Słaba pochodna

W matematyce słaba pochodna jest uogólnieniem pojęcia pochodnej funkcji ( mocna pochodna ) ${\ Displaystyle L ^ {1} ([a, b])}$ funkcji nie z założenia różniczkowalnych , a jedynie całkowalnych , czyli leżących w przestrzeni Lp ^L .

Metoda całkowania przez części utrzymuje, że dla funkcji różniczkowalnych $\$ mamy φ $displaystyle \ varphi}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {a} ^ {b} u (x) \ varphi '(x) \, dx & = {\ duży [} u (x) \ varphi (x) {\ duży ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{wyrównane}}}

Funkcja u 'będąca słabą pochodną u jest zasadniczo zdefiniowana przez wymaganie, aby to równanie było spełnione dla wszystkich nieskończenie różniczkowalnych funkcji φ znikających w punktach granicznych ( ${\ Displaystyle \ varphi (a )=\varphi (b)=0}$ ).

Definicja

Niech $funkcją$ w przestrzeni Lebesgue'a ${\ Displaystyle L ^ {1} ([a, b])}$ . Mówimy, że w $]$ słabą pochodną jeśli L $\ Displaystyle L ^ {1} ([a, b$ $}$

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u (t) \ varphi '( t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}

dla wszystkich nieskończenie różniczkowalnych funkcji z $Displaystyle$ $\ varphi (a) = \ varphi (b) = 0$ .

U {\ displaystyle $}$ wymiary, jeśli i $displaystyle$ $v}$ są w przestrzeni $}$ $loc}} ^ {1} ( U$ $,$ funkcji całkowalnych lokalnie $zbioru$ pewnego otwartego i jeśli jest -indeksem że ${\ displaystyle v}$ jest słabą pochodną ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ displaystyle u}$ jeśli

{\ Displaystyle \ int _ {U} uD ^ {\ alfa} \ varphi = (-1) ^ {| \ alfa |} \ int _ {U} v \ varphi,}

dla wszystkich , czyli dla wszystkich funkcji nieskończenie różniczkowalnych $}$ zwartym wsparciem w ${\ Displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (U)$ ${\ displaystyle U}$ . Tutaj jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle D ^ {\ alfa} \ varphi}$

{\ Displaystyle D ^ {\ alfa} \ varphi = {\ Frac {\ częściowe ^ {|\ alfa |} \ varphi} {\ częściowe x_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdots \ częściowe x_ { n}^{\alfa _{n}}}}.}

Jeśli $ponieważ słabe pochodne$ słabą pochodną, jest to często zapisywane, $u$ unikalne (przynajmniej do zestawu miary zero patrz poniżej) u {\ displaystyle .

Przykłady

Funkcja wartości ${\ Displaystyle u: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}, u (t) = | t |} , co nie jest różniczkowalne$ → w ${\ displaystyle t = 0}$ ma słabą pochodną ${\ Displaystyle v: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ znany jako funkcja znaku i podany przez ${\ Displaystyle v (t) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 & {\ tekst {jeśli}} t> 0; \\ [6pt] 0 & {\ tekst {jeśli}} t = 0; \\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{przypadki}}}$ Nie jest to jedyna słaba pochodna u : każde w równe v prawie wszędzie jest również słabą pochodną u . (W szczególności powyższa definicja v (0) jest zbędna i można ją zastąpić dowolną pożądaną liczbą rzeczywistą r.) Zwykle nie stanowi to problemu, ponieważ w teorii przestrzeni L p ⁱ przestrzeni Sobolewa funkcje, które są równe prawie wszędzie są zidentyfikowane.
Charakterystyczna funkcja liczb wymiernych $, ale$ słabą pochodną. Ponieważ miara Lebesgue'a liczb wymiernych wynosi zero, ${\ Displaystyle \ int 1 _ {\ mathbb {Q}} (t) \ varphi (t) \, dt = 0.}$ Zatem ${\ Displaystyle v (t) = 0}$ jest słabą pochodną ${\ Displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ . $, że zgadza się to z naszą intuicją, ponieważ$ jako członek przestrzeni Lp jest identyfikowany z funkcją zerową.
Funkcja Cantora c nie ma słabej pochodnej, mimo że jest różniczkowalna prawie wszędzie. Dzieje się tak, ponieważ każda słaba pochodna c musiałaby być prawie wszędzie równa klasycznej pochodnej c , która prawie wszędzie wynosi zero. Ale funkcja zerowa nie jest słabą pochodną c , $co$ można zobaczyć porównując z odpowiednią funkcją . Bardziej teoretycznie c nie ma słabej pochodnej, ponieważ jest pochodną dystrybucyjną , a mianowicie rozkład Cantora , jest miarą osobliwą i dlatego nie może być reprezentowany przez funkcję.

Nieruchomości

Jeśli dwie funkcje są słabymi pochodnymi tej samej funkcji, to są one równe, z wyjątkiem zbioru z miarą Lebesgue'a zero, tj. są równe prawie wszędzie . Jeśli weźmiemy pod uwagę klasy równoważności funkcji takie, że dwie funkcje są równoważne, jeśli są równe prawie wszędzie, to słaba pochodna jest jednoznaczna.

Ponadto, jeśli u jest różniczkowalne w konwencjonalnym sensie, to jego słaba pochodna jest identyczna (w sensie podanym powyżej) z jej konwencjonalną (mocną) pochodną. Zatem słaba pochodna jest uogólnieniem silnej. Co więcej, klasyczne zasady dotyczące pochodnych sum i iloczynów funkcji obowiązują również dla słabej pochodnej.

Rozszerzenia

Koncepcja ta daje początek definicji słabych rozwiązań w przestrzeniach Sobolewa , które są przydatne w problemach równań różniczkowych iw analizie funkcjonalnej .

Zobacz też

Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu . Berlin: Springer. P. 149 . ISBN 3-540-41160-7 .
Evans, Lawrence C. (1998). Równania różniczkowe cząstkowe . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. P. 242 . ISBN 0-8218-0772-2 .
Knabner, Piotr; Angermann, Lutz (2003). Metody numeryczne dla eliptycznych i parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych . Nowy Jork: Springer. P. 53 . ISBN 0-387-95449-X .