krata E 8

W matematyce krata E ₈ 8 jest specjalną kratą w R ^. Można ją scharakteryzować jako unikalną dodatnio określoną, parzystą, jednomodułową sieć rzędu 8. Nazwa wywodzi się z faktu, że jest to sieć korzeniowa systemu korzeniowego E ₈ .

Norma sieci E ₈ (podzielona przez 2) jest dodatnio określoną, nawet jednomodułową formą kwadratową w 8 zmiennych, i odwrotnie, taka forma kwadratowa może być użyta do skonstruowania dodatnio określonej, parzystej, jednomodułowej kraty rzędu 8. Istnienie takiej formy po raz pierwszy pokazał HJS Smith w 1867 r., a pierwszą wyraźną konstrukcję tej formy kwadratowej podali Korkin i Zolotarev w 1873 r. Krata E ₈ jest również nazywana siatką Gosseta na cześć Thorolda Gosseta , który był jednym z pierwszych do zbadania geometrii samej sieci około 1900 roku.

Punkty kratowe

R ₈ Sieć E jest dyskretną podgrupą R 8 ^pełnego rzędu (tj. obejmuje całą grupę 8 ⁾ . Może być dana jawnie przez zbiór punktów Γ ₈ ⊂ R ⁸ taki, że

• wszystkie współrzędne są liczbami całkowitymi lub wszystkie współrzędne są pół-całkowitymi (mieszanka liczb całkowitych i pół-całkowitych nie jest dozwolona), oraz
• suma ośmiu współrzędnych jest parzystą liczbą całkowitą .

w symbolach,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8} = \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8} \ kubek (\ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} )^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod}}2)\right\}.}$

Nietrudno sprawdzić, że suma dwóch punktów sieci jest kolejnym punktem sieci, więc Γ ₈ jest rzeczywiście podgrupą.

Alternatywnym opisem sieci E ₈ , który jest czasem wygodny, jest zbiór wszystkich punktów w Γ′ ₈ ⊂ R ⁸ taki, że

• wszystkie współrzędne są liczbami całkowitymi, a suma współrzędnych jest parzysta, lub
• wszystkie współrzędne są pół-liczbami całkowitymi, a suma współrzędnych jest nieparzysta.

w symbolach,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8} '= \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8} \ kubek (\ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_ {5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod}}2)\right\}.}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {8} '= \ lewo \ {(x_ {i}) \ w \ mathbb {Z} ^ {8}: {{\ textstyle \ suma _ {i}} x_ {i}} \ równoważne 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{ 8}: {{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\równoważnik 1({\mbox{mod}}2)\right\}.}$

Kraty Γ ₈ i Γ ′ ₈ są izomorficzne i można przechodzić z jednej do drugiej, zmieniając znaki dowolnej nieparzystej liczby współrzędnych półcałkowitych. Sieć Γ ₈ jest czasami nazywana parzystym układem współrzędnych dla E ₈ , podczas gdy sieć Γ′ ₈ nazywana jest nieparzystym układem współrzędnych . O ile nie postanowimy inaczej, będziemy pracować w parzystym układzie współrzędnych.

Nieruchomości

E ₈ Γ ₈ można scharakteryzować jako unikalną sieć w R ⁸ o następujących właściwościach:

• Jest integralna , co oznacza, że ​​wszystkie iloczyny skalarne elementów sieci są liczbami całkowitymi.
• Jest jednomodułowy , co oznacza, że ​​jest integralny i może być generowany przez kolumny macierzy 8×8 z wyznacznikem ±1 (tj. objętość podstawowego równoległoboku sieci wynosi 1). Równoważnie, Γ ₈ jest self-dualny , co oznacza, że ​​jest równy swojej podwójnej sieci .
• Jest parzysta , co oznacza, że ​​norma dowolnego wektora sieciowego jest parzysta.

Nawet kraty jednomodułowe mogą występować tylko w wymiarach podzielnych przez 8. W wymiarze 16 są dwie takie kraty: Γ ₈ ⊕ Γ ₈ i Γ ₁₆ (zbudowane analogicznie do Γ ₈ . W wymiarze 24 są 24 takie kraty, zwane Niemeierem kraty Najważniejszym z nich jest krata Leecha .

Jedną z możliwych podstaw dla Γ ₈ są kolumny macierzy ( górnego trójkąta ).

${\ Displaystyle \ lewo [{\ zacząć {mała macierz} 2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0& 0&0&0&0&1&-1&1 /2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{małamacierz}}\right].}$

Γ ₈ jest wtedy całkowitym rozpiętością tych wektorów. Wszystkie inne możliwe podstawy uzyskuje się z tej jednej przez odpowiednie pomnożenie przez elementy GL(8, Z ).

Najkrótsze niezerowe wektory w Γ ₈ mają długość równą √2. Istnieje 240 takich wektorów:

• Wszystkie półliczby całkowite (może wynosić tylko ±1/2):
  • Wszystkie pozytywne lub wszystkie negatywne: 2
  • Cztery pozytywne, cztery negatywne: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70
  • Dwa z jednego, sześć z drugiego: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• Wszystkie liczby całkowite (może być tylko 0, ±1):
  • Dwa ±1, sześć zer: 4*(8*7)/(2*1)=112

Tworzą one system korzeniowy typu E ₈ . Sieć Γ ₈ jest równa sieci korzeniowej E ₈ , co oznacza, że ​​jest dana przez całkę rozpiętości 240 pierwiastków. Dowolny wybór 8 pierwiastków prostych daje podstawę dla Γ ₈ .

Grupa symetrii

Grupa automorfizmu (lub grupa symetrii ) sieci w Rn jest zdefiniowana jako podgrupa grupy ortogonalnej O( n ) ^, która zachowuje sieć. Grupą symetrii sieci E ₈ jest grupa Weyla / Coxetera typu E ₈ . Jest to grupa generowana przez odbicia w hiperpłaszczyznach prostopadłych do 240 pierwiastków sieci. Jego kolejność jest podana przez

${\ Displaystyle | W (\ operatorname {E} _ {8}) | = 696729600 = 4! \ cdot 6! \ cdot 8!}$

E ₈ Weyla zawiera podgrupę rzędu 128,8! składający się ze wszystkich permutacji współrzędnych i wszystkich parzystych zmian znaku. Ta podgrupa to grupa Weyla typu _D8 . Pełna grupa E ₈ Weyla jest generowana przez tę podgrupę i macierz diagonalną bloków H ₄ ⊕ H ₄ , gdzie H ₄ jest macierzą Hadamarda

${\ Displaystyle H_ {4} = {\ tfrac {1}{2}} \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 1 i 1 i 1 \\ 1 i -1 i 1 i -1 \\ 1 i 1 i -1 i -1 \\ 1 i -1 i -1 i 1 \ \\end{małamacierz}}\prawo].}$

Geometria

Zobacz 5 ₂₁ plaster miodu

E ₈ to wierzchołki plastra miodu 5 ₂₁ , który składa się z regularnych ścianek 8-simplex i 8-orthoplex . Ten plaster miodu został po raz pierwszy zbadany przez Gosseta, który nazwał go figurą półregularną 9-ic (Gosset uważał plastry miodu w n wymiarach za zdegenerowane n +1 polytopes). W Coxetera plaster miodu Gosseta jest oznaczony przez 5 ₂₁ i ma diagram Coxetera-Dynkina :

Ten plaster miodu jest bardzo regularny w tym sensie, że jego grupa symetrii (afiniczna $)$ przechodnie na k - ścianach dla k ≤ 6. Wszystkie k -ściany dla k ≤ 7 są uproszczeniami.

Figura wierzchołka plastra miodu Gosseta to półregularny polytop E ₈ (4 ₂₁ w notacji Coxetera) określony przez wypukłą otoczkę 240 korzeni siatki E ₈ .

Każdy punkt sieci E ₈ jest otoczony 2160 8-ortopleksami i 17280 8-simplicami. 2160 głębokich dziur w pobliżu początku układu współrzędnych to dokładnie połówki normalnych 4 punktów sieci. Punkty sieci 17520 z normą 8 dzielą się na dwie klasy (dwie orbity pod działaniem grupy automorfizmów E ₈ ): 240 to dwa razy więcej punktów sieci z normą 2, podczas gdy 17280 to 3 razy płytkie dziury otaczające początek.

Dziura w sieci to punkt w otaczającej przestrzeni euklidesowej, którego odległość do najbliższego punktu sieci jest lokalnym maksimum . (W siatce zdefiniowanej jako jednorodny plaster miodu punkty te odpowiadają środkom objętości ścianek ). Głęboki otwór to taki, którego odległość od sieci jest globalnym maksimum. W siatce E ₈ występują dwa rodzaje otworów :

• Głębokie dziury, takie jak punkt (1,0,0,0,0,0,0,0), znajdują się w odległości 1 od najbliższych punktów sieci. W tej odległości znajduje się 16 punktów sieci, które tworzą wierzchołki 8-ortopleksów wyśrodkowanych w otworze ( komórka Delaunaya otworu).
• Płytkie otwory, takie jak punkt $\ tfrac$${\ Displaystyle ({\ tfrac {5} {6}}, {\ tfrac { 1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}}$${2 {\ sqrt {2}}} {3 }}}$ Displaystyle { od najbliższych punktów sieci. W tej odległości znajduje się 9 punktów sieci, które tworzą wierzchołki 8-simpleksu wyśrodkowanego w otworze.

Opakowania sferyczne i liczby całujące

E ₈ jest niezwykła, ponieważ daje optymalne rozwiązania problemu upakowania kul i liczby całujących się w 8 wymiarach.

Problem upakowania kul pyta, jaki jest najgęstszy sposób upakowania (bryłowych) n -wymiarowych kul o stałym promieniu w R ⁿ , tak aby żadne dwie kule nie zachodziły na siebie. Wypełnienia kratowe to specjalne rodzaje wypełnień sferycznych, w których kule są wyśrodkowane w punktach siatki. Umieszczenie sfer o promieniu 1/ √ 2 w punktach sieci E ₈ daje upakowanie sieci w R ⁸ o gęstości

${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {4}} {2 ^ {4} 4!}} \ kong 0,25367.}$

Artykuł Hansa Fredericka Blichfeldta z 1935 r . Dowiódł, że jest to maksymalna gęstość, jaką można osiągnąć za pomocą upakowania kratowego w 8 wymiarach. Ponadto sieć E ₈ jest unikalną siecią (do izometrii i przeskalowania) o tej gęstości. Maryna Viazovska udowodniła w 2016 r., że gęstość ta jest w rzeczywistości optymalna nawet wśród nieregularnych upakowania.

Problem liczby całujących się pyta, jaka jest maksymalna liczba kul o stałym promieniu, które mogą dotknąć (lub „pocałować”) centralną kulę o tym samym promieniu. We wspomnianym powyżej upakowaniu kratowym E ₈ każda dana kula styka się z 240 sąsiednimi kulami. Dzieje się tak, ponieważ istnieje 240 wektorów sieciowych o minimalnej niezerowej normie (pierwiastki sieci E ₈ ). W 1979 roku wykazano, że jest to maksymalna możliwa liczba w 8 wymiarach.

Problem upakowania kuli i problem liczby całującej się są niezwykle trudne, a optymalne rozwiązania są znane tylko w wymiarach 1, 2, 3, 8 i 24 (plus wymiar 4 dla problemu liczby całującej się). Fakt, że znane są rozwiązania w wymiarach 8 i 24, wynika częściowo ze specjalnych właściwości sieci E ₈ i jej 24-wymiarowego kuzyna, sieci Leecha .

Funkcja teta

Do dowolnej (dodatnio określonej) sieci Λ można przypisać funkcję theta określoną przez

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Lambda} (\ tau) = \ suma _ {x \ in \ Lambda} e ^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

Funkcja theta sieci jest zatem funkcją holomorficzną na górnej półpłaszczyźnie . Ponadto funkcja theta parzystej jednomodułowej sieci rzędu n jest w rzeczywistości modułową postacią wagi n /2. Funkcja theta siatki $zapisywana$ jako szereg potęgowy w taki że współczynnik n ^daje wektorów kratowych norma rz .

Aż do normalizacji istnieje unikalna modułowa forma wagi 4 i poziomu 1: seria Eisensteina G ₄ (τ). Funkcja theta dla sieci E ₈ musi więc być proporcjonalna do G ₄ (τ). Normalizację można ustalić, zauważając, że istnieje unikalny wektor normy 0. To daje

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau) = 1 + 240 \ suma _ {n =1}^{\infty}\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

gdzie σ ₃ ( n ) jest dzielnikiem . Wynika z tego, że liczba wektorów kratowych E ₈ normy 2 n jest 240 razy większa od sumy sześcianów dzielników n . Kilka pierwszych wyrazów tej serii podaje (sekwencja A004009 w OEIS ):

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau) = 1 + 240 \, q ^ {2} + 2160 \, q ^ {4} + 6720 \, q ^ {6} + 17520 \ ,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

E ₈ można zapisać w kategoriach funkcji theta Jacobiego w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ Theta _ {\ Gamma _ {8}} (\ tau) = {\frac {1}{2}}\left(\theta_{2}(q)^{8}+\theta_{3}(q)^{8}+\theta_{4}(q) ^{8}\prawo)}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ theta _ {2} (q) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {(n + {\ Frac {1} {2}}) ^ {2}} \ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _ {n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Inne konstrukcje

Kod Hamminga

E ₈ jest bardzo blisko spokrewniona z (rozszerzonym) kodem Hamminga H (8,4) iw rzeczywistości może być z niej zbudowana. Kod Hamminga H (8,4) jest kodem binarnym o długości 8 i randze 4; to znaczy jest to 4-wymiarowa podprzestrzeń skończonej przestrzeni wektorowej ( F ₂ ) ⁸ . Zapisując elementy ( F ₂ ) ⁸ jako 8-bitowe liczby całkowite w systemie szesnastkowym , kod H (8,4) można podać jawnie jako zbiór

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Kod H (8,4) jest znaczący częściowo dlatego, że jest to samodualny kod typu II . Ma minimalną wagę Hamminga 4, co oznacza, że ​​dowolne dwa słowa kodowe różnią się o co najmniej 4 bity. Jest to kod binarny o największej długości 8 z tą właściwością.

Można skonstruować siatkę Λ z kodu binarnego C o długości n , biorąc zbiór wszystkich wektorów x w Z ⁿ takich, że x jest przystające (modulo 2) do słowa kodowego C . Często wygodnie jest przeskalować Λ o współczynnik 1/ √ 2 ,

${\ Displaystyle \ Lambda = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo \ {x \ w \ mathbb {Z} ^ {n}: x \, {\ bmod {\,}} 2 \ w C\prawo\}.}$

Stosując tę ​​​​konstrukcję, samodwoisty kod typu II daje równą, jednomodułową siatkę. W szczególności zastosowanie go do kodu Hamminga H (8,4) daje siatkę E ₈ . Znalezienie wyraźnego izomorfizmu między tą siecią a siecią Γ ₈ zdefiniowaną powyżej nie jest jednak całkowicie trywialne.

Całkowite octoniony

E ₈ jest również blisko spokrewniona z nieskojarzoną algebrą rzeczywistych oktonionów O . Możliwe jest zdefiniowanie pojęcia oktonionu całkowego analogicznego do pojęcia kwaternionu całkowego . Całkowite oktoniony naturalnie tworzą siatkę wewnątrz O . Ta siatka jest po prostu przeskalowaną siatką E ₈ . (Minimalna norma w integralnej siatce oktonionowej to 1, a nie 2). Osadzona w ten sposób w oktonionach siatka E ₈ przybiera strukturę nieasocjacyjnego pierścienia .

Ustalając bazę (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) oktonionów jednostkowych, można zdefiniować oktoniony całkowe jako maksymalny rząd zawierający tę bazę. (Oczywiście należy rozszerzyć definicje porządku i pierścienia , aby objąć przypadek nieasocjacyjny). Sprowadza się to do znalezienia największego podpierścienia O zawierającego jednostki, w których wyrażenia x * x (norma x ) i x + x * (dwukrotna część rzeczywista x ) mają wartości całkowite. W rzeczywistości istnieje siedem takich maksymalnych rzędów, po jednym odpowiadającym każdej z siedmiu urojonych jednostek. Jednak wszystkie siedem maksymalnych rzędów jest izomorficznych. 1/2 taki . maksymalny rząd jest generowany przez oktoniony i , j i ( i + j + k + ℓ)

Szczegółowy opis całkowitych oktonionów i ich związku z siecią E ₈ można znaleźć w Conway i Smith (2003).

Przykładowa definicja całkowitych oktonionów

Rozważmy mnożenie oktonionów zdefiniowane przez triady: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Wtedy oktoniony całkowe tworzą wektory:

1) $\ Displaystyle \ pm e_ {i}}$ , ja = 0, 1, …, 7

2) $mi do {\ Displaystyle \ pm e_ {0} \ pm e_ {a} \ pm e_ {b} \ pm e_ {c}}$ przebiegają przez siedem triad 124 , 235, 346, 457, 561, 672, 713

3) ${\ Displaystyle \ pm e_ {p} \ pm e_ {q} \ pm e_ {r} \ pm e_ {s}}$ indeksy pqrs przebiegają przez siedem tetrad 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456.

$)$ i 7 * 16 = 112 z 3), tworzą korzenie algebry . Wraz z pozostałymi ${\ displaystyle E_ {8}}$ +112 wektorami otrzymujemy 240 wektorów, które tworzą pierwiastki algebry Liego mi .

Aplikacje

W 1982 roku Michael Freedman stworzył przykład topologicznej 4-rozmaitości , zwanej rozmaitością E ₈ , której postać przecięcia jest określona przez siatkę E ₈ . Ta rozmaitość jest przykładem rozmaitości topologicznej, która nie dopuszcza gładkiej struktury i nie jest nawet trójkątna .

W teorii strun heterotyczna struna jest osobliwą hybrydą 26-wymiarowej struny bozonowej i 10-wymiarowej superstruny . Aby teoria działała poprawnie, 16 niedopasowanych wymiarów musi zostać zagęszczonych na równej, jednomodułowej siatce rzędu 16. Istnieją dwie takie sieci: Γ ₈ >⊕Γ ₈ i Γ ₁₆ (zbudowane w sposób analogiczny do Γ ₈ ). Prowadzi to do dwóch wersji heterotycznej struny znanej jako heterotyczna struna E ₈ × E ₈ i heterotyczna struna SO(32).

Zobacz też

• Krata Leecha
• E ₈ (matematyka)
• Półregularny E-politop

•   Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Opakowania sferyczne, kraty i grupy (wyd. 3). Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 .
•   Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). O kwaternionach i oktonionach . Natick, MA: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 . Rozdział 9 zawiera omówienie całkowych oktonionów i sieci E ₈ .