Funkcja E

W matematyce funkcje E są rodzajem szeregów potęgowych , które spełniają określone warunki arytmetyczne na współczynnikach. Są interesujące w transcendentalnej teorii liczb i są bardziej szczególne niż funkcje G.

Definicja

Funkcja $f (x)$ jest wywoływana typu $E$ lub $E$ -funkcja , jeśli szereg potęgowy

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} {\ Frac {x ^ {n}} {n!}}}

spełnia następujące trzy warunki:

Wszystkie współczynniki $c n$ należą do tego samego algebraicznego ciała liczbowego $K$ , które ma skończony stopień nad liczbami wymiernymi;
dla wszystkich $ε > 0$ ,

{\ Displaystyle {\ overline {\ lewo | c_ {n} \ prawo |}} = O \ lewo (n ^ {n \ varepsilon} \ prawo)}

,

gdzie lewa strona reprezentuje maksimum wartości bezwzględnych wszystkich koniugatów algebraicznych $c n$ ;

Dla każdego $ε > 0$ istnieje ciąg liczb naturalnych $0 q, q 1, q 2,...$ taki, że $q n c k$ jest algebraiczną liczbą całkowitą w $K$ dla $k = 0, 1, 2,..., n$ , i $n = 0, 1, 2, ...$ i dla których

{\ Displaystyle q_ {n} = O \ lewo (n ^ {n \ varepsilon} \ prawej)}

.

Drugi warunek implikuje, że $f$ jest całą funkcją $x$ .

Używa

$E$ zostały po raz pierwszy zbadane przez Siegela w 1929 r. Znalazł on metodę, która wykazała, że wartości przyjmowane przez pewne funkcje $E$ są algebraicznie niezależne . Był to wynik, który ustanowił algebraiczną niezależność klas liczb, a nie tylko niezależność liniową. Od tego czasu funkcje te okazały się nieco przydatne w teorii liczb , aw szczególności mają zastosowanie w dowodach transcendencji i równaniach różniczkowych .

Twierdzenie Siegela-Shidlovsky'ego

Być może głównym wynikiem związanym z funkcjami $E$ jest twierdzenie Siegela-Shidlovsky'ego (znane również jako twierdzenie Siegela i Shidlovsky'ego), nazwane na cześć Carla Ludwiga Siegela i Andrieja Borysowicza Shidlovsky'ego.

Załóżmy, że mamy dane $n$ $E$ -funkcji, $E 1 (x),..., E n (x)$ , które spełniają układ jednorodnych liniowych równań różniczkowych

{\ Displaystyle y_ {i} ^ {\ pierwsza} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} f_ {ij}(x)y_{j}\quad (1\równoważnik i\równoważnik n)}

gdzie $fij elementami$ są funkcjami wymiernymi $x$ , a współczynniki każdego $E$ i $f są$ algebraicznego ciała liczbowego $K$ . Wtedy twierdzenie stwierdza, że jeśli $E 1 (x),..., E n (x)$ są algebraicznie niezależne od $K (x)$ , to dla dowolnej niezerowej liczby algebraicznej $α$ , która nie jest biegunem żadnego z $f ij$ liczby $E 1 (α),..., E n (α)$ są algebraicznie niezależne.

Przykłady

Każdy wielomian ze współczynnikami algebraicznymi jest prostym przykładem funkcji $E.$
Funkcja wykładnicza jest funkcją $E$ , w jej przypadku $c n = 1$ dla wszystkich $n$ .
Jeśli $λ$ jest liczbą algebraiczną, to funkcja Bessela $J λ$ jest funkcją $E.$
Suma lub iloczyn dwóch $E$ -funkcji jest $E$ -funkcją. W szczególności $E$ -funkcje tworzą pierścień .
Jeśli $a$ jest liczbą algebraiczną, a $f (x)$ jest funkcją $E$ , to $f (ax)$ będzie funkcją $E.$
Jeśli $f (x)$ jest $E$ -funkcją, to pochodna i całka $f$ są również $E$ -funkcjami.

^ Carl Ludwig Siegel, Liczby transcendentalne , s. 33, Princeton University Press, 1949.
^ CL Siegel, Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen , Abh. Preuss. Akad. Wiss. 1 , 1929.
^ Alan Baker, Transcendentalna teoria liczb , s. 109-112, Cambridge University Press, 1975.
^ Serge Lang , Wprowadzenie do liczb transcendentalnych , s. 76-77, Addison-Wesley Publishing Company, 1966.

Weisstein, Eric W. „E-funkcja” . MathWorld .

[1] Carl Ludwig Siegel, Liczby transcendentalne , s. 33, Princeton University Press, 1949.

[2] CL Siegel, Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen , Abh. Preuss. Akad. Wiss. 1 , 1929.

[3] Alan Baker, Transcendentalna teoria liczb , s. 109-112, Cambridge University Press, 1975.

[4] Serge Lang , Wprowadzenie do liczb transcendentalnych , s. 76-77, Addison-Wesley Publishing Company, 1966.