigma _ {yz} | + | \ sigma _ {xz} | + | \ sigma _ {xy} |) \ lambda ^ {2} + 3 (|\ sigma _{xz}||\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}||\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}||\sigma _{xz}|)\ lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$ ,

który nie ma dodatnich pierwiastków ani wartości własnych.

Przybliżenie jest łatwe do zapamiętania i można je wykorzystać do sprawdzenia lub zastąpienia wyników obliczeń.

Rozszerzenie

Powyższe rozwiązanie może być bardzo przydatne przy projektowaniu zbrojenia; ma jednak pewne praktyczne ograniczenia. Jeśli problem zostanie rozwiązany za pomocą optymalizacji wypukłej , można również uwzględnić następujące aspekty :

Wiele tensorów naprężeń w jednym punkcie ze względu na wielokrotne obciążenia konstrukcji zamiast tylko jednego tensora naprężeń
Wiązanie nałożone na szerokość pęknięć na powierzchni konstrukcji
Naprężenie ścinające w pęknięciu (blokada kruszywa)
Zbrojenie w innych kierunkach niż x, y i z
Pręty zbrojeniowe, które zostały już umieszczone w procesie projektowania zbrojenia
Cała konstrukcja zamiast jednej małej materialnej kostki po kolei
Duży współczynnik zbrojenia
Wzmocnienie kompresyjne

Bary w dowolnym kierunku

Pręty zbrojeniowe mogą mieć inne kierunki niż kierunek x, y i z. W przypadku prętów działających w jednym kierunku, tensor naprężenia materiału kruchego oblicza się ze wzoru

${\ Displaystyle \ lewo [{\ początek {macierz} \ sigma _ {xx} i \ sigma _ {xy} i \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {xy} i \ sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{ y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\ cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )& \cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

gdzie $y$ kątami słupków z osią x W ten sam sposób można dodać pręty w innych kierunkach.

Wykorzystanie

Często budowniczowie konstrukcji żelbetowych wiedzą z doświadczenia, gdzie umieścić pręty zbrojeniowe. Narzędzia komputerowe mogą to wspomóc, sprawdzając, czy proponowane wzmocnienie jest wystarczające. W tym celu kryterium napięcia,

Wartości własne z ${\ Displaystyle \ lewo [{\ początek {macierz} \ sigma _ {xx} - \ rho _ {x} f_ {y} & \ sigma _ {xy} i \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {xy }&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\ rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$ powinno być mniejsze lub równe zero.

jest przepisany na,

Wartości własne ${\ Displaystyle \ lewo [{\ początek {matryca} {\ Frac {\ sigma _ {xx}} {\ rho _ {x} f_ {y}}} i {\ Frac {\ sigma _ {xy}} {{ \sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{ z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{ \frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{ z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{ \frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$ będzie mniejsze lub równe jeden.

Ta ostatnia macierz jest tensorem wykorzystania. Największą wartością własną tego tensora jest wykorzystanie (sprawdzenie jedności), które można wyświetlić na wykresie konturowym konstrukcji dla wszystkich kombinacji obciążeń związanych ze stanem granicznym nośności .

Na przykład naprężenie w pewnym miejscu konstrukcji wynosi ${\ displaystyle \ sigma _ {xx}}$ = 4 N/mm², ${\ displaystyle \ sigma _ {yy}}$ = -10 N/mm² , ${\ Displaystyle \ sigma _ {zz}}$ = 3 N / mm², ${\ Displaystyle \ sigma _ {yz}}$ = 3 N / mm², ${\ Displaystyle \ sigma _ {xz }}$ = -7 N / mm², ${\ Displaystyle \ sigma _ {xy}}$ = 1 N/mm². Granica plastyczności zbrojenia wynosi $.$ N/mm² Proponowane wzmocnienie wynosi 0,1%, ${\ displaystyle \ rho _ {x}} =$ 1,4 %, ${\ displaystyle \ rho _ {y}}$ = 1,9 ${\ displaystyle \ rho _ {z}}$ %. Wartości własne tensora wykorzystania wynoszą -20,11, -0,33 i 1,32. Wykorzystanie wynosi 1,32. Oznacza to, że pręty są przeciążone i potrzebne jest 32% więcej zbrojenia.

Połączone zniszczenie betonu na ściskanie i ścinanie można sprawdzić za pomocą kryterium Mohra-Coulomba zastosowanego do wartości własnych tensora naprężenia materiału kruchego.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ sigma _ {1}} {f_ {t}}} + {\ Frac {\ sigma _ {3}} {f_ {c}}}}$ ≤ 1,

gdzie jest największym naprężeniem głównym, $sigma$ { \ displaystyle \ $_ {3}}$ jest najmniejszym naprężeniem głównym, $c}}$ wytrzymałość na ściskanie (wartość ujemna) i jest fikcyjną wytrzymałością na rozciąganie opartą na eksperymentach ściskania $i$

Pęknięcia w betonie można sprawdzić, zastępując granicę plastyczności $tensorze$ wykorzystania naprężeniem pręta, przy którym występuje maksymalna szerokość pęknięcia (To naprężenie pręta zależy również od średnicy pręta, rozstawu prętów i otuliny prętów . ) Jest oczywiste, że szerokości pęknięć wymagają sprawdzenia tylko na powierzchni konstrukcji pod kątem stanów naprężeń wynikających z kombinacji obciążeń związanych ze stanem granicznym użytkowalności .

Zobacz też

^ Andreasen BS, Nielsen MP, Armiering af beton I det tredimesionale tilfælde, Bygningsstatiske meddelelser, tom. 5 (1985), nr 2-3, s. 25-79 (w języku duńskim).
^ Nielsen MP, Hoang LC, Analiza granic i plastyczność betonu, wydanie trzecie, CRC Press, 2011.
^ ^a ^b Foster SJ, Marti P., Mojsilovic N., Design of Reinforced Concrete Solids Using Stress Analysis, ACI Structural Journal, listopad-grudzień. 2003, s. 758-764.
^ Hoogenboom PCJ, De Boer A., „Obliczanie zbrojenia dla litego betonu”, Heron, tom. 53 (2008), nr 4. s. 247-271.
^ Hoogenboom PCJ, De Boer A., „Obliczanie optymalnego zbrojenia betonu w trzech wymiarach”, Proceedings of EURO-C 2010, Computational Modeling of Concrete Structures, s. 639-646, redaktorzy Bicanic i in. Wydawca CRC Press, Londyn.

[A-1] Andreasen BS, Nielsen MP, Armiering af beton I det tredimesionale tilfælde, Bygningsstatiske meddelelser, tom. 5 (1985), nr 2-3, s. 25-79 (w języku duńskim).

[N-2] Nielsen MP, Hoang LC, Analiza granic i plastyczność betonu, wydanie trzecie, CRC Press, 2011.

[F-3] Foster SJ, Marti P., Mojsilovic N., Design of Reinforced Concrete Solids Using Stress Analysis, ACI Structural Journal, listopad-grudzień. 2003, s. 758-764.

[H1-4] Hoogenboom PCJ, De Boer A., „Obliczanie zbrojenia dla litego betonu”, Heron, tom. 53 (2008), nr 4. s. 247-271.

[H2-5] Hoogenboom PCJ, De Boer A., „Obliczanie optymalnego zbrojenia betonu w trzech wymiarach”, Proceedings of EURO-C 2010, Computational Modeling of Concrete Structures, s. 639-646, redaktorzy Bicanic i in. Wydawca CRC Press, Londyn.