Formuła Simonsa

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej wzór Simonsa (znany również jako tożsamość Simonsa , aw niektórych wariantach jako nierówność Simonsa ) jest podstawowym równaniem w badaniu minimalnych podrozmaitości . Został odkryty przez Jamesa Simonsa w 1968 roku. Można go postrzegać jako wzór na Laplace'a drugiej podstawowej formy podrozmaitości Riemanna . Jest często cytowany i używany w mniej precyzyjnej formie wzoru lub nierówności dla Laplace'a o długości drugiej podstawowej formy.

W przypadku hiperpowierzchni $M$ przestrzeni euklidesowej , formuła to potwierdza

{\ Displaystyle \ Delta h = \ operatorname {Hess} H + Hh ^ {2} - | h | ^ {2} h,}

gdzie, względem lokalnego wyboru jednostkowego pola wektora normalnego, $h$ jest drugą podstawową postacią , $H$ jest średnią krzywizną , a $h 2$ jest symetrycznym tensorem 2 na $M$ określonym przez $h 2 ij = g pq h ip h qj$ . Ma to taki skutek

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ Delta | h | ^ {2} = | \ nabla h | ^ {2} - |h|^{4}+\langle h,\nazwa_operatora {Hess} H\rangle +H\nazwa_operatora {tr} (A^{3})}

gdzie $A$ jest operatorem kształtu . W tym ustawieniu wyprowadzenie jest szczególnie proste:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta h_ {ij} & = \ nabla ^ {p} \ nabla _ {p} h_ {ij} \\& = \ nabla ^ {p} \ nabla _ {i} h_ {jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^ {p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j} ^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{ i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{wyrównane}}}

jedynymi zaangażowanymi narzędziami są równanie Codazziego (równości nr 2 i 4), równanie Gaussa (równość nr 4) oraz tożsamość komutacji dla różniczkowania kowariantnego (równość nr 3). Bardziej ogólny przypadek hiperpowierzchni w rozmaitości riemannowskiej wymaga dodatkowych wyrazów związanych z tensorem krzywizny Riemanna . W jeszcze bardziej ogólnym ustawieniu dowolnego współwymiaru wzór obejmuje skomplikowany wielomian w drugiej postaci podstawowej.

przypisy

Książki

Tobias Holck Colding i William P. Minicozzi, II. Kurs na minimalnych powierzchniach. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii + 313 s. ISBN 978-0-8218-5323-8
Henryk Giusti. Minimalne powierzchnie i funkcje ograniczonej zmienności. Monografie z matematyki, 80. Birkhäuser Verlag, Bazylea, 1984. xii + 240 s. ISBN 0-8176-3153-4
Leon Szymon. Wykłady z teorii miary geometrycznej. Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, Australian National University, 3. Australian National University, Centre for Mathematical Analysis, Canberra, 1983. vii + 272 s. ISBN 0-86784-429-9

Artykuły

SS Chern, M. do Carmo i S. Kobayashi. Minimalne podrozmaitości kuli o drugiej postaci podstawowej o stałej długości. Analiza funkcjonalna i dziedziny pokrewne (1970), 59–75. Materiały z konferencji ku czci profesora Marshalla Stone'a, która odbyła się na Uniwersytecie w Chicago w maju 1968 r. Springer, Nowy Jork. Pod redakcją Felixa E. Browdera. doi : 10.1007/978-3-642-48272-4_2
Gerharda Huiskena. Przepływ przez średnią krzywiznę wypukłych powierzchni do kulek. J. Geometria różniczkowa. 20 (1984), nr. 1, 237–266. doi : 10.4310/jdg/1214438998
Gerharda Huiskena. Kontraktowanie wypukłych hiperpowierzchni w rozmaitościach riemannowskich przez ich średnią krzywiznę. Wynaleźć. Matematyka 84 (1986), no. 3, 463–480. doi : 10.1007/BF01388742
Jamesa Simonsa. Rozmaitości minimalne w rozmaitościach riemannowskich. Ann. z matematyki. (2) 88 (1968), 62-105. doi : 10.2307/1970556