Funkcja pluriharmoniczna

W matematyce , a dokładniej w teorii funkcji wielu zmiennych zespolonych , funkcja pluriharmoniczna jest funkcją o wartościach rzeczywistych , która jest lokalnie częścią rzeczywistą holomorficznej funkcji kilku zmiennych zespolonych. Czasami taka funkcja jest nazywana funkcją n -harmoniczną , gdzie n ≥ 2 jest wymiarem dziedziny zespolonej gdzie funkcja jest zdefiniowana. Jednak we współczesnych wykładach teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych preferuje się równoważne sformułowanie tego pojęcia, definiując funkcję pluriharmoniczną jako funkcję o wartościach zespolonych, której ograniczenie do każdej linii zespolonej jest funkcją harmoniczną w stosunku do rzeczywistych i część urojona parametru linii zespolonej.

Definicja formalna

. Niech $G \subseteq C n$ będzie dziedziną zespoloną , a $f : G \to R$ będzie funkcją $C 2$ (dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły ). Funkcję $f$ nazywamy pluriharmoniczną , jeśli dla każdej linii zespolonej

{\ Displaystyle \ {a + bz \ mid z \ w \ mathbb {C} \} \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n}}

utworzona z każdej pary krotek zespolonych $a, b \in C n$ , funkcja

{\ Displaystyle Z \ mapsto f (a + bz)}

jest funkcją harmoniczną na zbiorze

{\ Displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid a + bz \ in G \} \ podzbiór \ mathbb {C}.}

. Niech $M$ będzie rozmaitością zespoloną $C2,$ a $f : M \to R$ niech będzie funkcją . Funkcja $f$ jest nazywana pluriharmoniczną, jeśli

\ Displaystyle dd ^ {c} f = 0.}

Podstawowe właściwości

Każda funkcja pluriharmoniczna jest funkcją harmoniczną , ale nie odwrotnie. Ponadto można wykazać, że dla funkcji holomorficznych kilku zmiennych zespolonych części rzeczywiste (i urojone) są lokalnie funkcjami pluriharmonicznymi. Jednak harmoniczna funkcji dla każdej zmiennej z osobna nie oznacza, że jest pluriharmoniczna.

Zobacz też

Notatki

odniesienia historyczne

Gunning, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funkcje analityczne kilku zmiennych zespolonych , seria Prentice-Hall we współczesnej analizie , Englewood Cliffs , NJ: Prentice-Hall , s. xiv + 317, ISBN 9780821869536 , MR 0180696 , Zbl 0141.08601 .
Krantz, Steven G. (1992), Teoria funkcji kilku zmiennych zespolonych , Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series (wyd. Drugie), Pacific Grove, Kalifornia : Wadsworth & Brooks / Cole, s. XVI + 557, ISBN 0-534 -17088-9 , MR 1162310 , Zbl 0776.32001 .
Poincaré, H. (1899), „Sur les propriétés du potentiel et sur les funkctions Abéliennes”, Acta Mathematica (w języku francuskim), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007 / BF02417872 , JFM 29.0370.02 .
Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (w języku włoskim), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, s. XIV+255, Zbl 0094.28002 . Notatki z kursu prowadzonego przez Francesco Severi w Istituto Nazionale di Alta Matematica (który obecnie nosi jego imię), zawierające dodatki Enzo Martinelli , Giovanni Battista Rizza i Mario Benedicty. Angielskie tłumaczenie tytułu brzmi: -” Wykłady z funkcji analitycznych kilku zmiennych zespolonych – wykładał w latach 1956–57 w Istituto Nazionale di Alta Matematica w Rzymie ”.

Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (w języku włoskim), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289 , JFM 43.0453.03 , S2CID 122956910 . Pierwsza praca, w której podano zestaw (dość skomplikowanych) warunków koniecznych i wystarczających dla rozwiązania problemu Dirichleta dla funkcji holomorficznych kilku zmiennych . Angielskie tłumaczenie tytułu brzmi: -” O problemie wartości brzegowych ”.
Fichera, Gaetano (1982a), „Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche”, Atti del Convegno celebrativo dell'80° anniversario della nascita di Renato Calapso, Messina – Taormina, 1–4 kwietnia 1981 (w języku włoskim), Roma: Libreria Eredi Virgilio Veschi, s. 127–152, MR 0698973 , Zbl 0958.32504 . „ Problemy z wartościami brzegowymi dla funkcji pluriharmonicznych ” (angielskie tłumaczenie tytułu) dotyczy problemów z wartościami brzegowymi dla funkcji pluriharmonicznych: Fichera udowadnia warunek śladu pod kątem rozwiązywalności problemu i dokonuje przeglądu kilku wcześniejszych wyników Enzo Martinelli, Giovanniego Battisty Rizzy i Francesco Severi.
Fichera, Gaetano (1982b), "Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R ^{2 n} di un teorema di L. Amoroso", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (w języku włoskim), 52 (1): 23– 34, doi : 10.1007/BF02924996 , MR 0802991 , S2CID 122147246 , Zbl 0569.31006 . Angielskie tłumaczenie tytułu brzmi: - „ Wartości brzegowe funkcji pluriharmonicznych: rozszerzenie przestrzeni R ^{2 n} twierdzenia L. Amoroso ".
Fichera, Gaetano (1982c), „Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili comlesse”, Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (w języku włoskim), 27 : 327–333, MR 0669481 , Zbl 0509.31007 . Angielskie tłumaczenie tytułu brzmi: - „ O twierdzeniu L. Amoroso w teorii funkcji analitycznych dwóch zmiennych zespolonych ”.
Matsugu, Yasuo (1982), „Funkcje pluriharmoniczne jako rzeczywiste części funkcji holomorficznych”, Wspomnienia Wydziału Nauk Uniwersytetu Kyushu , Seria A, Matematyka, 36 (2): 157–163, doi : 10.2206 / kyushumfs.36.157 , MR 0676796 , Zbl 0501.32008 .
Nikliborc, Ladislas (30 marca 1925), „Sur les fonctions hyperharmoniques” , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (w języku francuskim), 180 : 1008–1011, JFM 51.0364.02 , dostępne w Gallica
Nikliborc, Władysław (11 stycznia 1926), „Sur les fonctions hyperharmoniques” , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (w języku francuskim), 182 : 110–112, JFM 52.0498.02 , dostępny w Gallica
Rizza, GB (1955), „Problem Dirichleta dla funkcji n -harmonicznych i powiązanych problemów geometrycznych” , Mathematische Annalen , 130 : 202–218, doi : 10.1007/BF01343349 , MR 0074881 , S2CID 121147845 , Zbl 0067.33004 , dostępne w DigiZeitschirften .

Linki zewnętrzne

Solomentsev, ED (2001) [1994], „Funkcja pluriharmoniczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

Ten artykuł zawiera materiał z funkcji pluriharmonic na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .