Polikon

W geometrii polikon jest rodzajem rozwijalnego wałka . Zbudowany jest z jednakowych kawałków stożka, którego kąt wierzchołkowy jest równy kątowi wielokąta foremnego o parzystych stronach . W zasadzie istnieje nieskończenie wiele wielokątów, tyle, ile jest wielokątów foremnych o równych bokach. Większość członków rodziny ma wydłużone wrzecionowate kształty. Rodzina wielokonów uogólnia sferikon . Został odkryty przez izraelskiego wynalazcę Davida Hirscha w 2017 roku

Budowa

Dwie sąsiednie krawędzie wielokąta foremnego o równych bokach są wydłużane, aż osiągną oś symetrii wielokąta, która jest najdalej od wspólnego wierzchołka krawędzi.
Obracając dwa powstałe segmenty linii wokół osi symetrii wielokąta przechodzącej przez wspólny wierzchołek, powstaje prawy okrągły stożek .
dwie płaszczyzny tak, że każda z nich zawiera normalną do wielokąta w jego środku i jeden z dwóch oddalonych od siebie wierzchołków obu krawędzi.
$,$ $krawędzi$ leżąca pomiędzy dwiema płaszczyznami jest replikowana gdzie wielokąta Wszystkie $,$ aby utworzyć obiekt w kształcie wrzeciona Ma $krawędzie$ , które przechodzą przez naprzemienne wierzchołki wielokąta.
Otrzymany obiekt przecina się na pół w płaszczyźnie symetrii (płaszczyźnie wielokąta).
$.$ po obróceniu pod kątem przesunięcia

Krawędzie i wierzchołki

Polikon oparty na foremnym wielokącie z krawędziami ma wierzchołki, z których $displaystyle$ ${n+2}}$ pokrywają się z wierzchołkami wielokąta, z $2}}$ pozostałe dwa leżą na skrajnych końcach bryły. Ma $z$ , z których każda stanowi połowę przekroju stożkowego utworzonego w miejscu przecięcia powierzchni stożka jedną z dwóch płaszczyzn tnących. Po każdej stronie wielokątnego przekroju poprzecznego, $wielokąta$ biegną (od co drugiego wierzchołka wielokąta) do jednego ze skrajnych końców bryły. Krawędzie po $krawędziom$ kąt równy drugiej stronie. Krawędzie sferikonu $)$ okrągłe Krawędzie $)$ ( paraboliczne _ Krawędzie wszystkich pozostałych polikonów są hiperboliczne .

Sferikon jako polikon

Sferikon jest pierwszym członkiem rodziny polikonów. Jest także członkiem rodziny wielosferykonów i wypukłych kadłubów dwóch rodzin rolek talerzowych (kadłub wypukły TDR). W każdej z rodzin jest ona zbudowana inaczej. Jako polisferikon jest skonstruowany przez przecięcie dwustożka o kącie wierzchołkowym równym w $ponowne$ połączenie dwóch uzyskanych części po obróceniu ich przesunięty $_$ _ Jako kadłub wypukły TDR jest to kadłub wypukły dwóch prostopadłych, okrągłych sektorów o kącie 180° , połączonych w swoich środkach. W przypadku polikonu punktem początkowym jest stożek utworzony przez obrót dwóch sąsiednich krawędzi kwadratu wokół własnej osi symetrii przechodzącej przez ich wspólny wierzchołek. W tym konkretnym przypadku nie ma potrzeby przedłużania krawędzi, ponieważ ich końce sięgają drugiej osi symetrii kwadratu. Ponieważ w tym konkretnym przypadku obie płaszczyzny cięcia pokrywają się z płaszczyzną podstawy stożka, nic nie jest odrzucane, a stożek pozostaje nienaruszony. Tworząc kolejny identyczny stożek i łącząc ze sobą dwa stożki za pomocą ich płaskich powierzchni, powstaje bikon. Od tego momentu konstrukcja jest kontynuowana w taki sam sposób, jak opisano w przypadku konstrukcji sferikonu jako polisferykonu. Jedyna różnica pomiędzy sferikonem jako polisferikonem a sferikonem jako wielokątem polega na tym, że jako polisferikon ma on cztery wierzchołki, a jako polikon uważa się, że ma ich sześć. Dodatkowe wierzchołki nie są zauważalne, ponieważ znajdują się pośrodku okrągłych krawędzi i całkowicie się z nimi zlewają.

Właściwości toczne

Powierzchnia każdego polikonu jest pojedynczą, rozwijalną ścianą . Zatem cała rodzina ma toczenia , które są związane z meandrowym ruchem sferikonu, podobnie jak niektórzy członkowie rodziny polisferikonów. Ponieważ powierzchnie polisferikonów składają się z powierzchni stożkowych i różnych rodzajów ściętych powierzchni (stożkowych i/lub cylindrycznych), ich właściwości toczne zmieniają się przy każdym zetknięciu każdej z powierzchni z płaszczyzną toczenia. Nie inaczej jest w przypadku polikonów. Ponieważ każdy z nich wykonany jest tylko z jednego rodzaju powierzchni stożkowej, właściwości toczne pozostają jednakowe w całym ruchu tocznym. Chwilowy ruch wielokonu jest identyczny z ruchem toczenia stożka $.$ jednego z jego środkowych wierzchołków Ruch jako całość jest kombinacją tych ruchów, przy czym każdy z wierzchołków służy z kolei jako natychmiastowy środek obrotu wokół którego bryła obraca się $obrotu$ . Gdy inny wierzchołek zetknie się z powierzchnią toczną, staje się nowym tymczasowym środkiem obrotu, a wektor obrotu odwraca się w przeciwnym kierunku. Wynikowy ogólny ruch jest meandrem, który jest średnio liniowy. $toczącej się$ z dwóch skrajnych wierzchołków dotyka płaszczyzny razy w jednym cyklu obrotu. Chwilowa linia styku polikonu z powierzchnią, po której się toczy, jest odcinkiem jednego z nich linie tworzące stożka i wszędzie wzdłuż tej linii płaszczyzna styczna do wielokonu jest taka sama.

Kiedy jest liczbą $najwyższa$ , wówczas płaszczyzna styczna jest stałą odległością od płaszczyzny stycznej do linii tworzącej na powierzchni polikonu, która jest natychmiast Zatem polikony, dziwne $]$ są rolkami o stałej wysokości ^{[ potrzebne źródło ,} (podobnie jak prawy okrągły dwustożek walec lub pryzmat o przekroju trójkąta ). Polikony dla nawet nie posiadają tej funkcji $.$

Historia

Sferikon został po raz pierwszy ^{[ wątpliwe – omów ]} wprowadzony przez Davida Hirscha w 1980 r. w patencie, który nazwał „Urządzeniem do generowania ruchu meandrowego”. Zasada, według której został zbudowany, opisana w patencie, jest zgodna z zasadą, według której zbudowane są polisferykony. Dopiero ponad 25 lat później, po artykule Iana Stewarta na temat sferikonu w Scientific American Journal, zarówno członkowie społeczności tokarskiej [17, 26], jak i matematycznej [16, 20] zdali sobie sprawę, że tę samą metodę konstrukcji można uogólnić do szeregu obiektów osiowo-symetrycznych, które mają przekrój regularnego wielokąta inny niż kwadrat. Powierzchnie ciał otrzymanych tą metodą (nie licząc samego sferikonu) składają się z jednego rodzaju powierzchni stożkowej oraz jednej lub większej liczby powierzchni cylindrycznych lub stożkowych powierzchnie ścięte . W 2017 roku Hirsch zaczął badać inną metodę uogólniania sferikonu, opartą na pojedynczej powierzchni bez użycia powierzchni ściętych. Efektem tych badań było odkrycie rodziny polikonów. Nowa rodzina została po raz pierwszy zaprezentowana podczas konferencji Bridges Conference 2019 w Linz w Austrii, zarówno w galerii dzieł sztuki, jak i na festiwalu filmowym