Rozwijalny wałek

Model STL kuli

W geometrii rozwijalny wałek jest wypukłą bryłą , której powierzchnia składa się z pojedynczej ciągłej rozwijalnej powierzchni. Podczas toczenia się po płaszczyźnie , najbardziej rozwijające się rolki rozwijają całą swoją powierzchnię tak, że wszystkie punkty na powierzchni stykają się z płaszczyzną toczenia. Wszystkie rozwijające się rolki mają rządkowane powierzchnie . Do tej pory opisano cztery rodziny rozwijalnych rolek: pierwsze polisferykony , wypukłe łuski dwóch rolek dyskowych (łuski wypukłe TDR), polikony i platoniki.

Budowa

Porównanie oloidu (po lewej) i sferikonu (po prawej) — na obrazie SVG przesuń kursor nad obrazem , aby obrócić kształty

Każda rozwijająca się rodzina rolek opiera się na innej zasadzie konstrukcyjnej. Pierwsze polisferykony są podrodziną rodziny polisferikonów. Oparte są na bryłach utworzonych przez obracanie wielokątów foremnych wokół jednej z ich najdłuższych przekątnych . Te ciała są przecinane na pół w ich płaszczyźnie symetrii, a dwie połówki są ponownie łączone po obróceniu pod kątem przesunięcia względem siebie. Wszystkie polisferykony pierwsze mają dwie krawędzie utworzone z jednego lub więcej łuków kołowych i czterech wierzchołków. Wszystkie z nich, z wyjątkiem kuli , mają powierzchnie, które składają się z jednego rodzaju powierzchni stożkowej i jednej lub więcej stożkowych lub cylindrycznych powierzchni ściętych . Rolki dwutarczowe składają się z dwóch przystających symetrycznych okrągłych lub eliptycznych sektorów . Sektory są połączone ze sobą w taki sposób, że płaszczyzny, w których leżą, są do siebie prostopadłe, a ich osie symetrii pokrywają się. Wypukłe łuski tych struktur należą do rodziny łusek wypukłych TDR. Wszyscy członkowie tej rodziny mają dwie krawędzie (dwa okrągłe lub eliptyczne łuki ). Mogą mieć albo 4 wierzchołki , jak w sferikonie (który również należy do tej rodziny), albo nie mieć ich wcale, jak w oloidzie . Podobnie jak polisferykony pierwsze, wielokąty są oparte na wielokątach foremnych, ale składają się z identycznych kawałków tylko jednego rodzaju stożka bez części ściętych. Stożek jest tworzony przez obrót dwóch sąsiednich krawędzi wielokąta foremnego (a w większości przypadków także ich przedłużeń) wokół osi symetrii wielokąta, która przechodzi przez ich wspólny wierzchołek. Wielokąt oparty na n -kącie (wielokąt z n krawędziami) ma n krawędzi i n + 2 wierzchołki. Sferikon, który również należy do tej rodziny, ma okrągłe krawędzie. Krawędzie sześciokąta są paraboliczne . Wszystkie inne krawędzie wielokątów są hiperboliczne . Podobnie jak polikony, Platonicony są wykonane tylko z jednego rodzaju stożkowej powierzchni. Ich unikalną cechą jest to, że każda z nich opisuje jedną z pięciu brył platońskich . W przeciwieństwie do innych rodzin, ta rodzina nie jest nieskończona. Do tej pory odkryto 14 platoników.

Ruch obrotowy

W przeciwieństwie do osiowo symetrycznych ciał, które, jeśli nie są ograniczone, mogą wykonywać ruch toczny liniowy (jak kula lub walec) lub kołowy ( jak stożek ), rozwijające się rolki wiją się podczas toczenia. Ich ruch jest średnio liniowy. W przypadku polikonów i platonikonów, a także niektórych polisferikonów pierwszych, tor ich środka masy składa się z łuków kołowych. W przypadku polisferikonów pierwszych, które mają powierzchnie zawierające części cylindryczne, ścieżka jest kombinacją łuków kołowych i linii prostych. Ogólny wzór na kształt toru środka masy kadłubów wypukłych TDR nie został jeszcze wyprowadzony. Aby utrzymać płynny ruch toczny, środek masy toczącego się ciała musi utrzymywać stałą wysokość. Wszystkie polisferykony pierwsze, polikony i platokony oraz niektóre wypukłe kadłuby TDR mają tę właściwość. Niektóre wypukłe łuski TDR, takie jak oloid, nie posiadają tej właściwości. Aby kadłub wypukły TDR utrzymywał stałą wysokość, muszą być spełnione następujące warunki:

${\ Displaystyle \ c ^ {2} = 4a ^ {2} -2b ^ {2}}$

Gdzie a i b to odpowiednio połówki mniejszych i głównych osi łuków eliptycznych, a c to odległość między ich środkami. Na przykład w przypadku, gdy szkielet wypukłej powłoki TDR składa się z dwóch kołowych segmentów o promieniu r , aby środek masy był na stałej wysokości, odległość między środkami sektorów powinna być równa ${\ styl wyświetlania {\ sqrt {2}}}$ r .

Linki zewnętrzne

 *  Seria Sphericon  Lista pierwszych członków rodziny polysphericon i omówienie ich różnych rodzajów.