Formalizm Batalina-Wilkowskiego

W fizyce teoretycznej formalizm Batalina -Wiłkowskiego ( BV ) (nazwany na cześć Igora Batalina i Grigorija Wiłkowskiego) został opracowany jako metoda określania struktury duchów dla teorii cechowania Lagrange'a , takich jak grawitacja i supergrawitacja , których odpowiednie sformułowanie hamiltonowskie ma ograniczenia niezwiązane do algebry Liego (tj. rolę stałych strukturalnych algebry Liego pełnią bardziej ogólne funkcje strukturalne). Formalizm BV, oparty na działaniu , które zawiera zarówno pola , jak i „antypola”, można traktować jako rozległe uogólnienie pierwotnego formalizmu BRST dla czystej teorii Yanga-Millsa na dowolną teorię cechowania Lagrange'a. Inne nazwy formalizmu Batalina-Wiłkowskiego to formalizm polowo-antypolowy , formalizm Lagrange'a BRST lub formalizm BV – BRST . Nie należy go mylić z formalizmem Batalina-Fradkina-Wilkowskiego (BFV), który jest odpowiednikiem Hamiltona.

Algebry Batalina-Wilkowskiego

W matematyce algebra Batalina – Wilkowskiego jest stopniowaną algebrą superprzemienną (z jednostką 1) z nilpotentnym operatorem drugiego rzędu Δ stopnia −1. Dokładniej, spełnia tożsamości

• ${\ Displaystyle |ab|=|a|+|b|}$ (Produkt ma stopień 0)
• ${\ Displaystyle |\ Delta (a) | = | a | -1}$ (Δ ma stopień -1)
• ${\ Displaystyle (ab) c = a (bc)}$ (Produkt jest asocjacyjny)
• ${\ Displaystyle ab = (-1) ^ {| a|| b|} ba}$ (Iloczyn jest (super) przemienny)
• ${\ Displaystyle \ Delta ^ {2} = 0}$ (Nilpotencja (rzędu 2))
• ${\ Displaystyle \ Delta (abc) - \ Delta (ab) c + \ Delta (a) bc- (-1) ^ {| a |} a \ Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^ {|a|+|b|}ab\Delta (c)-\Delta (1)abc=0}$ (Operator Δ jest drugiego rzędu)

Często wymaga również normalizacji:

• ${\ Displaystyle \ Delta (1) = 0}$ (normalizacja)

Antywspornik

Algebra Batalina – Wilkowskiego staje się algebrą Gerstenhabera , jeśli zdefiniujemy nawias Gerstenhabera przez

${\ Displaystyle (a, b): = (-1) ^ {\ lewo | a \ prawo |} \ Delta (ab) - (-1) ^ {\ lewo | a \ prawo |} \ Delta (a) ba \Delta (b)+a\Delta (1)b.}$

Inne nazwy nawiasu Gerstenhabera to nawias Buttina , antynawias lub nieparzysty nawias Poissona . Antibracket spełnia wymagania

• ${\ Displaystyle | (a, b) | = | a | + | b | -1}$ (antynawias kwadratowy (,) ma stopień -1)
• ${\ Displaystyle (a, b) = - (-1) ^ {(| a | +1)(|b|+1)}(b,a)}$ (symetria skośna)
• ${\ Displaystyle (-1) ^ {(| a | +1) (|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+( -1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0}$ (Tożsamość Jacobiego)
• ${\ Displaystyle (ab, c) = a (b, c) + (-1) ^ {| a || b |} b (a, c)} (Właściwość Poissona; Reguła$ Leibniza )

Dziwny Laplacian

Znormalizowany operator jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho}: = \ Delta - \ Delta (1).}$

Jest często nazywany nieparzystym Laplacianem , w szczególności w kontekście nieparzystej geometrii Poissona. To „rozróżnia” antybracket

• ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} (a, b) = ({\ Delta} _ {\ rho} (a), b) - (- 1) ^ { \ lewo | a \ prawo |} (a, {\ Delta} _ {\ rho} (b))}$ ( Operator rozróżnia (,)) ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} }$

Kwadrat ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} ^ {2} = (\ Delta (1), \ cdot)}$ znormalizowanego ${\ Displaystyle Operator {\Delta}_{\rho}}$ jest polem wektorowym Hamiltona z nieparzystym Hamiltonianem Δ(1)

• ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} ^ {2} (ab) = {\ Delta} _ {\ rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)}$ (reguła Leibniza)

które jest również znane jako modularne pole wektorowe . Zakładając normalizację Δ (1) = 0, nieparzysty laplacian $}$ i modułowym polem wektorowym $_ { \rho }^{2}}$ znika.

Kompaktowe sformułowanie pod względem zagnieżdżonych komutatorów

Jeśli wprowadzi się lewy operator mnożenia ${\ displaystyle L_ {a}}$

${\ Displaystyle L_ {a} (b): = ab,}$

i superkomutator [,] as

${\ Displaystyle [S, T]: = ST - (-1) ^ {\ lewo | S \ prawo | \ lewo | T \ prawo |} TS}$

dla dwóch dowolnych operatorów S i T , to definicję antynawiasu można zapisać zwięźle jako

${\ Displaystyle (a, b): = (-1) ^ {\ lewo | a \ prawo |} [[\ Delta, L_ {a}], L_ { b}]1,}$

a warunek drugiego rzędu dla Δ można zapisać zwięźle jako

${\ Displaystyle [[[\ Delta, L_ {a}], L_ {b}], L_ {c}] 1 = 0}$ ( Δ jest operatorem drugiego rzędu)

gdzie należy rozumieć, że odpowiedni operator działa na element jednostkowy 1. Innymi słowy, jest operatorem pierwszego rzędu (afinicznym) i $}]}$${\ Displaystyle [[\ Delta, L_ {a}], L_ {b}]}$ jest operatorem zerowego rzędu.

Równanie mistrzowskie

Klasycznym równaniem głównym dla elementu S o parzystym stopniu (zwanym działaniem ) algebry Batalina – Wilkowskiego jest równanie

${\ Displaystyle (S, S) = 0.}$

Równanie kwantowe dla elementu parzystego stopnia W algebry Batalina-Wiłkowskiego jest równaniem

${\ Displaystyle \ Delta \ exp \ lewo [{\ Frac {i} {\ hbar}} W \ prawej] = 0,}$

lub równoważnie,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (W, W) = i \ hbar {\ Delta} _ {\ rho} (W) + \ hbar ^ {2} \ Delta (1).}$

Zakładając normalizację Δ(1) = 0, otrzymujemy kwantowe równanie główne

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (W, W) = i \ hbar \ Delta (W).}$

Uogólnione algebry BV

W definicji uogólnionej algebry BV odrzuca się założenie drugiego rzędu dla Δ. Można wtedy zdefiniować nieskończoną hierarchię wyższych nawiasów stopnia −1

${\ Displaystyle \ Phi ^ {n} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}): = \ underbrace {[[\ ldots [\ Delta, L_ {a_ {1}}], \ ldots] ,L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {zagnieżdżone~komutatory}}}1.}$

Nawiasy są (stopniowane) symetryczne

${\ Displaystyle \ Phi ^ {n} (a _ {\ pi (1)}, \ ldots, a _ {\ pi (n)}) = (-1) ^ {\ left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ (nawiasy symetryczne)

gdzie ${\ Displaystyle \ pi \ w S_ {n}}$ jest permutacją i ${\ Displaystyle (-1) ^ {\ lewo | a _ {\ pi} \ prawo |}}$ to koszulski znak permutacji

${\ Displaystyle a_ {\ pi (1)} \ ldots a _ {\ pi (n)} = (-1) ^ {\ lewo | a_ {\ pi} \ prawo |} a_ {1} \ kropki a_{n}}$ .

Nawiasy stanowią $homotopię$ algebry Liego , znanej również jako algebra, która uogólnione tożsamości Jacobiego

${\ Displaystyle \ suma _ {k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\ left|a_{\pi }\right|}\Fi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k) }),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.}$ (Uogólnione tożsamości Jacobiego)

Kilka pierwszych nawiasów to:

• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {0}: = \ Delta (1)}$ (nawias zerowy)
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {1} (a): = [\ Delta, L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)} ($ Jeden nawias)
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {2} (a, b): = [[\ Delta, L_ {a}], L_ {b}] 1 =: (-1) ^ {\ lewo | a \right|}(a,b)}$ (dwa nawiasy)
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {3} (a, b, c): = [[[\ Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1}$ (trzy nawiasy)
• ${\ Displaystyle \ vdots}$

$\ Displaystyle \ Phi ^ {2}}$ jeden nawias nieparzystym Laplacianem, a dwunawiasowy jest ${\ Displaystyle \ Phi ^ {1} = {$ to antynawias do znaku. Kilka pierwszych uogólnionych tożsamości Jacobiego to:

• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {1} (\ Phi ^ {0}) = 0}$ ( ${\ Displaystyle \ Delta (1)}$ jest ${\ Displaystyle \ Delta _ { \rho }}$ -zamknięte)
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {2} (\ Phi ^ {0}, a) + \ Phi ^ {1} \ lewo (\ Phi ^ { 1} (a) \ prawej)}$ ( ${\ Displaystyle \ Delta (1)}$ jest hamiltonianem modułowego pola wektorowego ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} ^ {2} }$ )
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {3} (\ Phi ^ {0}, a, b) + \ Phi ^ { 2}\left(\Fi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Fi ^{2}\left(a,\Fi ^{1}(b) \right) + \ Phi ^ {1} \ lewo (\ Phi ^ {2} (a, b) \ right) = 0}$ ( Operator rozróżnia ( ${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho}}$ ,) uogólnione)
• ${\ Displaystyle \ Phi ^ {4} (\ Phi ^ {0}, a, b, c) + {\ rm {Jac}} (a, b, c)+\Phi ^{1}\left(\Fi ^{3}(a,b,c)\right)+\Fi ^{3}\left(\Fi ^{1}(a),b, c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Fi ^{3}\left(a,\Fi ^{1}(b),c\right)+(-1)^ {\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0} (Uogólniona tożsamość$ Jacobiego )
• ${\ Displaystyle \ vdots}$

gdzie Jacobiator dla dwóch nawiasów jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ Phi ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rm {Jac}} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}): = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {\ pi \ w S_ {3} }(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2) )}),a_{\pi (3)}\po prawej).}$

BV n -algebry

Operator Δ jest z definicji n-tego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy znika nawias ( n + 1) ${\ Displaystyle \ Phi ^ {n + 1}}$ . W takim przypadku mówi się o n-algebrze BV . Zatem algebra BV 2 jest z definicji algebrą BV. Jacobiator ${\ Displaystyle {\ rm {Jac}} (a, b, c) = 0}$ znika w algebrze BV, co oznacza, że ​​antynawias tutaj spełnia tożsamość Jacobiego. Algebra BV 1 , która spełnia normalizację Δ(1) = 0, jest taka sama jak algebra różniczkowa stopniowana (DGA) z różniczką Δ. Algebra BV 1 ma znikający antynawias.

Nieparzysta rozmaitość Poissona o gęstości objętościowej

$Niech$ dany będzie ( n | n ) $z$ dwuwektorem Poissona i gęstością objętościową Berezina , jako P- struktura i struktura S , odpowiednio. Niech lokalne współrzędne będą nazywane ${\ displaystyle x ^ {i}}$ . Niech pochodne $\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f}$ i

${\ Displaystyle f {\ stackrel {\ strzałka w lewo} {\ częściowa}} _ {i}: = (-1) ^ {\ lewo | x ^ {i} \ prawo | ( |f|+1)}\częściowe _{i}f}$

oznaczamy lewą i prawą pochodną funkcji f wrt. ${\ displaystyle x ^ {i}}$ odpowiednio. Nieparzysty dwuwektor Poissona spełnia dokładniej $\ Displaystyle \ pi ^ {ij}}$

• ${\ Displaystyle \ lewo |\ pi ^ {ij} \ prawo | = \ lewo | x ^ {i} \ prawo | + \ lewo | x ^ {j} \ prawo | -1} (Nieparzysta struktura Poissona$ ma stopień –1)
• $\ Displaystyle \ pi ^ {ji} = - (-1) ^ {(\ lewo | x ^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}}$ (symetria skośna)
• ${\ Displaystyle (-1) ^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\częściowo _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cykliczny}}(i,j,k)=0}$ (Tożsamość Jacobiego)

${\ Displaystyle x ^ {i} \ do x ^ {\ pierwsza i}}$ nieparzysty dwuwektor Poissona ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij}}$ i objętość Berezyna gęstość ${\ displaystyle \ rho}$ przekształcić jako

• ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ pierwsza k \ ell} = x ^ {\ pierwsza k} {\ stackrel {\ leftarrow} {\ częściowe }}_{i}\pi ^{ij}\częściowa _{j}x^{\prime \ell }}$
• $\ Displaystyle \ rho ^ {\ pierwsza} = \ rho / {\ rm {sdet}} (\ częściowa _ {i} x ^ {\ pierwsza j })}$

gdzie sdet oznacza superdeterminant , znany również jako Berezinian. Wtedy nieparzysty nawias Poissona jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle (f, g): = f {\ stackrel {\ strzałka w lewo} {\ częściowy}} _ {i} \ pi ^ {ij} \ częściowy _ {j} g.}$

Pole wektorowe Hamiltona z Hamiltonianem f można zdefiniować jako ${\ displaystyle X_ {f}}$

${\ Displaystyle X_ {f} [g]: = (f, g).}$

(Super-) dywergencja pola wektorowego jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle X = X ^ {i} \ częściowa _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ rm {div}} _ {\ rho} X: = {\ Frac {(-1) ^ {\ lewo | x ^ {i }\right|(|X|+1)}}{\rho }}\częściowe _{i}(\rho X^{i})}$

Przypomnijmy, że pola wektorowe Hamiltona są wolne od rozbieżności w geometrii parzystej Poissona z powodu twierdzenia Liouville'a. W nieparzystej geometrii Poissona odpowiednie stwierdzenie nie obowiązuje. Dziwny laplacian mierzy niepowodzenie $.$ Aż do współczynnika znaku definiuje się go jako połowę rozbieżności odpowiedniego pola wektorowego Hamiltona,

${\ Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho} (f): = {\ Frac {(-1) ^ {\ lewo | f \ prawo |}} {2}} {\ rm {div}} _ {\ rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\lewo|x^{i}\prawo|}}{2\rho }}\częściowo _{i}\rho \pi ^{ij} \częściowy _{j}f.}$

$, że$ dziwna struktura Poissona $\rho }^{2}}$ gęstość objętości Berezina są zgodne , jeśli modułowe pole wektorowe $Displaystyle {$$Delta}$ znika. W takim przypadku nieparzysty laplacian jest operatorem BV Δ z normalizacją Δ (1) = 0. Δ ρ $Displaystyle {\ Delta} _ {\ rho}}$ Odpowiednią algebrą BV jest algebra funkcji.

Nieparzysta rozmaitość symplektyczna

$się$ dwuwektor Poissona jest odwracalny, ma rozmaitość symplektyczną W takim przypadku istnieje dziwne twierdzenie Darboux . Oznacza to, że istnieją lokalne współrzędne Darboux $^$ tj. Współrzędne i p $^ {n}$ stopnia

${\ Displaystyle \ lewo | q ^ {i} \ prawo | + \ lewo | p_ {i} \ prawo | = 1,}$

tak, że nieparzysty nawias Poissona jest w postaci Darboux

${\ Displaystyle (q ^ {i}, p_ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i}.}$

W fizyce teoretycznej współrzędne i pędy $Displaystyle$ są polami i antypolami $\$ zwykle oznaczane $\ phi ^ {i} }$ i odpowiednio ${\ Displaystyle \ phi _ {j} ^ {*}}$ .

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ pi}: = (-1) ^ {\ lewo | q ^ {i} \ prawo |} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy q ^ {i}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy p_{i}}}}$

działa na przestrzeni wektorowej półgęstości i jest globalnie dobrze zdefiniowanym operatorem w atlasie sąsiedztw Darboux. $Operator$ Khudaverdiana struktury P. Jest $-1$ . Niemniej jednak technicznie nie jest to operator BV Δ, ponieważ przestrzeń wektorowa półgęstości nie ma mnożenia. (Iloczyn dwóch półgęstości jest raczej gęstością niż półgęstością). Biorąc pod uwagę stałą gęstość , można skonstruować nilpotentnego operatora BV Δ jako ${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ Delta (f): = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ rho}}} \ Delta _ {\ pi} ({\ sqrt {\rho}}f),}$

której odpowiednią algebrą BV jest algebra funkcji lub równoważnie skalary . Nieparzysta struktura symplektyczna $i$ gęstość $kompatybilne wtedy$ gdy Δ (1) jest stałą nieparzystą.

Przykłady

• Schoutena – Nijenhuisa dla pól wielowektorowych.
• Jeśli L jest superalgebrą Liego, a Π jest operatorem wymieniającym parzyste i nieparzyste części super przestrzeni, to algebra symetryczna Π ( L ) („ algebra zewnętrzna ” L ) jest algebrą Batalina – Wilkowskiego z podanym Δ przez zwykłą różniczkę używaną do obliczania kohomologii algebry Liego .

Zobacz też

• Kwantyzacja BRST
• algebry Gerstenhabera
• Superrozmaitość
• Analiza przepływów
• Rozmaitość Poissona

Pedagogiczny

•   Costello, K. (2011). „ Renormalizacja i efektywna teoria pola ”. ISBN 978-0-8218-5288-0 (Wyjaśnia perturbacyjną kwantową teorię pola i rygorystyczne aspekty, takie jak kwantyzacja teorii Cherna-Simonsa i teorii Yanga-Millsa przy użyciu formalizmu BV)

Bibliografia

• Batalin, IA i Vilkovsky, GA (1981). „Algebra mierników i kwantyzacja”. fizyka Łotysz. B. _ 102 (1): 27–31. Bibcode : 1981PhLB..102...27B . doi : 10.1016/0370-2693(81)90205-7 .
• Batalin, IA; Vilkovsky, GA (1983). „Kwantyzacja teorii cechowania za pomocą liniowo zależnych generatorów”. Przegląd fizyczny D. 28 (10): 2567–2582. Bibcode : 1983PhRvD..28.2567B . doi : 10.1103/PhysRevD.28.2567 . Errata-ibid. 30 (1984) 508 doi : 10.1103/PhysRevD.30.508 .
•   Getzler, E. (1994). „Algebry Batalina-Wiłkowskiego i dwuwymiarowe topologiczne teorie pola”. Komunikacja w fizyce matematycznej . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Bibcode : 1994CMaPh.159..265G . doi : 10.1007/BF02102639 . S2CID 14823949 .
•     Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), „Lokalna kohomologia BRST w teoriach cechowania”, Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B , doi : 10.1016 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN 0370-1573 , MR 1792979 , S2CID 119420167
•   Weinberg, Steven (2005). Kwantowa teoria pól, tom. II . Nowy Jork: Uniwersytet Cambridge. Naciskać. ISBN 0-521-67054-3 .