Zniekształcenie (matematyka)

W matematyce zniekształcenie jest miarą wielkości, o jaką funkcja z płaszczyzny euklidesowej do samej siebie zniekształca okręgi w elipsy . Jeśli zniekształcenie funkcji jest równe jeden, to jest ona konforemna ; jeśli zniekształcenie jest ograniczone, a funkcja jest homeomorfizmem , to jest quasi-konformalna . Zniekształcenie funkcji ƒ płaszczyzny jest określone wzorem

${\ Displaystyle H (z, f) = \ limsup _ {r \ do 0} {\ Frac {\ max _ {| h | = r} | f (z + h) -f (z) |} {\ min _{|h|=r}|f(z+h)-f(z)|}}}$

która jest graniczną mimośrodowością elipsy utworzonej przez zastosowanie ƒ do małych okręgów o środku w z . Praca z tą definicją geometryczną jest często bardzo trudna, a niezbędne cechy analityczne można ekstrapolować do następującej definicji. Odwzorowanie ƒ : Ω → R ² z domeny otwartej na płaszczyźnie na płaszczyznę ma skończone zniekształcenie w punkcie x ∈ Ω, jeśli ƒ jest w przestrzeni Sobolewa W
^1,1 _loc (Ω, R ² ), wyznacznik jakobianu J ( x ,ƒ) jest lokalnie całkowalny i nie zmienia znaku w Ω oraz istnieje mierzalna funkcja K ( x ) ≥ 1 taka, że

${\ Displaystyle | Df (x) | ^ {2} \ równoważnik K (x) | J (x, f) |}$

prawie wszędzie. Tutaj Df jest słabą pochodną ƒ, a | Df | jest normą Hilberta-Schmidta .

W przypadku funkcji w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn istnieje więcej miar zniekształcenia, ponieważ istnieje więcej niż dwie ^osie główne tensora symetrycznego. Informacja punktowa zawarta jest w tensorze zniekształcenia

${\ Displaystyle G (x, f) = {\ rozpocząć {przypadki} |J(x,f)|^{-2/n}D^{T}f(x)Df(x)&{\text{if }}J(x,f)\not =0\\I&{ \text{if }}J(x,f)=0.\end{przypadki}}}$

Zniekształcenie zewnętrzne KO i zniekształcenie wewnętrzne _KI są określone za pomocą _ilorazów Rayleigha

${\ Displaystyle K_ {O} (x) = \ sup _ {\ xi \ not = 0} {\ Frac {\ langle G (x) \ xi, \ xi \ rangle ^ {n/2}} {|\ xi |^{n}}},\quad K_{O}(x)=\sup _{\xi \not =0}{\frac {\langle G^{-1}(x)\xi ,\xi \ zakres ^{n/2}}{|\xi |^{n}}}.}$

Zewnętrzne zniekształcenie można również scharakteryzować za pomocą nierówności podobnej do podanej w przypadku dwuwymiarowym. Jeśli Ω jest zbiorem otwartym w R ⁿ , to funkcja ƒ ∈ W
^1,1 _loc (Ω, R ⁿ ) ma skończone zniekształcenie, jeśli jej jakobian jest lokalnie całkowalny i nie zmienia znaku oraz istnieje funkcja mierzalna K _O ( zewnętrzne zniekształcenie) takie, że

${\ Displaystyle | Df (x) | ^ {n} \ równoważnik K_ {O} (x) | J (x, f) |}$

prawie wszędzie.

Zobacz też

• Deformacja (mechanika)

•    Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), Teoria funkcji geometrycznych i analiza nieliniowa , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5 , MR 1859913 .
•    Reszetniak, Yu. G. (1989), Odwzorowania przestrzeni z ograniczonymi zniekształceniami , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 73, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4526-4 , MR 0994644 .