Transformata Joukowsky'ego

Przykład transformaty Joukowsky'ego. Okrąg powyżej jest przekształcony w płat Joukowsky'ego poniżej.

W matematyce stosowanej transformata Joukowsky'ego, nazwana na cześć Mikołaja Żukowskiego (który opublikował ją w 1910 r.), jest mapą konforemną stosowaną w przeszłości do zrozumienia niektórych zasad projektowania płatów .

Transformacja jest

{\ Displaystyle Z = \ zeta + {\ Frac {1} {\ zeta}},}

gdzie $Displaystyle z = x + iy}$ $jest$ przestrzeni i zmienną zespoloną w oryginalna przestrzeń. Ta transformacja jest również nazywana transformacją Joukowsky'ego , transformacją Joukowskiego , transformacją Żukowskiego i innymi odmianami.

W aerodynamice transformacja służy do rozwiązania dwuwymiarowego przepływu potencjału wokół klasy płatów znanych jako płaty Joukowsky'ego. Płat Joukowsky'ego jest generowany na płaszczyźnie zespolonej ( $-płaszczyzna$ ) przez zastosowanie transformacji Joukowsky'ego do koła w $-$ Współrzędne środka okręgu są zmiennymi, a ich zmiana modyfikuje kształt powstałego płata. Okrąg zawiera punkt ${\ Displaystyle \ zeta = -1}$ (gdzie pochodna wynosi zero) i przecina punkt ${\ Displaystyle \ zeta = 1.}$ Można to osiągnąć dla dowolnej dopuszczalnej pozycji środkowej ${\ displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$ zmieniając promień okręgu.

Płaty Joukowsky'ego mają wierzchołek na krawędzi spływu . Ściśle powiązane mapowanie konforemne, transformata Kármána – Trefftza , generuje szerszą klasę płatów Kármána – Trefftza poprzez kontrolowanie kąta krawędzi spływu. Gdy określony jest kąt krawędzi spływu równy zero, transformata Kármána-Trefftza redukuje się do transformaty Joukowsky'ego.

Transformacja generała Joukowsky'ego

Transformata Joukowsky'ego dowolnej liczby zespolonej do $\ displaystyle z}$ ${$ jest następująca:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} z & = x + iy = \ zeta + {\ Frac {1} {\ zeta}} \\& = \ chi + i \ eta + {\ Frac {1} {\ chi + i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt ]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1} {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{wyrównane}}}

Tak więc rzeczywiste ( ${\ displaystyle x}$ ) i urojone ( $składniki$ to:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = \ chi \ lewo (1 + {\ Frac {1} {\ chi ^ {2} + \ eta ^ {2}}} \ prawej), \\ [2pt] y & =\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{wyrównane}}}

Przykładowy płat Joukowsky'ego

Transformacja wszystkich liczb zespolonych na okręgu jednostkowym jest przypadkiem szczególnym.

{\ Displaystyle | \ zeta | = {\ sqrt {\ chi ^ {2} + \ eta ^ {2}}} = 1,}

co daje

{\ Displaystyle \ chi ^ {2} + \ eta ^ {2} = 1.}

Zatem składowa rzeczywista staje się ${\ textstyle x = \ chi (1 + 1) = 2 \ chi},$ a składowa urojona staje się ${\ textstyle y=\eta (1-1)=0}$ .

W ten sposób złożony okrąg jednostkowy jest odwzorowywany na płaską płytkę na linii liczb rzeczywistych od -2 do +2.

Transformacje z innych kręgów tworzą szeroką gamę kształtów płatów.

Pole prędkości i cyrkulacja dla płata Joukowsky'ego

Rozwiązanie potencjalnego przepływu wokół okrągłego cylindra jest analityczne i dobrze znane. Jest to superpozycja przepływu jednorodnego , dubletu i wiru .

$_ },}$ koniugatu wokół okręgu w płaszczyźnie jest ${\ displaystyle \ zeta}$

{\ Displaystyle {\ widetilde {W}} = V_ {\ infty} e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty}R^{2}e^{i\ alfa }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}

Gdzie

${\ Displaystyle \ mu = \ mu _ {x} + i \ mu _ {y}}$ jest zespoloną współrzędną środka koła,
${\ Displaystyle V _ {\ infty}}$ to prędkość swobodnego strumienia płynu,

jest kątem natarcia płata względem swobodnego przepływu, ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle R}$ to promień okręgu obliczony za pomocą ${\ textstyle R = {\ sqrt {\ lewo (1- \ mu _ {x} \ prawo )^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$ ,
${\ Displaystyle \ Gamma}$ to obieg znaleziony przy użyciu warunku Kutta , który w tym przypadku redukuje się do ${\ Displaystyle \ Gamma = 4 \ pi V_ {\ infty} R \ sin \ lewo (\ alfa + \ sin ^ {-1} {\ Frac {\ mu _ {y}} {R}} \ prawo).}$

Złożona prędkość wokół płata w płaszczyźnie $,$ ${\ displaystyle W}$ zgodnie z zasadami mapowania konforemnego i przy użyciu transformacji Joukowsky'ego, W

{\ Displaystyle W = {\ Frac {\ widetilde {W}} {\ Frac {dz} {d \ zeta}}} = {\ Frac {\ widetilde {W}} {1- {\ Frac {1} {\ zeta ^{2}}}}}.}

Tutaj ${\ Displaystyle W = u_ {x} -iu_ {y},}$ z prędkością ${\ Displaystyle u_ {x}}$ i ${\ Displaystyle u_ {y}}$ komponenty odpowiednio w kierunkach i ${\ Displaystyle$ $y}$ ( ${\ Displaystyle z = x + iy,}$ x $\ displaystyle x}$ i $wartościach$ rzeczywistych). Na podstawie tej prędkości można obliczyć inne interesujące właściwości przepływu, takie jak współczynnik ciśnienia i siła nośna na jednostkę rozpiętości.

Płat Joukowsky ma wierzchołek na krawędzi spływu.

Transformacja nosi imię rosyjskiego naukowca Nikołaja Żukowskiego . Jego imię było historycznie latynizowane na wiele sposobów, stąd różnica w pisowni transformacji.

Transformata Kármána-Trefftza

Przykład transformacji Kármána – Trefftza. Okrąg powyżej w samolocie

samolocie

,

przekształcany

w płat Kármán – Trefftz poniżej .

0,08}

parametry to:

\ mu _ {y}

i

{\ Displaystyle n = 1.94.}

Zauważ, że płat w

{\ displaystyle z}

-płaszczyzna została znormalizowana przy użyciu długości cięciwy .

Kármána – Trefftza jest mapą konforemną blisko spokrewnioną z transformacją Joukowsky'ego. Podczas gdy płat Joukowsky'ego ma zakrzywioną krawędź spływu, płat Kármán – Trefftz - który jest wynikiem przekształcenia koła w płaszczyźnie -do fizycznej ${\ displaystyle$ analogowej $\ zeta }$ zgodnie z definicją płata Joukowsky'ego - ma niezerowy kąt na krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią płata. Transformacja Kármána – Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta krawędzi spływu ${\ displaystyle \ alpha.}$ Ta transformacja jest

{\ Displaystyle z = nb {\ Frac {(\ zeta + b) ^ {n }+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}

()

gdzie jest $rzeczywistą$ stałą, która określa pozycje, w których ${\ displaystyle \ alpha}$ jest $displaystyle$ mniejszy niż 2. $dz / d \ zeta = 0}$ między stycznymi górnej i dolnej powierzchni płata na krawędzi spływu jest powiązany z ${\ displaystyle n}$ jak

{\ Displaystyle \ alfa = 2 \ pi -n \ pi, \ quad n = 2- {\ Frac {\ alfa} {\ pi}}.}

Pochodna wymagana do obliczenia pola prędkości to ${\ Displaystyle dz / d \ zeta}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dz} {d \ zeta}} = {\ Frac {4n ^ {2}} {\ zeta ^ {2} -1}} {\ Frac {\ lewo (1 + {\ frac { 1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta}}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta}}\right)^{n}\right]^{2}}}.}

Tło

Najpierw dodaj i odejmij 2 od transformaty Joukowsky'ego, jak podano powyżej:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} z + 2 & = \ zeta +2 + {\ Frac {1} {\ zeta}} = {\ Frac {1} {\ zeta}} (\ zeta +1) ^ {2 },\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}. \end{wyrównane}}}

Dzielenie lewej i prawej strony daje

{\ Displaystyle {\ Frac {z-2} {z + 2}} = \ lewo ({\ Frac {\ zeta -1} {\ zeta +1}} \ prawej) ^ {2}.}

Prawa strona zawiera (jako współczynnik) proste prawo drugiej potęgi z teorii przepływu potencjalnego , zastosowane na krawędzi spływu w pobliżu ${\ Displaystyle \ zeta = + 1.}$ Z teorii mapowania konforemnego ta mapa kwadratowa wiadomo, że zmienia półpłaszczyznę w ${\ displaystyle \ zeta}$ -przestrzeń w przepływ potencjału wokół półnieskończonej linii prostej. Ponadto wartości mocy mniejsze niż 2 spowodują przepływ wokół skończonego kąta. Tak więc, zmieniając potęgę w transformacji Joukowsky'ego na wartość nieco mniejszą niż 2, wynikiem jest skończony kąt zamiast wierzchołka. Zastąpienie 2 przez w poprzednim równaniu daje ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle {\ Frac {zn} {z + n}} = \ lewo ({\ Frac {\ zeta -1} {\ zeta + 1 }}\prawo)^{n},}

czyli transformata Kármána – Trefftza. Rozwiązanie dla $to$ w postaci równania A .

Symetryczne płaty Joukowsky'ego

W 1943 $\ alpha$ -shen Tsien opublikował transformację okręgu o promieniu $: za {\$ symetryczny płat, który zależy od parametru $displaystyle$ kąta nachylenia }

{\ Displaystyle z = e ^ {i \ alfa} \ lewo (\ zeta - \ epsilon + {\ Frac {1} {\ zeta - \ epsilon}} + {\ Frac {2 \ epsilon ^ {2}} {a + \epsilon }}\po prawej).}

Parametr daje płaską płytkę, gdy jest zero, i okrąg, gdy jest nieskończony; ${\ displaystyle \ epsilon}$ odpowiada zatem grubości płata. Ponadto promień cylindra ${\ Displaystyle a = 1+ \ epsilon}$ .

Notatki

Anderson, John (1991). Podstawy aerodynamiki (wyd. Drugie). Toronto: McGraw-Hill. s. 195–208. ISBN 0-07-001679-8 .
Zingg, DW (1989). „Obliczenia niskiej liczby Macha Eulera” . NASA TM-102205.

Linki zewnętrzne