sześcienny Neuberga

W geometrii euklidesowej sześcienny Neuberga jest specjalną sześcienną płaską krzywą powiązaną z trójkątem odniesienia o kilku niezwykłych właściwościach. Jej nazwa pochodzi od Josepha Jean Baptiste Neuberga (30 października 1840 - 22 marca 1926), matematyka z Luksemburga, który jako pierwszy przedstawił krzywą w artykule opublikowanym w 1884 roku. Krzywa pojawia się jako pierwsza pozycja, o numerze identyfikacyjnym K001, w książce Bernarda Gilberta Katalog Triangle Cubics , który jest kompilacją obszernych informacji o ponad 1200 trójkątach sześciennych.

Definicje

Neuberg sześcienny trójkąta

△ ABC

przedstawiający jedną z definiujących właściwości dowolnego punktu

X

na krzywej

Sześcienny Neuberg można zdefiniować jako locus na wiele różnych sposobów. Jednym ze sposobów jest zdefiniowanie go jako locus punktu $P$ na płaszczyźnie trójkąta odniesienia $△ ABC$ takiego, że jeśli odbicia $P$ na bokach trójkąta $△ ABC$ są $P a, P b, P c$ , to proste $AP a, BP b, CP c$ są zbieżne. Należy jednak udowodnić, że tak zdefiniowane miejsce jest rzeczywiście krzywą sześcienną. Drugim sposobem jest zdefiniowanie go jako miejsca punktu $P$ takiego, że jeśli $O a, O b, O c$ są środkami okręgów opisanych na trójkątach $△ BPC, △ CPA, △ APB$ , to proste $AO a, BO b, O c$ są równoległy. Jeszcze innym sposobem jest zdefiniowanie go jako locus $P$ spełniającego następującą właściwość znaną jako quadrangles involutifs (w ten sposób Neuberg wprowadził krzywą):

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {vmatrix} 1 & BC ^ {2} + AP ^ {2} i BC ^ {2} \ razy AP ^ {2} \\ 1 i CA ^ {2} + BP ^ {2} i CA ^ {2} \times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0}

Równanie

Niech $a, b, c$ będą długościami boków trójkąta odniesienia $△ ABC$ . Wtedy równanie sześciennego Neuberga $△ ABC$ we współrzędnych barycentrycznych $x : y : z$ wynosi

{\ Displaystyle \ suma _ {\ tekst {cykliczny }}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^ {2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}

Inna terminologia: krzywa 21-punktowa, krzywa 37-punktowa

Neuberg sześcienny (21-punktowy sześcienny) trójkąta

△ ABC

przedstawiający 21-punktowe punkty specjalne na nim

W starszej literaturze krzywa Neuberga nazywana jest potocznie krzywą 21-punktową. Terminologia odnosi się do właściwości krzywej odkrytej przez samego Neuberga, polegającej na tym, że przechodzi ona przez pewne specjalne 21 punktów związanych z trójkątem odniesienia. Zakładając, że trójkątem odniesienia jest $△ ABC$ , 21 punktów jest wymienionych poniżej.

Wierzchołki $A, B, C$
Odbicia $A a, B b, C c$ wierzchołków $A, B, C$ na przeciwległych bokach
Ortocentrum $H$ _
Środek okręgu $O$
Trzy punkty $D a, D b, D c$ gdzie $Da Q$ jest odbiciem A na linii łączącej $bc i$ Q $cb gdzie$ Q $bc jest$ przecięciem dwusiecznej $AC$ z $AB$ a $Q cb$ jest przecięciem dwusieczna $AB$ z $AC$ ; $D b$ i $D c$ są definiowane podobnie
Sześć wierzchołków $A', B', C', A", B", C"$ trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach trójkąta $△ ABC$
Dwa centra izogoniczne (punkty X (13) i X (14) w Encyklopedii centrów trójkątów )
Dwa punkty izodynamiczne (punkty X (15) i X (16) w Encyklopedii centrów trójkątów)

Załączony rysunek przedstawia sześcienny Neuberga trójkąta $△ ABC$ ze wszystkimi wyżej wymienionymi 21 punktami specjalnymi.

W artykule opublikowanym w 1925 roku BH Brown poinformował o swoim odkryciu 16 dodatkowych punktów specjalnych na sześciennym Neuberga, co daje całkowitą liczbę znanych wówczas punktów specjalnych na sześciennym 37. Z tego powodu sześcienny Neuberg jest czasami określany jako 37 -punkt sześcienny. Obecnie wiadomo, że na sześciennym Neuberga leży ogromna liczba punktów specjalnych. Katalog Gilberta ma specjalną stronę poświęconą liście takich specjalnych punktów, które są również środkami trójkątów.

Niektóre własności sześciennego Neuberga

Sześcienny Neuberg jako okrągły sześcienny

Równanie we współrzędnych trójliniowych linii w nieskończoności w płaszczyźnie trójkąta odniesienia to

{\ Displaystyle ax + przez + cz = 0}

Istnieją dwa specjalne punkty na tej linii zwane kolistymi punktami w nieskończoności . Każdy okrąg na płaszczyźnie trójkąta przechodzi przez te dwa punkty, a każdy stożek przechodzący przez te punkty jest kołem. Trójliniowe współrzędne tych punktów to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane

gdzie ${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ . Każda krzywa sześcienna, która przechodzi przez dwa okrągłe punkty w nieskończoności, nazywana jest okrągłą sześcienną. Sześcienny Neuberga jest okrągłym sześciennym.

Sześcienny Neuberg jako kluczowy sześcienny izogonalny

Koniugat izogonalny punktu $P$ względem trójkąta $△ ABC$ jest punktem zbieżności odbić prostych $PA, PB, PC$ wokół dwusiecznych kątów odpowiednio $A, B, C.$ Izogonalny koniugat $P$ jest czasami oznaczany przez $P*$ . Izogonalny koniugat P $*$ to $P.$ Samo-izogonalny sześcienny to trójkąt sześcienny, który jest niezmienny w koniugacji izogonalnej. Obrotowy izogonalny sześcienny to sześcienny, w którym punkty $P$ leżące na sześciennym, a ich izogonalne koniugaty są współliniowe ze stałym punktem $Q$ znanym jako punkt obrotu sześciennego. Sześcian Neuberga to izogonalny sześcienny obrotowy, którego oś obrotu znajduje się na przecięciu linii Eulera z linią w nieskończoności . W Encyklopedii centrów trójkątów Kimberlinga punkt ten jest oznaczony przez X(30).

Sześcienny Neuberga jako ortosześcienny obrotowy

Niech $P$ będzie punktem na płaszczyźnie trójkąta $△ ABC$ . Proste prostopadłe w punktach $P$ do $AP, BP, CP$ przecinają odpowiednio $BC, CA, AB w$ $punktach P a, P b, P c$ i te punkty leżą na prostej $L P$ . $LP Niech$ trójliniowy biegun będzie $P ⊥$ . Izoobrotowy sześcienny to trójkąt sześcienny mający tę właściwość, że istnieje stały punkt $P$ tak, że dla dowolnego punktu M sześciennego punkty $P, M, M ⊥$ są współliniowe. Stały punkt $P$ nazywa się ortopią sześcienną. Sześcian Neuberga to sześcienny ortoobrotowy z ortopiwotem w środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dodatkowa lektura

Zvonko Čerin (1998). „Właściwości miejsca sześciennego Neuberga” . Dziennik geometrii . 63 (1–2): 39–56. doi : 10.1007/BF01221237 . S2CID 116778499 . Źródło 30 listopada 2021 r .
TW Moore i JH Neelley (maj 1925). „Okrągły sześcienny w dwudziestu jeden punktach trójkąta” . Amerykański miesięcznik matematyczny . 32 (5): 241–246. doi : 10.1080/00029890.1925.11986451 . JSTOR 2299192 . Źródło 2 grudnia 2021 r .
Abdikadir Altintas, O niektórych właściwościach Neuberg Cubic
Bernarda Gilberta. „Neuberg Cubics” (PDF) . Sześciany w płaszczyźnie trójkąta . Źródło 2 grudnia 2021 r .