Zakrywający lemat

W podstawach matematyki stosuje się lemat pokrywający , aby udowodnić, że nieistnienie pewnych dużych kardynałów prowadzi do istnienia kanonicznego modelu wewnętrznego , zwanego modelem rdzenia , czyli w pewnym sensie maksymalnego i zbliżonego do struktury wszechświat von Neumanna V. Zasłaniający lemat twierdzi, że przy pewnym szczególnym założeniu anty-dużej kardynał, model podstawowy istnieje i jest maksymalny w pewnym sensie, który zależy od wybranego dużego kardynała. Pierwszy taki wynik został udowodniony przez Ronalda Jensena dla konstruowalnego wszechświata przy założeniu, że 0^# nie istnieje, co jest obecnie znane jako twierdzenie Jensena o pokryciu .

Przykład

Na przykład, jeśli nie ma modelu wewnętrznego dla mierzalnego kardynała , to model rdzeniowy Dodda – Jensena, K ^DJ jest modelem rdzeniowym i spełnia właściwość pokrywającą , czyli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru x liczb porządkowych istnieje y takie, że y ⊃ x , y ma taką samą liczność jak x , a y ∈ K ^DJ . (Jeśli 0^# nie istnieje, to K ^DJ = L .)

Wersje

Jeśli istnieje podstawowy model K (i nie ma kardynałów Woodina), to

Jeśli K nie ma liczb kardynalnych ω ₁ -Erdős, to dla określonego przeliczalnego (w K) i definiowalnego w K ciągu funkcji od liczb porządkowych do liczb porządkowych, każdy zbiór liczb porządkowych zamknięty pod tymi funkcjami jest sumą przeliczalnej liczby zbiorów w K Jeśli L=K, to są to po prostu prymitywne funkcje rekurencyjne.
Jeśli K nie ma mierzalnych liczb kardynalnych, to dla każdego nieprzeliczalnego zbioru x liczb porządkowych istnieje y ∈ K takie, że x ⊂ y i |x| = |y|.
Jeśli K ma tylko jedną mierzalną liczbę kardynalną κ, to dla każdego nieprzeliczalnego zbioru x liczb porządkowych istnieje y ∈ K[C] takie, że x ⊂ y i |x| = |y|. Tutaj C jest albo puste, albo generyczne Prikry nad K (więc ma typ porządkowy ω i jest współkońcowe w κ) i unikalne, z wyjątkiem skończonego segmentu początkowego.
Jeśli K nie ma niedostępnej granicy mierzalnych kardynałów i nie ma odpowiedniej klasy mierzalnych kardynałów, to istnieje maksymalny i unikalny (z wyjątkiem skończonego zbioru liczb porządkowych) zbiór C (nazywany systemem nieodróżnialnych) dla K taki, że dla każdego ciągu S w K miary jeden zestaw składający się z jednego zestawu dla każdego mierzalnego kardynała, C minus ∪S jest skończony. Zauważ, że każde κ \ C jest albo skończone, albo generyczne Prikry dla K w κ, z wyjątkiem członków C poniżej mierzalnego kardynała poniżej κ. Dla każdego nieprzeliczalnego zbioru x liczb porządkowych istnieje y ∈ K[C] takie, że x ⊂ y i |x| = |y|.
Dla każdego nieprzeliczalnego zbioru x liczb porządkowych istnieje zbiór C liczb nierozróżnialnych dla całkowitych przedłużaczy na K taki, że istnieje y ∈ K[C] i x ⊂ y oraz |x| = |y|.
K prawidłowo oblicza następniki liczb kardynalnych w liczbie pojedynczej i słabo zwartej ( Właściwość słabego pokrycia ). Ponadto, jeśli |κ| > ω ₁ , wtedy kofinalność((κ ⁺ ) ^K ) ≥ |κ|.

Przedłużacze i nieodróżnialne

W przypadku modeli podstawowych bez nakładających się całkowitych przedłużaczy systemy elementów nierozróżnialnych są dobrze znane. Chociaż (jeśli K ma niedostępną granicę mierzalnych kardynałów) system może zależeć od zbioru, który ma być pokryty, jest dobrze określony i unikalny w słabszym sensie. Jednym z zastosowań pokrycia jest zliczanie liczby (sekwencji) elementów nierozróżnialnych, co daje optymalne dolne granice dla różnych niepowodzeń hipotezy liczby pojedynczej . Na przykład, jeśli K nie ma nakładających się całkowitych przedłużaczy, a κ jest pojedynczą mocną granicą, a 2 ^κ = κ ⁺⁺ , to κ ma porządek Mitchella co najmniej κ ⁺⁺ w K. I odwrotnie, niepowodzenie pojedynczej hipotezy kardynalnej może można otrzymać (w rozszerzeniu rodzajowym) z κ gdzie o(κ) = κ ⁺⁺ .

W przypadku modeli podstawowych z nakładającymi się całkowitymi przedłużeniami (to znaczy z kardynałem silnym do mierzalnego), systemy elementów nieodróżnialnych są słabo poznane, a aplikacje (takie jak słabe pokrycie) mają tendencję do unikania elementów nierozróżnialnych, a nie do ich analizy.

Dodatkowe właściwości

Jeśli K istnieje, to każdy regularny kardynał Jónssona jest Ramseyem w K. Każdy kardynał liczby pojedynczej, który jest regularny w K, jest mierzalny w K.

Ponadto, jeśli model podstawowy K(X) istnieje powyżej zbioru X liczb porządkowych, to ma omówione powyżej właściwości pokrywające powyżej X.

Mitchell, William (2010), „Lemat pokrywający”, Handbook of Set Theory , Springer, s. 1497–1594, doi : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_19 , ISBN 978-1-4020-4843-2