Złożona algebra Liego

W matematyce złożona algebra Liego jest algebrą Liego na liczbach zespolonych.

Biorąc pod uwagę złożoną algebrę Liego ${$ jej koniugat jest złożoną algebrą Liego z tą samą podstawową rzeczywistą przestrzenią wektorową, ale sol $Displaystyle {\ overline {\ mathfrak {g}}}}$ gdzie ${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ działając jako $= - 1 {\ displaystyle -i}$ zamiast. Jako prawdziwa algebra Liego, złożona algebra Liego $.$ trywialnie izomorficzna ze swoim koniugatem Złożona algebra Liego jest izomorficzna ze swoim koniugatem wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza formę rzeczywistą (i mówi się, że jest zdefiniowana na liczbach rzeczywistych).

Prawdziwa forma

Biorąc pod uwagę złożoną algebrę Liego $mathfrak$ mówi się, że prawdziwa algebra Liego ${g}} _ {0}} {\ mathfrak {g$ rzeczywistą formą sol $}}$ $Displaystyle {\$ $} \ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , jeśli złożoność jest izomorficzna z $do {\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C$ .

Forma rzeczywista jest abelowa (odp. Nilpotent, $odp.$ , półprosta) wtedy i tylko wtedy, gdy jest abelowa ( ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}}$ nilpotentny, rozwiązywalny, półprosty). Z drugiej strony, forma rzeczywista $jest$ prosta wtedy i tylko wtedy, gdy prosta lub $}}}$ $displaystyle {$ ma postać ${\ Displaystyle {\ mathfrak {s}} \ razy {\ overline {\ mathfrak {s}}}}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}}$ są proste i są wzajemnymi koniugatami.

Istnienie postaci rzeczywistej w złożonej algebrze Lie $}$ , że jest izomorficzne ze swoim koniugatem; ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}$ rzeczywiście, jeśli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ czasami _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C } = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus ja {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ , to niech ${\ Displaystyle \ tau: {\ mathfrak {g}} \ do {\ overline {\ mathfrak {g}}}}$ oznacza izomorfizm liniowy wywołany przez złożony koniugat, a następnie ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}}$

{\ Displaystyle \ tau (i (x + iy)) = \ tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)}

,

$jest$ oznacza, że $.$ rzeczywistości -liniowym izomorfizmem

I odwrotnie, załóżmy, że istnieje -liniowy izomorfizm $}{\overline {\mathfrak {g}}}}$ $do$ ${\ Displaystyle \ tau: {\ mathfrak {g}}} {\ overset {\ sim} {\$ ; bez utraty ogólności możemy założyć, że jest to funkcja identyczności w podstawowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej. Następnie zdefiniuj ${g}} | \ tau (z) = z \}}$ mathfrak rzeczywista algebra Liego. Każdy element ${\ Displaystyle$ sol ${\ mathfrak {g}}}$ można zapisać jednoznacznie ${\ Displaystyle z = 2 ^ {- 1} (z + \ tau (z)) + i2 ^ {- 1} (i \ tau (z) -iz)}$ . $i \ tau (z) -iz) = -iz + i \ tau (z)}$ ( i podobnie ${\ Displaystyle \ tau}$ naprawia ${\ Displaystyle z + \ tau (z)}$ . Stąd ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus i {\ mathfrak {g}} _ {0}}$ ; tj. jest formą rzeczywistą ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$

Zespolona algebra Liego zespolonej grupy Liego

Niech $złożoną$ algebrą Liego, czyli algebrą Liego $złożonej$ grupy . Niech będzie podalgebrą Cartana z podgrupy Lie odpowiadającej ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ $}$ H $H$ $h}}}$ $displaystyle$ ; koniugaty nazywane $są$ Cartana .

Załóżmy, że istnieje rozkład ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {n}} ^ {-} \ oplus {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {n}}^{+}}$ podane przez wybór dodatnich pierwiastków. Następnie mapa wykładnicza definiuje izomorfizm od zamkniętej $podgrupy$ do zamkniętej podgrupy $podzbiór G}$ . Podgrupa Lie ${\ Displaystyle B \ podzbiór G}$ odpowiadająca podalgebrze borelowskiej ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {n }} ^ {+}}$ jest domknięty i jest półbezpośrednim iloczynem ${\ displaystyle H}$ i ${\ displaystyle U}$ ; koniugaty nazywane są $podgrupami$ .

Notatki

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
Knapp, AW (2002). Grupy kłamstw poza wprowadzeniem . Postęp w matematyce. Tom. 120 (wyd. 2). Boston·Bazylea·Berlin: Birkäuser. ISBN 0-8176-4259-5 . .
Serre, Jean-Pierre (2001). Złożone algebry półprostych kłamstw . Berlin: Springer. ISBN 3-5406-7827-1 .