Funkcja G Siegela

Ten artykuł dotyczy funkcji G Siegela. Aby zapoznać się z ogólnymi funkcjami wprowadzonymi przez Corneliusa Meijera, zobacz Meijer G-function .

W matematyce funkcje G Siegela to klasa funkcji w transcendentalnej teorii liczb wprowadzonej przez CL Siegela . Spełniają one liniowe równanie różniczkowe współczynnikami wielomianowymi , a współczynniki rozwinięcia ich szeregów potęgowych leżą w ustalonym polu liczb algebraicznych i mają wysokości co najwyżej wykładnicze.

Definicja

Funkcja G Siegela to funkcja określona przez nieskończony szereg potęgowy

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$

gdzie wszystkie współczynniki a _n należą do tego samego algebraicznego ciała liczbowego K i mają następujące dwie właściwości.

1. f jest rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego ze współczynnikami będącymi wielomianami w z ;
2. wysokość rzutowa pierwszych n współczynników wynosi O ( c ⁿ ) dla pewnej ustalonej stałej c > 0.

Drugi warunek oznacza, że ​​współczynniki f rosną nie szybciej niż szereg geometryczny. Rzeczywiście, funkcje można uznać za uogólnienia szeregów geometrycznych, stąd nazwa funkcja G, tak jak funkcje E są uogólnieniami funkcji wykładniczej .

• Beukers, F. (2001) [1994], „G-funkcja” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• CL Siegel , „Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen”, Ges. Abhandlungen, I, Springer (1966)