Lis n -kolorystyka

W matematycznej dziedzinie teorii węzłów Fox n -coloring jest metodą określania reprezentacji grupy węzłów lub grupy łącza (nie mylić z grupą łączników ) na dwuściennej grupie rzędu n , gdzie n jest nieparzystej liczby całkowitej przez kolorowanie łuków na diagramie połączeń (sama reprezentacja jest często nazywana również Fox n -coloring). Ralph Fox odkrył tę metodę (i szczególny przypadek trójkolorowości ) „w celu uczynienia tematu dostępnym dla wszystkich”, kiedy wyjaśniał teorię węzłów studentom studiów licencjackich w Haverford College w 1956 roku. Fox n -coloring jest przykładem kwandle koniugacji .

Definicja

Niech L będzie łącznikiem i niech będzie podstawową grupą jego dopełnienia. ${\ displaystyle \ pi}$ Reprezentacja dwuściennej grupy rzędu 2n ${\ displaystyle \$ $na$ } re $\ displaystyle D_ {2n}}$ nazywana jest Fox n -coloring (lub po prostu n -coloring) ρ {\ displaystyle \ rho} z L. _ O łączu L , które dopuszcza taką reprezentację, mówimy, że jest n -colorable , a nazywa się n -kolorowanie L ${\ displaystyle \ rho}$ . Takie reprezentacje grup powiązań rozważano w kontekście pokrywania przestrzeni od czasów Reidemeistera w 1929 roku. [W rzeczywistości Reidemeister w pełni wyjaśnił to wszystko w 1926 roku na stronie 18 „Knoten und Gruppen” w Hamburger Abhandlungen 5. ” zostało mu nadane znacznie później przez matematyków, którzy prawdopodobnie nie potrafili czytać po niemiecku.] Preferowanym terminem Foxa na określenie tak zwanego „kolorystyki lisa 3” była „właściwość L”; patrz Ćwiczenie 6 na stronie 92 jego książki „Wprowadzenie do teorii węzłów” (1963).

Grupa łącza jest generowana przez ścieżki od punktu bazowego w $rurowego$ sąsiedztwa łącza, wokół południka rurowego sąsiedztwa iz powrotem do punktu bazowego Przez suriektywność reprezentacji generatory te muszą odwzorowywać odbicia regularnego n -gonu. Takie odbicia $t$ elementom grupy dwuściennej, gdzie , a s jest generowaniem ( ${\ Displaystyle 2 \ pi / n}$ ) obrót n -gonu. Generatory grupy łącza podanego powyżej są w bijektywnej korespondencji z łukami diagramu połączeń i jeśli generator jest odwzorowywany na my ${2p}}$ D_ pokoloruj odpowiedni łuk ${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ . Nazywa się to Fox n -kolorystyka diagramu połączeń i spełnia następujące właściwości:

$są$ co najmniej dwa kolory (przez suriektywność .
Wokół skrzyżowania średnia kolorów łuków krzyżujących się pod spodem jest równa kolorowi łuku krzyżującego się (ponieważ $reprezentacją$ grupy łączników).

N -kolorowe łącze daje 3-rozmaitość M , biorąc (nieregularne) dwuścienne pokrycie 3-sfery rozgałęzionej nad L z monodromią określoną przez ${\ displaystyle \ rho}$ . Z twierdzenia Montesinosa i Hildena można $trójkolorowania$ ten sposób otrzymać dowolną zamkniętą trójwymiarową rozmaitość dla pewnego węzła K i pewnego K . Nie jest to już prawdą, gdy n jest większe niż trzy.

Liczba kolorów

Oznaczono liczbę różnych zabarwień Fox n łącza L

{\ Displaystyle \ operatorname {col} _ {n} (L)}

jest niezmiennikiem połączenia, które można łatwo obliczyć ręcznie na dowolnym diagramie połączeń, kolorując łuki zgodnie z zasadami kolorowania. Licząc kolory, zgodnie z konwencją, rozważamy również przypadek, w którym wszystkie łuki mają ten sam kolor, i nazywamy takie kolorowanie trywialnym.

Wszystkie możliwe trójkolorowe sęki koniczyny.

Na przykład standardowy schemat minimalnego skrzyżowania węzła koniczyny ma 9 różnych trójkolorowych kolorów, jak widać na rysunku:

3 „trywialne” kolory (każdy łuk niebieski, czerwony lub zielony)
3 kolorystyki z uporządkowaniem Niebieski→Zielony→Czerwony
3 kolorystyki z uporządkowaniem Niebieski→Czerwony→Zielony

Zbiór Fox 'n'-kolorowań łącza tworzy grupę abelową $,$ n -kolorowań to -kolorowanie przez dodatek nitkowy. Ta grupa dzieli się jako suma bezpośrednia

{\ Displaystyle C_ {n} (K) \ cong \ mathbb {Z} _ {n} \ oplus C_ {n} ^ {0} (K) \, }

,

gdzie pierwsza suma odpowiada n trywialnym $($ ) kolorom, a niezerowe elementy odpowiadają nietrywialnym ( tłumaczenia modulo przez dodanie stałej do każdej nici).

Jeśli $jest$ operatorem sumy $displaystyle L_ {2}}$ a i $\$ linkami, to

{\ Displaystyle \ operatorname {kol} _ {n} (L_ {1}) \ operatorname {kol} _ {n} (L_ {2}) = n \ operatorname {kol} _ {n} (L_ {1} \ #L_{2}).}

Uogólnienie na G -kolorowanie

Niech L będzie ogniwem, niech π będzie podstawową grupą swojego dopełnienia, a G niech będzie grupą. Homomorfizm $G$ π do nazywa się G - kolorowaniem L . _ A G -kolorowanie diagramu węzłów jest indukowanym przypisaniem elementu G do nici L tak, że przy każdym skrzyżowaniu, jeśli c jest elementem G przypisane do krzyżującej się nici i jeśli a i b są elementami G przypisanymi do dwóch krzyżujących się nici, to a = c ⁻¹ bc lub b = c ⁻¹ ac , w zależności od orientacji krzyżującej się nici. Jeśli grupa G jest dwuścienna rzędu 2n , to schematyczna reprezentacja G -kolorystyki redukuje się do Foxa -kolorystyka n . Węzeł torusa T(3,5) ma tylko stałą n -kolory, ale dla grupy G równej grupie przemiennej A ₅ , T(3,5) ma niestałe G -kolory.

Dalsza lektura

Richard H. Crowell, Ralph H. Fox , „Wprowadzenie do teorii węzłów”, Ginn and Co., Boston, 1963. MR 0146828
Ralph H. Fox , Szybka podróż przez teorię węzłów , w: MK Fort (red.), „Topologia 3-rozmaitości i tematy pokrewne”, Prentice-Hall, NJ, 1961, s. 120–167. MR 0140099
Ralph H. Fox , Metacykliczne niezmienniki węzłów i ogniw , Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193–201. MR 0261584
Józef H. Przytycki , 3-kolorowanie i inne elementarne niezmienniki węzłów. Publikacje Centrum Banacha, tom. 42, "Teoria węzłów", Warszawa 1998, s. 275–295.
Kurt Reidemeister , Knoten und Verkettungen , Math. Z.29 (1929), 713-729. MR 1545033