Zasada odbicia Schwarza

W matematyce zasada odbicia Schwarza jest sposobem na rozszerzenie dziedziny definicji złożonej funkcji analitycznej , tj. jest formą analitycznej kontynuacji . Stwierdza, że jeśli funkcja analityczna jest zdefiniowana na górnej półpłaszczyźnie i ma dobrze zdefiniowane (nieosobliwe) wartości rzeczywiste na osi rzeczywistej , to można ją rozszerzyć do funkcji sprzężonej na dolnej półpłaszczyźnie. W notacji, jeśli ${\ Displaystyle F (z)}$ jest funkcją spełniającą powyższe wymagania, to jej rozszerzenie na resztę płaszczyzny zespolonej wyraża wzór,

{\ Displaystyle F ({\ bar {z}}) = {\ overline {F (z)}}.}

Oznacza to, że tworzymy definicję, która zgadza się wzdłuż osi rzeczywistej.

Wynik udowodniony przez Hermanna Schwarza jest następujący. Załóżmy, że F jest funkcją ciągłą na zamkniętej górnej połowie płaszczyzny ${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ nazwa operatora {Im} (z) \geq 0\right\}}$ , holomorficzny na górnej połowie płaszczyzny ${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ operatorname {Im} (z)> 0 \ right \}} ,$ który przyjmuje rzeczywiste wartości na osi rzeczywistej. Zatem podany powyżej wzór na rozszerzenie jest analityczną kontynuacją całej płaszczyzny zespolonej.

W praktyce lepiej byłoby mieć twierdzenie, które dopuszcza F pewne osobliwości, na przykład F funkcję meromorficzną . Aby zrozumieć takie rozszerzenia, potrzebna jest metoda dowodowa, którą można osłabić. W rzeczywistości twierdzenie Morery jest dobrze przystosowane do udowodnienia takich twierdzeń. Całki konturowe obejmujące przedłużenie F wyraźnie dzielą się na dwie części, wykorzystując część osi rzeczywistej. Tak więc, biorąc pod uwagę, że zasada jest dość łatwa do udowodnienia w szczególnym przypadku z twierdzenia Morery, zrozumienie dowodu wystarczy, aby wygenerować inne wyniki.

Zasada może być również zastosowana do funkcji harmonicznych .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

„Zasada Riemanna-Schwarza” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Todda Rowlanda. „Zasada odbicia Schwarza” . MathWorld .