algebry Leibniza

W matematyce (po prawej) algebra Leibniza , nazwana na cześć Gottfrieda Wilhelma Leibniza , czasami nazywana algebrą Loday , na cześć Jeana-Louisa Lodaya , jest modułem L na przemiennym pierścieniu R z iloczynem dwuliniowym [ _ , _ ] spełniającym tożsamość Leibniza

${\ Displaystyle [[a, b], c] = [a, [b, c]] + [[a, c], b]. \,}$

Innymi słowy, prawidłowe mnożenie przez dowolny element c jest pochodną . Jeśli dodatkowo nawias jest naprzemienny ([ a , a ] = 0), to algebra Leibniza jest algebrą Liego . Rzeczywiście, w tym przypadku [ a , b ] = −[ b , a ], a tożsamość Leibniza jest równoważna tożsamości Jacobiego ([ a , [ b , c ]] + [ c , [ a , b ]] + [ b , [ do , za ]] = 0). I odwrotnie, każda algebra Liego jest oczywiście algebrą Leibniza.

W tym sensie algebry Leibniza można postrzegać jako nieprzemienne uogólnienie algebr Liego. Badanie, które twierdzenia i właściwości algebr Liego są nadal ważne dla algebr Leibniza, jest powracającym tematem w literaturze. Na przykład wykazano, że twierdzenie Engela nadal obowiązuje dla algebr Leibniza i że obowiązuje również słabsza wersja twierdzenia Leviego-Malceva.

Moduł tensorowy T ( V ) dowolnej przestrzeni wektorowej V można przekształcić w algebrę Lodaya taką, że

${\ Displaystyle [a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}, x] = a_ {1} \ otimes \ cdots a_ {n} \ otimes x \ quad {\ tekst {dla}} a_ {1} ,\ldots ,a_{n},x\w V.}$

To jest swobodna algebra Lodaya nad V .

Algebry Leibniza zostały odkryte w 1965 roku przez A. Bloha, który nazwał je D-algebrami. Wzbudzili zainteresowanie po tym, jak Jean-Louis Loday zauważył, że klasyczną mapę granic Chevalleya-Eilenberga w zewnętrznym module algebry Liego można podnieść do modułu tensorowego, co daje nowy kompleks łańcuchowy. W rzeczywistości kompleks ten jest dobrze zdefiniowany dla dowolnej algebry Leibniza. Homologia HL ( L ) tego kompleksu łańcuchowego jest znana jako homologia Leibniza. Jeśli L jest algebrą Liego (nieskończonych) macierzy nad asocjacyjną R -algebrą A, to homologia Leibniza L jest algebrą tensorową nad homologia Hochschilda A. _

Algebra Zinbiela jest koncepcją dualną Koszula w stosunku do algebry Leibniza. Ma definiującą tożsamość:

${\ Displaystyle (a \ circ b) \ circ c = a \ circ (b \ circ c) + a \ circ (c \ circ b).}$

Notatki

• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (1996). „Od algebr Poissona do algebr Gerstenhabera” . Annales de l'Institut Fourier . 46 (5): 1243–1274. doi : 10.5802/aif.1547 .
• Loday, Jean-Louis (1993). „Jedna wersja nieprzemienna des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz” (PDF) . Chorąży. matematyka _ Seria 2. 39 (3–4): 269–293.
•    Loday, Jean-Louis i Teimuraz, Piraszwili (1993). „Uniwersalne algebry obejmujące algebry Leibniza i (ko) homologia”. Mathematische Annalen . 296 (1): 139-158. CiteSeerX 10.1.1.298.1142 . doi : 10.1007/BF01445099 . S2CID 16865683 .
• Bloh, A. (1965). „O uogólnieniu pojęcia algebry Liego”. Dokł. Akad. Nauka SSSR . 165 : 471–3.
• Bloh, A. (1967). „Teoria homologii Cartana-Eilenberga dla uogólnionej klasy algebr Liego”. Dokł. Akad. Nauka SSSR . 175 (8): 824-6.
•   Dzhumadil'daev, AS; Tulenbajew, KM (2005). „Nilpotencja algebr Zinbiela”. J. Dyn. System sterowania . 11 (2): 195–213. doi : 10.1007/s10883-005-4170-1 . S2CID 121944962 .
•   Ginzburg, W. ; Kapranov, M. (1994). „Dwoistość koszulska dla oper”. Duke Matematyka. J. _ 76 : 203–273. ar Xiv : 0709.1228 . doi : 10.1215/s0012-7094-94-07608-4 . S2CID 115166937 .