funkcja Schwarza

Nie należy mylić z funkcją Schwartza lub funkcją trójkąta Schwarza .

Funkcja Schwarza krzywej na płaszczyźnie zespolonej jest funkcją analityczną , która odwzorowuje punkty krzywej na ich zespolone koniugaty . Można go użyć do uogólnienia zasady odbicia Schwarza na odbicie w poprzek dowolnych krzywych analitycznych , a nie tylko w poprzek osi rzeczywistej.

Funkcja Schwarza istnieje dla krzywych analitycznych. $Jordana$$i$ dla każdego nieosobliwego, analitycznego łuku na płaszczyźnie zespolonej istnieje otwarte sąsiedztwo $.$ funkcja analityczna ${\ Displaystyle S}$ na ${\ Displaystyle \ Omega}$ takie, że ${\ Displaystyle S (z) = {\ overline {z}}}$ dla każdego ${\ Displaystyle Z \ in \ Gamma}$ .

„Funkcja Schwarza” została nazwana przez Philipa J. Davisa i Henry'ego O. Pollaka (1958) na cześć Hermanna Schwarza , który wprowadził zasadę odbicia Schwarza dla krzywych analitycznych w 1870 r. Jednak funkcja Schwarza nie pojawia się wyraźnie w pracach Schwarza .

Przykłady

Okrąg jednostkowy opisuje równanie ${\ Displaystyle | z | ^ {2} = 1}$ lub ${\ Displaystyle {\ overline {z}} = 1/z}$ . Zatem funkcja Schwarza okręgu jednostkowego to ${\ Displaystyle S (z) = 1/z}$ .

Bardziej skomplikowanym przykładem jest elipsa zdefiniowana przez ${\ Displaystyle (x/a) ^ {2} + (y/b) ^ {2} = 1}$ . Funkcję $_$ i ${\ Displaystyle \ textstyle y = {\ Frac {z- {\ overline {z}}} {2i}}}$ i rozwiązywanie dla ${\ Displaystyle {\ overline {z}}}$ . Wynik to:

${\ Displaystyle S (z) = {\ Frac {1} {a ^ {2}-b^{2}}}\left((a^{2}+b^{2})z-2ab{\sqrt {z^{2}+b^{2}-a^{2 }}}\prawo)}$ .

Jest to analityczne na płaszczyźnie zespolonej minus gałąź przecięta wzdłuż odcinka linii między ogniskami ${\ Displaystyle \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}$ }

•    Davis, Philip J. (1974). Funkcja Schwarza i jej zastosowania . Monografie Carusa 17 . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne . ISBN 978-0-883-85017-6 . OCLC 912405492 .
•   Needham, Tristan (1997). Wizualna analiza złożona . Prasa Clarendona. ISBN 978-0-19-853447-1 .
•    Shapiro, Harold S. (18.03.1992). Funkcja Schwarza i jej uogólnienie na wyższe wymiary . John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-57127-8 . OCLC 924755133 .