rachunek Icosian

Rachunek icosian to nieprzemienna struktura algebraiczna odkryta przez irlandzkiego matematyka Williama Rowana Hamiltona w 1856 r. Współcześnie przedstawił grupową prezentację dwudziestościennej grupy rotacji za pomocą generatorów i relacji.

Odkrycie Hamiltona wywodziło się z jego prób znalezienia algebry „trójek” lub 3-krotek , które jego zdaniem odzwierciedlałyby trzy osie kartezjańskie . Symbole rachunku icosowskiego można zrównać z ruchami między wierzchołkami dwunastościanu . Praca Hamiltona w tej dziedzinie zaowocowała pośrednio terminami obwód hamiltonowski i ścieżka hamiltonowska w teorii grafów. Wymyślił także grę icosian jako sposób zilustrowania i spopularyzowania swojego odkrycia.

Nieformalna definicja

Rzut stereograficzny dwunastościanu używany w grze icosian Hamiltona

Algebra opiera się na trzech symbolach, z których każdy jest pierwiastkiem jedności , przy czym wielokrotne zastosowanie któregokolwiek z nich daje wartość 1 po określonej liczbie kroków. Oni są:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ jota ^ {2} i = 1, \\\ kappa ^ {3} i = 1, \\\ lambda ^{5}&=1.\end{wyrównane}}}

Hamilton podaje jeszcze jedną relację między symbolami:

{\ Displaystyle \ lambda = \ jota \ kappa.}

(We współczesnym ujęciu jest to grupa trójkątów (2,3,5) .)

Operacja jest asocjacyjna , ale nie przemienna . Generują grupę rzędu 60, izomorficzną z grupą obrotów dwudziestościanu foremnego lub dwunastościanu foremnego , a zatem z grupą naprzemienną stopnia piątego.

Chociaż algebra istnieje jako konstrukcja czysto abstrakcyjna, najłatwiej można ją zwizualizować w kategoriach operacji na krawędziach i wierzchołkach dwunastościanu. Sam Hamilton użył spłaszczonego dwunastościanu jako podstawy swojej gry instruktażowej.

$do$ $oznaczonego przez$ w określonym kierunku, powiedzmy od . Możemy przedstawić tę skierowaną krawędź przez ${\ displaystyle BC}$ .

Geometryczna ilustracja operacji jota w rachunku icosian

Symbol icosian $podążając$ $równoznaczny$ $krawędzią$ dowolnej krawędzi, więc owad czołga się od $do$ ( za skierowaną .
Symbol icosian $. W naszym$ równoznaczny z obróceniem bieżącego ruchu owada w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół punktu końcowego $\ displaystyle DC$ to zmianę początkowego kierunku na $}$ do .
Symbol icosian $do$ $równoznaczny$ skrętu w prawo w punkcie $przechodząc$ od .