Zestaw symetrii

Elipsa (czerwona), jej ewolucja (niebieska) i jej zbiór symetrii (zielony i żółty) . oś środkowa to tylko zielona część zestawu symetrii. Pokazano jeden dwustyczny okrąg.

W geometrii zestaw symetrii jest metodą przedstawiania lokalnych symetrii krzywej i może być używany jako metoda przedstawiania kształtu obiektów poprzez znajdowanie szkieletu topologicznego . Oś środkowa , podzbiór zbioru symetrii, to zbiór krzywych, które z grubsza biegną wzdłuż środka obiektu.

W 2 wymiarach

Niech ${\ Displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$ będzie przedziałem otwartym i będzie parametryzacją ${\ Displaystyle \ gamma: I \ do \ mathbb {R} ^ {2}}$ gładkiej płaskiej krzywej.

Zbiór symetrii $zbioru środków$ w co najmniej dwa różne punkty ( koła bitangent ).

Zbiór symetrii będzie miał punkty końcowe odpowiadające wierzchołkom krzywej. Takie punkty będą leżeć na wierzchołku ewolucji . W takich punktach krzywa będzie miała 4-punktowy kontakt z okręgiem.

w n wymiarach

Dla gładkiej rozmaitości wymiaru w ${$$\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ (oczywiście potrzebujemy $displaystyle m <n}$ ). Zbiór symetrii rozmaitości to domknięcie środków hipersfer stycznych do rozmaitości w co najmniej dwóch różnych miejscach.

Jako zestaw bifurkacji

Niech ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {m}}$ będzie otwartą po prostu połączoną domeną i ${\ Displaystyle (u_ {1} \ldots ,u_{m}):={\podkreślenie {u}}\in U}$ . Niech ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {X}}: U \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ będzie parametryzacją gładkiego fragmentu rozmaitości. Możemy zdefiniować ${\ displaystyle n}$ rodzina parametrów funkcji na krzywej, a mianowicie

${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ razy U \ do \ mathbb {R} \ \ quad {\ mbox {gdzie}} \ quad F ({\ podkreślenie {x}}, {\ podkreślenie {u}})=({\podkreślenie {x}}-{\podkreślenie {X}})\cdot ({\podkreślenie {x}}-{\podkreślenie {X}})\ .}$

Ta rodzina nazywana jest rodziną funkcji kwadratów odległości. Dzieje się tak, ponieważ dla ustalonej wartości $)}$$} _ {0} \ in \ mathbb {R}$$} displaystyle F ({\ podkreślenie {x}} _ {0}, {\ podkreślenie {u}$ } to kwadrat odległości od $\ podkreślenie {x}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ podkreślenie {X}}}$ w ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {X}} (u_ {1} \ ldots, u_ {m.}).}$

Zbiór symetrii jest wtedy zbiorem bifurkacyjnym rodziny funkcji kwadratu odległości. To znaczy jest to zbiór taki, że ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ taki, że ${\ Displaystyle F ({\ podkreślenie {x}},-)}$ ma powtarzającą się osobliwość dla pewnego ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {u}} \ w U.}$

Przez powtarzającą się osobliwość rozumiemy, że macierz jakobian jest pojedyncza. Ponieważ mamy rodzinę funkcji, jest to równoważne ${\ displaystyle {\ mathcal {r}} F = {\ podkreślenie {0}}}$ .

$)$${\ Displaystyle ({\ podkreślenie {u}} _ {1}, {\ podkreślenie {u}} _ {2}) \ w U \ razy U}$ zbiorem istnieje z ${\ Displaystyle {\ podkreśl {u}}_{1}\neq {\podkreśl {u}}_{2}}$ i

${\ Displaystyle {\ mathcal {r}} F ({\ podkreślenie {x}}, {\ podkreślenie {u}} _{1})={\mathcal {r}}F({\podkreślenie {x}},{\podkreślenie {u}}_{2})={\podkreślenie {0}}}$

wraz z punktami granicznymi tego zbioru.

• JW Bruce, PJ Giblin i CG Gibson, Zestawy symetrii. proc. of the Royal Soc. of Edinburgh 101A (1985), 163-186.
• JW Bruce i PJ Giblin, Krzywe i osobliwości, Cambridge University Press (1993).