algebry Gerstenhabera

Murray Gerstenhaber w Oberwolfach w 2010 roku

W matematyce i fizyce teoretycznej algebra Gerstenhabera (czasami nazywana algebrą antynawiasów lub algebrą warkocza ) jest strukturą algebraiczną odkrytą przez Murraya Gerstenhabera (1963), która łączy struktury pierścienia superkomutacyjnego i stopniowanej superalgebry Liego . Jest używany w formalizmie Batalina-Wilkowskiego . Pojawia się również w uogólnieniu formalizmu Hamiltona, znanym jako teoria De Dondera-Weyla, jako algebra uogólnionych nawiasów Poissona zdefiniowanych na formach różniczkowych.

Definicja

Algebra Gerstenhabera jest algebrą przemienną stopniowaną z nawiasem Liego stopnia -1 spełniającym tożsamość Poissona . Wszystko jest zrozumiałe, aby spełnić zwykłe superalgebry . Mówiąc dokładniej, algebra ma dwa iloczyny, jeden zapisany jako zwykłe mnożenie, a drugi jako [,], oraz ocenę Z zwaną stopniem ( w fizyce teoretycznej czasami nazywaną liczbą duchów ). Stopień elementu a jest oznaczony przez | | . Te spełniają tożsamości

• | od | = | | _ + | b | (Produkt ma stopień 0)
• |[ a , b ]| = | | _ + | b | − 1 (Nawias Liego ma stopień −1)
• ( ab ) c = a ( bc ) (Iloczyn jest asocjacyjny)
• ab = (−1) ^{| || _ b |} ba (Iloczyn jest (super) przemienny)
• [ za , bc ] = [ za , b ] do + (−1) ^{(| za |−1)| b |} b [ a , c ] (tożsamość Poissona)
• [ a , b ] = −(−1) ^{(| a |−1)(| b |−1)} [ b , a ] (Antysymetria nawiasu Liego)
• [ a ,[ b , c ]] = [[ a , b ], c ] + (−1) ^{(| a |−1)(| b |−1)} [ b ,[ a , c ]] (Jakobi tożsamość dla nawiasu Liego)

Algebry Gerstenhabera różnią się od superalgebr Poissona tym, że nawias Liego ma stopień −1, a nie stopień 0. Tożsamość Jacobiego można również wyrazić w postaci symetrycznej

${\ Displaystyle (-1) ^ {(| a | - 1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]] +(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,}$

Przykłady

• Gerstenhaber wykazał, że kohomologia Hochschilda H ^* ( A , A ) algebry A jest algebrą Gerstenhabera.
• Algebra Batalina – Wilkowskiego ma podstawową algebrę Gerstenhabera, jeśli zapomni się o jej operatorze Δ drugiego rzędu.
• Algebrą zewnętrzną algebry Liego jest algebra Gerstenhabera.
• Formy różniczkowe na rozmaitości Poissona tworzą algebrę Gerstenhabera.
• Pola wielowektorowe na rozmaitości tworzą algebrę Gerstenhabera przy użyciu nawiasu Schoutena – Nijenhuisa

•   Gerstenhaber, Murray (1963). „Struktura kohomologii pierścienia asocjacyjnego”. Roczniki matematyki . 78 (2): 267–288. doi : 10.2307/1970343 . JSTOR 1970343 .
• Getzler, Ezra (1994). „Algebry Batalina-Wiłkowskiego i dwuwymiarowe topologiczne teorie pola”. Komunikacja w fizyce matematycznej . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Bibcode : 1994CMaPh.159..265G . doi : 10.1007/BF02102639 .
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2001) [1994], "Algebra Poissona" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Kanatchikov, Igor V. (1997). „O teoretycznych uogólnieniach algebry Poissona”. Raporty z fizyki matematycznej . 40 (2): 225–234. arXiv : hep-th/9710069 . Bibcode : 1997RpMP...40..225K . doi : 10.1016/S0034-4877(97)85919-8 .