Funkcja Baire'a

W matematyce funkcje Baire'a to funkcje otrzymane z funkcji ciągłych przez pozaskończoną iterację operacji tworzenia granic punktowych ciągów funkcji. Zostały one wprowadzone przez René-Louisa Baire'a w 1899 roku. Zbiór Baire'a to zbiór, którego charakterystyczną funkcją jest funkcja Baire'a. (Istnieją inne podobne, ale nierównoważne definicje zbiorów Baire'a).

Klasyfikacja funkcji Baire'a

Funkcje Baire'a klasy α dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej α tworzą przestrzeń wektorową funkcji o wartościach rzeczywistych określonych w przestrzeni topologicznej , jak następuje.

• Funkcje Baire'a klasy 0 są funkcjami ciągłymi .
• Funkcje Baire'a klasy 1 to te funkcje, które są punktową granicą ciągu funkcji Baire'a klasy 0.
• Ogólnie rzecz biorąc, funkcjami klasy Baire'a α są wszystkie funkcje, które są punktową granicą ciągu funkcji klasy Baire'a mniejszych niż α.

Niektórzy autorzy definiują klasy nieco inaczej, usuwając wszystkie funkcje klasy mniejszej niż α z funkcji klasy α. Oznacza to, że każda funkcja Baire'a ma dobrze zdefiniowaną klasę, ale funkcje danej klasy nie tworzą już przestrzeni wektorowej.

Henri Lebesgue udowodnił, że (dla funkcji w przedziale jednostkowym ) każda klasa Baire'a przeliczalnej liczby porządkowej zawiera funkcje, które nie należą do żadnej mniejszej klasy oraz że istnieją funkcje, które nie należą do żadnej klasy Baire'a.

klasa Baire'a 1

Przykłady:

• Pochodna dowolnej funkcji różniczkowalnej jest klasy 1. Przykładem funkcji różniczkowalnej, której pochodna nie jest ciągła (przy x = 0 ) , jest funkcja równa ${\ Displaystyle x ^ {2} \sin(1/x)}$ gdy x ≠ 0 i 0 gdy x = 0. Nieskończona suma podobnych funkcji (przeskalowanych i przesuniętych przez liczby wymierne ) może nawet dać funkcję różniczkowalną, której pochodna jest nieciągła na zbiorze gęstym. Jednak koniecznie ma punkty ciągłości, co łatwo wynika z Twierdzenia o Charakterystyce Baire'a (poniżej; weź K = X = R ).
• Funkcja charakterystyczna zbioru liczb całkowitych , która jest równa 1, jeśli x jest liczbą całkowitą, a 0 w przeciwnym przypadku. (Nieskończona liczba dużych nieciągłości.)
• Funkcja Thomae , która wynosi 0 dla niewymiernego x i 1/ q dla liczby wymiernej p / q (w postaci zredukowanej). (Gęsty zbiór nieciągłości, czyli zbiór liczb wymiernych.)
• Funkcja charakterystyczna zbioru Cantora , która jest równa 1, jeśli x jest w zbiorze Cantora, a 0 w przeciwnym przypadku. Ta funkcja ma wartość 0 dla nieprzeliczalnego zbioru x i 1 dla zbioru nieprzeliczalnego. Jest nieciągły wszędzie tam, gdzie jest równy 1, i ciągły wszędzie tam, gdzie jest równy 0. Jest aproksymowany przez funkcje ciągłe $})}$${\ Displaystyle g_ {n} (x)$$max (0, {1-nd ($ , gdzie jest odległością x od najbliższego punktu w zbiorze Cantora

Twierdzenie o charakterystyce Baire'a mówi, że funkcja f o wartościach rzeczywistych zdefiniowana w przestrzeni Banacha X jest funkcją Baire'a-1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niepustego podzbioru domkniętego K z X ograniczenie f do K ma punkt ciągłości względny do topologii K . _

Zgodnie z innym twierdzeniem Baire'a, dla każdej funkcji Baire-1 punkty ciągłości są G _δ zbiorem comeager ( Kechris 1995 , Theorem (24.14)).

Baire klasa 2

Przykładem funkcji Baire'a klasy 2 w przedziale [0,1], która nie należy do klasy 1, jest charakterystyczna funkcja liczb wymiernych, znana również ${\ Displaystyle \ chi _ {\ mathbb {Q}}}$ jako funkcja Dirichleta , która jest wszędzie nieciągła .

Dowód

Przedstawiamy dwa dowody.

1. Można to zobaczyć, zauważając, że dla dowolnego skończonego zbioru liczb wymiernych charakterystyczną funkcją dla tego zbioru jest Baire 1: mianowicie funkcja sol $\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-nd (x, K)})}$ zbiega się identycznie z funkcją charakterystyczną $\ displaystyle K }$ gdzie ${\ displaystyle K}$ jest skończonym zbiorem K racjonalne. Ponieważ wymierne są policzalne, możemy spojrzeć na punktową granicę tych rzeczy nad $} \}}$${\ Displaystyle K_ {n} = \ {r_ {1}, r_ {2 }, \ kropki,$$n$ , gdzie jest wyliczeniem wymiernych To nie jest Baire-1 na podstawie twierdzenia wspomnianego powyżej: zbiór nieciągłości to cały przedział (oczywiście zbiór punktów ciągłości nie jest większy).
2. Funkcję Dirichleta można skonstruować jako podwójną punktową granicę ciągu funkcji ciągłych w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ chi _{\mathbb {Q}}(x)=\lim _{k\to \infty}\left(\lim _{j\to \infty}\left(\cos(k!\pi x)\right )^{2j}\right)}$

dla liczb całkowitych j i k .

klasa Baire'a 3

Przykładem takich funkcji jest wskaźnik zbioru liczb normalnych , który jest zbiorem borelowskim rzędu 3 .

Zobacz też

• Zestaw Baire'a
• Nigdzie funkcja ciągła

• Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
• Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions przerywa, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
• Kechris, Alexander S. (1995), Klasyczna opisowa teoria mnogości , Springer-Verlag .

Linki zewnętrzne

• Springer Encyclopaedia of Mathematics artykuł na temat klas Baire'a