Yff centrum kongruencji

W geometrii środek kongruencji Yff jest specjalnym punktem związanym z trójkątem. Ten szczególny punkt jest środkiem trójkąta , a Peter Yff zainicjował badanie tego środka trójkąta w 1987 roku.

Yff środkowy trójkąt trójkąta ABC

izocelizer

Równoważnikiem kąta A w trójkącie ABC jest prosta przechodząca przez punkty P 1 i Q 1 , gdzie P 1 leży na AB , a Q 1 na AC , tak że trójkąt AP 1 Q 1 jest trójkątem równoramiennym . Izocelizerem kąta A jest prosta prostopadła do dwusiecznej kąta A . Isoscelizery zostały wynalezione przez Petera Yffa w 1963 roku.

Trójkąt środkowy Yff

Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Niech P 1 Q 1 będzie izocelizerem kąta A , P 2 Q 2 będzie izocelizerem kąta B , a P 3 Q 3 będzie izocelizerem kąta C . Niech A'B'C' będzie trójkątem utworzonym przez trzy izocelizery. Cztery trójkąty A'P 2 Q 3 , Q 1 B'P 3 , P 1 Q 2 C' i A'B'C' są zawsze podobne .

Istnieje unikalny zestaw trzech izocelizerów P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 taki , że cztery trójkąty A ' P 2 Q 3 , Q 1 B ' P 3 , P 1 Q 2 C' i A „B'C” są przystające . W tym szczególnym przypadku trójkąt Trójkąt A'B'C' utworzony przez trzy izocelizery nazywa się środkowym trójkątem Yff trójkąta ABC .

Okrąg opisany na środkowym trójkącie Yff nazywa się środkowym okręgiem Yff tego trójkąta.

Yff centrum kongruencji

Animacja przedstawiająca ciągłe kurczenie się centralnego trójkąta Yff do środka kongruencji Yff. Animacja pokazuje również ciągłe rozszerzanie się środkowego trójkąta Yff, aż trzy zewnętrzne trójkąty zredukują się do punktów na bokach trójkąta.

Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Niech P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 będą izocelizerami kątów A , B , C takimi, że utworzony przez nie trójkąt A'B'C' jest środkowym trójkątem Yff trójkąta ABC . Trzy izocelizery P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 są w sposób ciągły przesunięte równolegle tak, że trzy trójkąty A'P 2 Q 3 , Q 1 B'P 3 , P 1 Q 2 C' są zawsze przystające do siebie, dopóki trójkąt A'B'C' utworzony przez przecięcia izocelizerów redukuje się do punktu. Punkt, do którego redukuje się trójkąt A'B'C', nazywany jest środkiem Yff przystawania trójkąta ABC .

Nieruchomości

Dowolny trójkąt ABC jest trójkątem utworzonym przez linie styczne zewnętrznie do trzech okręgów środkowego trójkąta Yff trójkąta ABC .
  • Trójliniowe współrzędne środka kongruencji Yff to ( sec( A /2 ) : sec ( B /2 ), sec ( C /2 ).
  • Dowolny trójkąt ABC jest trójkątem utworzonym przez linie styczne zewnętrznie do trzech okręgów środkowego trójkąta Yff trójkąta ABC .
  • Niech I będzie środkiem trójkąta ABC . Niech D będzie punktem na boku BC takim, że ∠ BID = ∠ DIC , E punktem na boku CA takim, że ∠ CIE = ∠ EIA , a F punktem na boku AB takim, że ∠ AIF = ∠ FIB . Następnie linie AD . BE i CF są zbieżne w centrum kongruencji Yff. Fakt ten daje geometryczną konstrukcję do lokalizowania środka kongruencji Yff.
  • Wspomagane komputerowo wyszukiwanie właściwości trójkąta środkowego Yff przyniosło kilka interesujących wyników dotyczących właściwości trójkąta środkowego Yff.
Uogólnienie centrum kongruencji Yff

Uogólnienie

Geometryczna konstrukcja lokalizacji środka kongruencji Yff ma interesujące uogólnienie. Uogólnienie zaczyna się od dowolnego punktu P na płaszczyźnie trójkąta ABC . Następnie takie punkty D , E , F po bokach BC , CA , AB , że ∠ BPD = ∠ DPC , ∠ CPE = ∠ EPA i ∠ APF = ∠ FPB . Uogólnienie twierdzi, że linie AD , BE , CF są równoczesne.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Yff_center_of_congruence&oldid=1060851248 ”