ikozyjski

Aby zapoznać się z użyciem icosian przez Hamiltona, zobacz grę icosian i rachunek icosian .

W matematyce icosians to specyficzny zestaw hamiltonowskich kwaternionów o tej samej symetrii co komórka 600 . Termin ten może odnosić się do dwóch powiązanych, ale odrębnych pojęć:

Jednostka Icosians

120 jednostek icosian, które tworzą grupę icosian, to wszystkie parzyste permutacje :

  • 8 ikosów postaci ½(±2, 0, 0, 0)
  • 16 ikosów postaci ½(±1, ±1, ±1, ±1)
  • 96 ikosów postaci ½(0, ±1, ±1 /φ , ± φ )

W tym przypadku wektor ( a , b , c , d ) odnosi się do kwaternionu a + b i + c j + d k , a φ reprezentuje złoty podział ( √ 5 + 1)/2. Te 120 wektorów tworzy system korzeniowy H4 z grupą Weyla rzędu 14400. Oprócz 120 ikosów jednostkowych tworzących wierzchołki komórki 600, 600 ikosów normy 2 tworzy wierzchołki komórki 120- komórkowej . Inne podgrupy icosian odpowiadają tesseraktowi , 16 -komórkowemu i 24-komórkowemu .

Ikozyjski pierścień

Icosians leżą w złotym polu ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , gdzie osiem zmiennych to liczby wymierne . Ten quaternion jest icosianem tylko wtedy, gdy wektor ( a , b , c , d , e , f , g , h ) jest punktem na sieci L , która jest izomorficzna z siecią E8 .

Dokładniej, norma kwaternionu powyższego elementu to ( a + b √ 5 ) 2 + ( c + d √ 5 ) 2 + ( e + f √ 5 ) 2 + ( g + h √ 5 ) 2 . Jego norma euklidesowa jest zdefiniowana jako u + v , jeśli normą kwaternionu jest u + v √ 5 . Ta norma euklidesowa definiuje formę kwadratową na L , w której sieć jest izomorficzna z siecią E8 .

Ta konstrukcja pokazuje, że Coxetera jest osadzona jako podgrupa \ Rzeczywiście, izomorfizm liniowy, który zachowuje normę kwaternionu, zachowuje również normę euklidesową.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Icosian&oldid=1134220249 ”