Funkcja wydatków

W mikroekonomii funkcja wydatków określa minimalną kwotę pieniędzy, którą jednostka musi wydać, aby osiągnąć pewien poziom użyteczności , biorąc pod uwagę funkcję użyteczności i ceny dostępnych towarów.

Formalnie, jeśli istnieje funkcja użyteczności $towarów$ która opisuje preferencje względem n , funkcja wydatków

{\ Displaystyle e (p, u ^ {*}): {\ textbf {R}} _ {+} ^ {n} \ razy {\ textbf { R}} \rightarrow {\textbf {R}}}

mówi, jaka ilość pieniędzy jest potrzebna, aby osiągnąć użyteczność, jeśli n ceny są określone przez wektor cen. ${*}$ ${\ displaystyle u$ } Ta funkcja jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle e (p, u ^ {*}) = \ min _ {x \ in \ geq (u ^ {*})} p\ckropka x}

Gdzie

{\ Displaystyle \ geq (u ^ {*}) = \ {x \ w {\ textbf {R}} _ {+} ^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}

jest zbiorem wszystkich pakietów, które dają użyteczność co najmniej tak dobrą jak ${\ displaystyle u ^ {*}}$ .

$_$ jednostka ${\ Displaystyle u (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ geq u ^ {*},}$ u dając optymalne ilości różnych towarów do spożycia jako ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {*}, \ kropki x_ {n} ^ {*}}$ jako funkcja ${\ Displaystyle u ^ {*}}$ i cen; wtedy funkcja wydatków jest

{\ Displaystyle e (p_ {1}, \ kropki, p_ {n}; u ^ {*}) = p_ {1} x_ {1} ^ {*} + \ kropki + p_ {n} x_ {n} ^ {*}.}

Cechy funkcji wydatków

(Własności funkcji wydatków) Załóżmy, że u jest ciągłą funkcją użyteczności reprezentującą lokalnie nienasyconą relację preferencji º na Rn +. Wtedy e ( p , u ) wynosi

1. Jednorodny stopnia pierwszego w p : dla wszystkich i

{\ Displaystyle \ lambda}

> 0, ${\ Displaystyle e (\ lambda p, u) = \ lambda e (p, u);}$

2. Ciągłe w

{\ displaystyle p}

i

u;}

3. Nie malejący w

p \ gg 0;}

; {\

rosnący w

Displaystyle

warunkiem

4. Wklęsły w

Displaystyle

Jeśli funkcja użyteczności jest ściśle quasi-wklęsła, istnieje lemat Shepharda

Dowód

(1) Jak w powyższym twierdzeniu, zauważ to

${\ Displaystyle e (\ lambda p, u) = \ min _ {x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}: u (x) \ geq u}}$ ${\ Displaystyle \ lambda p \ cdot x = \ lambda \ min _ {x \ w \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}: u (x) \ geq u}}$ ${\ Displaystyle p \ cdot x = \ lambda e (p, u )}$

(2) Kontynuuj w domenie mi ${\ Displaystyle e}$ R $\ Displaystyle {\ textbf {R}} _ {++} ^ {N} * {\ textbf {R}} \ strzałka w prawo {\textbf {R}}}$

(3) Niech ${\ Displaystyle p ^ {\ liczba pierwsza}> p}$ i załóżmy, że ${\ Displaystyle x \ w h (p ^ {\ liczba pierwsza}, u)}$ . wtedy ${\ Displaystyle u (h) \ geq u}$ i ${\ Displaystyle e (p ^ {\ pierwsza}, u) = p ^ {\ pierwsza } \ cdot x \ geq p \ cdot x}$ . Wynika z tego od razu, że ${\ Displaystyle e (p, u) \ równoważnik e (p ^ {\ pierwsza}, u)}$ .

$Displaystyle e$ drugiego stwierdzenia załóżmy przeciwnie, że dla niektórych $,$ p Niż przez pewien ${\ Displaystyle x \ w h (p, u)}$ , ${\ displaystyle u (x) = u ^ {\ pierwsza}> u}$ , co jest sprzeczne z konkluzją „bez nadmiernej użyteczności” z poprzedniego twierdzenia

(4) Niech ${\ Displaystyle t \ w (0,1)}$ i załóżmy ${\ Displaystyle x \ w h (tp + (1) -t)p^{\pierwsza})}$ . ${\ Displaystyle p \ cdot x \ geq e (p, u)}$ mi p $\ Displaystyle p ^ {\ pierwsza} \cdot x\geq e(p^{\prime },u)}$ , więc ${\ Displaystyle e (tp + (1-t) p ^ {\ pierwsza}, u) = (tp + (1-t) p ^ {\ pierwsza}} \ cdot x \ geq}$ ${\ Displaystyle te (p, u) + (1-t) e (p ^ {\ pierwsza}, u)}$ .

(5) ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta (p ^ {0}, u ^ {0})} {\ delta p_ {i }}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

Wydatki i użyteczność pośrednia

Funkcja wydatków jest odwrotnością funkcji użyteczności pośredniej , gdy ceny są stałe. To znaczy dla każdego wektora ceny $ja$ poziomu dochodu ${\ displaystyle I$ }

{\ Displaystyle e (p, v (p, ja)} \ odpowiednik ja}

Istnieje dwoista zależność między funkcją wydatku a funkcją użyteczności. Jeśli dana jest określona regularna quasi-wklęsła funkcja użyteczności, odpowiadająca jej cena jest jednorodna, a użyteczność jest monotonicznie rosnącą funkcją wydatków, i odwrotnie, dana cena jest jednorodna, a użyteczność jest monotonicznie rosnąca, funkcja wydatków wygeneruje regularną quasi-wklęsłą użyteczność funkcjonować. Oprócz własności, że kiedyś ceny są jednorodne, a użyteczność monotonicznie rośnie, zwykle przyjmuje funkcja wydatków

(1) jest funkcją nieujemną, tj. ${\ Displaystyle E (P \ cdot u)> O;}$

(2) Dla P nie maleje, tj. ${\ Displaystyle E (p ^ {1} u )>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}$ ;

(3)E(Pu) jest funkcją wklęsłą. mi ${\ Displaystyle e (np ^ {l$ ${\ Displaystyle O <\ lambda <1 p ^ {l} \ geq O_ {N} p ^ {2} \ geq O_ {N}}$

Funkcja wydatków jest ważną teoretyczną metodą badania zachowań konsumentów. Funkcja wydatków jest bardzo podobna do funkcji kosztów w teorii produkcji. Podwójny do problemu maksymalizacji użyteczności jest problem minimalizacji kosztów

Przykład

Załóżmy, że funkcją użyteczności jest funkcja Cobba-Douglasa ${\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ { .6}x_{2}^{.4},}$ , który generuje funkcje popytu

{\ Displaystyle x_ {1} (p_ {1} ,p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {i}}\;\;\;x_{2}(p_ {1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}

gdzie $dochód$ konsumenta. Jednym ze sposobów znalezienia funkcji wydatków jest najpierw znalezienie pośredniej funkcji użyteczności , a następnie jej odwrócenie. Pośrednią funkcję użyteczności $ilości$ funkcji użyteczności

{\ Displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6 }(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {. 4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{ -.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}

gdzie ${\ Displaystyle K = (.6 ^ {.6}*.4 ^ {.4}).}$ Wtedy od ${\ Displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u) = e (p_ {1}, p_ {2}, v (p_ {1}, p_ {2}, I))=I}$ , gdy konsument optymalizuje, możemy odwrócić pośrednią funkcję użyteczności, aby znaleźć funkcję wydatków:

{\ Displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u) = (1/K) p_ {1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}

Alternatywnie funkcję wydatków można znaleźć, rozwiązując problem minimalizacji ${\ Displaystyle (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2})}$ z zastrzeżeniem ograniczenie ${\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) \ geq u ^ {*}.}$ Daje to warunkowe funkcje popytu ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, u ^ {*})}$ i ${\ Displaystyle x_ {2} ^ {*} (p_ {1 },p_{2},u^{*})}$ a funkcja wydatku to wtedy

{\ Displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u ^ {*}) = p_ {1} x_ {1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}

Zobacz też

Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D.; Zielony, Jerry R. (2007). Teoria mikroekonomiczna . s. 59–60 . ISBN 0-19-510268-1 .
Mathis, Stephen A.; Kościański, Janet (2002). Teoria mikroekonomiczna: podejście zintegrowane . Upper Saddle River: Prentice Hall. s. 132–133. ISBN 0-13-011418-9 .
Wariant, Hal R. (1984). Analiza mikroekonomiczna (wyd. Drugie). Nowy Jork: WW Norton. s. 121–123. ISBN 0-393-95282-7 .