Równanie Słuckiego

Równanie Słuckiego (lub tożsamość Słuckiego ) w ekonomii , nazwane na cześć Eugeniusza Słuckiego , wiąże zmiany popytu Marshalla (nieskompensowanego) ze zmianami popytu Hicksiana (skompensowanego) , który jest znany jako taki, ponieważ kompensuje utrzymanie stałego poziomu użyteczności.

Istnieją dwie części równania Słuckiego, a mianowicie efekt substytucyjny i efekt dochodowy .

Ogólnie rzecz biorąc, efekt substytucyjny może być negatywny dla konsumentów, ponieważ może ograniczyć wybór. Zaprojektował tę formułę, aby zbadać reakcję konsumenta na zmianę ceny. Gdy cena rośnie, zbiór budżetowy przesuwa się do wewnątrz, co również powoduje zmniejszenie ilości popytu. Natomiast gdy cena spada, zbiór budżetowy przesuwa się na zewnątrz, co prowadzi do wzrostu ilości popytu. Efekt substytucyjny wynika z efektu względnej zmiany ceny przy jednoczesnym efekcie dochodowym wynika z efektu uwolnienia dochodów. Równanie pokazuje, że zmiana popytu na dobro, spowodowana zmianą ceny, jest wypadkową dwóch efektów:

efekt substytucyjny : kiedy cena dobra się zmienia, ponieważ staje się ono stosunkowo tańsze, jeśli hipotetycznie konsumpcja konsumenta pozostaje taka sama, uwolniony zostanie dochód, który można wydać na kombinację każdego lub większej liczby towarów.
efekt dochodowy : siła nabywcza konsumenta wzrasta w wyniku spadku ceny, więc konsument może teraz pozwolić sobie na lepsze produkty lub więcej takich samych produktów, w zależności od tego, czy sam produkt jest dobrem normalnym czy podrzędnym .

Równanie Słuckiego rozkłada zmianę popytu na dobro i w odpowiedzi na zmianę ceny dobra j :

{\ Displaystyle {\ częściowe x_ {i} (\ mathbf {p}, w) \ ponad \ częściowe p_ {j}} = {\ częściowe h_ {i} (\ mathbf {p}, u) \ ponad \ częściowe p_ {j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p},w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p},w),\,}

gdzie ${\ displaystyle h (\ mathbf {p}, u)}$ to popyt Hicksiana i ${\ displaystyle x (\ mathbf {p}, w)}$ to popyt Marshalla , na wektorze poziomów cen $zamożności$ (lub alternatywnie poziomu dochodów) $displaystyle u}$ stałego poziomu użyteczności $\$ $podana$ przy pierwotnej cenie i dochodzie, formalnie wyrażona użyteczności Prawa strona równania jest równa zmianie popytu na dobro i, przy użyteczności ustalonej na poziomie u , minus ilość wymaganego dobra j , pomnożona przez zmianę popytu na dobro i, gdy zmienia się bogactwo.

Pierwszy wyraz po prawej stronie reprezentuje efekt substytucyjny, a drugi człon reprezentuje efekt dochodowy. Należy zauważyć, że ponieważ użyteczności nie można zaobserwować, efektu substytucyjnego nie można bezpośrednio zaobserwować, ale można go obliczyć w odniesieniu do pozostałych dwóch składników równania Słuckiego, które są obserwowalne. Proces ten jest czasami nazywany rozkładem Hicksa zmiany popytu.

Równanie można przepisać pod względem elastyczności :

{\ Displaystyle \ epsilon _ {p, ij} = \ epsilon _ {p, ij} ^ {h} - \ epsilon _ {w, i}b_{j}}

gdzie ε _p to (nieskompensowana) elastyczność cenowa , ε _p^h to skompensowana elastyczność cenowa, ε _w,i elastyczność dochodowa dobra i oraz bj _{w budżecie} udział dobra j .

Ogólnie rzecz biorąc, w prostych słowach równanie Słuckiego stwierdza, że całkowita zmiana popytu składa się z efektu dochodowego i efektu substytucyjnego, a oba efekty łącznie muszą równać się całkowitej zmianie popytu.

{\ Displaystyle \ Delta x_ {1} = \ Delta x_ {1} ^ {s} + \ Delta x_ {1} ^ {l}}

Powyższe równanie jest pomocne, ponieważ przedstawia wahania popytu wskazujące na różne rodzaje towarów. Efekt substytucyjny zawsze będzie ujemny, ponieważ krzywe obojętności zawsze mają nachylenie w dół. Jednak to samo nie dotyczy efektu dochodowego , ponieważ zależy on od tego, jak konsumpcja dobra zmienia się wraz z dochodem.

Wpływ dochodowy na normalne towary jest ujemny, a jeśli cena spada, w konsekwencji rośnie siła nabywcza lub dochód. Odwrotna sytuacja ma miejsce, gdy cena rośnie, a siła nabywcza lub dochód spada, w wyniku czego zmniejsza się popyt.

Ogólnie rzecz biorąc, nie wszystkie towary są „normalne”. Chociaż w sensie ekonomicznym, niektóre są gorsze. Jednakże pod względem jakości nie oznacza to, że są one ubogie, a raczej powoduje negatywny profil dochodów – wraz ze wzrostem dochodów konsumpcja danego dobra przez konsumentów maleje.

Na przykład konsumenci, którym brakuje pieniędzy na żywność, kupują makaron błyskawiczny, jednak produkt ten nie jest ogólnie postrzegany jako coś, co ludzie normalnie spożywaliby codziennie. Wynika to z ograniczeń finansowych; wraz ze wzrostem bogactwa konsumpcja maleje. W tym przypadku efekt substytucyjny jest ujemny, ale efekt dochodowy również jest ujemny.

W każdym przypadku efekt substytucyjny lub efekt dochodowy są dodatnie lub ujemne, gdy wzrost cen zależy od rodzaju towaru:


	Całkowity efekt	Efekt substytucyjny	Efekt dochodowy
+	Towary zastępcze	Towary zastępcze	Towary gorsze
-	Towary uzupełniające	Towary uzupełniające	Zwykłe dobra

Jednakże, czy całkowity efekt będzie zawsze negatywny, nie można stwierdzić, jeśli wspomniane są gorsze dobra komplementarne. Na przykład efekt substytucyjny i efekt dochodowy działają w przeciwnych kierunkach. Całkowity efekt będzie zależał od tego, który efekt będzie ostatecznie silniejszy.

Pochodzenie

Chociaż istnieje kilka sposobów wyprowadzenia równania Słuckiego, następująca metoda jest prawdopodobnie najprostsza. Zacznij od zanotowania tożsamości. $\ displaystyle h_ {i} (\ mathbf {p}, u) = x_ {i} (\ mathbf { p} , e (\ mathbf {p}, u)}}$ gdzie jest ${\ displaystyle e (\ mathbf {p}, u)}$ wydatku mi oraz u jest użytecznością uzyskaną poprzez maksymalizację użyteczności, biorąc pod uwagę p i w . Całkowicie różniczkując pod względem p _j daje się następująco:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy h_ {i} (\ mathbf {p}, u)} {\ częściowy p_ {j}}} = {\ Frac {\ częściowy x_ {i} (\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\częściowe p_{j}}}+{\frac {\częściowe x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u)}}} }}

.

Wykorzystując fakt, że ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe e (\ mathbf {p}, u)} {\ częściowe p_ {j }}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$ według lematu Shepharda i to w optymalnym przypadku,

{\ displaystyle h_ {j} (\ mathbf {p}, u) = h_ {j} (\ mathbf {p}, v (\ mathbf {p}, w)) = x_ {j} (\ mathbf {p}, w),} gdzie v ( p, w ) {

\

p } ,w)}

jest pośrednią funkcją użyteczności ,

powyższe wyprowadzenie można zastąpić i przepisać jako równanie Słuckiego.

Przykład

Funkcja użyteczności Cobba-Douglasa (patrz funkcja produkcji Cobba-Douglasa ) $generuje$ dwoma dobrami i dochodem popyt Marshalla na dobra 1 i 2 z ${\ displaystyle x_ {1} =,7w/p_{1}}$ i ${\ displaystyle x_ {2} = 0,3 w / p_ {2}.}$ Zmień układ równania Slutsky'ego, aby umieścić pochodną Hicksiana po lewej stronie, uzyskując efekt podstawienia: {\ displaystyle x_ {2} = 0,3 w / p_ {2}.}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy h_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} = {\ Frac {\ częściowy x_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} + {\ Frac {\ częściowe x_{1}}{\częściowe w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{ 1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}

Wracając do pierwotnego równania Słuckiego, pokazujemy, jak efekty substytucyjne i dochodowe sumują się, dając całkowity wpływ wzrostu cen na wielkość popytu:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy x_ {1}} {\częściowe p_{1}}}={\frac {\częściowe h_{1}}{\częściowe p_{1}}}-{\frac {\częściowe x_{1}}{\częściowe w}}x_{ 1}=-{\frac {0,21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {0,49w}{p_{1}^{2}}}}

$,$ $z$ całkowitego gdy , efekt substytucyjny i 49/70 z efektu dochodowego. Dobro 1 $dlatego$ dobro, na które konsument wydaje większość swoich dochodów ( efekt dochodowy

Można sprawdzić, że odpowiedź z równania Słuckiego jest taka sama jak z bezpośredniego różniczkowania funkcji popytu Hicksiana, która tutaj wynosi

{\ Displaystyle h_ {1} (p_ {1}, p_ {2}, u) = 0,7 p_ {1 }^{-.3}p_{2}^{.3}u,}

gdzie $użyteczność$ . Pochodna jest

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy h_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} = -.21p_ {1} ^{-1,3}p_{2}^{.3}u,}

więc ponieważ pośrednia funkcja użyteczności Cobba-Douglasa wynosi ${\ displaystyle v = wp_ {1} ^ {-,7} p_ {2} ^ {-,3} }$ i gdy konsument korzysta z określonych funkcji popytu, pochodną jest: ${\ displaystyle u = v}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy h_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} = -.21 p_ {1} ^ {-1,3} p_ {2} ^ {0,3} (wp_ {1} ^ {-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1} ^{2}}},}

co jest rzeczywiście odpowiedzią na równanie Słuckiego.

Równanie Słuckiego można również zastosować do obliczenia efektu substytucji cen krzyżowych. Można by pomyśleć, ${\ displaystyle x_ {1} (p_ {1}, p_ {2}, w),}$ było zero, ponieważ gdy $wzrasta$ , wymagana ilość Marshalla na dobro 1, nie ma to wpływu ( ${\ displaystyle \ częściowe x_ {1} / \ częściowe p_ {2} = 0}$ ), ale to źle. Ponownie przestawiając równanie Słuckiego, efekt substytucji cen krzyżowych wynosi:

{\ Displaystyle {\ Frac {\

Oznacza to, że gdy $\ displaystyle -.21w / (p_ {1} p_ {2}) }$ $,$ następuje efekt substytucji w kierunku dobra 1. Jednocześnie wzrost ma negatywny wpływ dochodowy na popyt na dobro 1, efekt odwrotny o dokładnie tej samej wielkości co efekt substytucji, a $więc$ wynosi zero. Jest to szczególna właściwość funkcji Cobba-Douglasa.

Zmiany wielu cen jednocześnie: macierz Słuckiego

To samo równanie można przepisać w postaci macierzowej, aby umożliwić wielokrotne zmiany cen jednocześnie:

{\ Displaystyle \ mathbf {D_ {p} x} (\ mathbf { p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\ mathbf {p}, w)^{\top },\,}

gdzie D _p jest operatorem pochodnym w odniesieniu do ceny, a _Dw jest operatorem pochodnym w odniesieniu do bogactwa.

Macierz jest znana jako macierz Słuckiego i biorąc pod uwagę wystarczające warunki gładkości funkcji użyteczności, re ${\ displaystyle \ mathbf {D_ {p} x} (\ mathbf {p}, u)$ jest symetryczna, ujemna półokreślona i Hessian funkcji wydatku.

Gdy istnieją dwa dobra, równanie Słuckiego w postaci macierzowej wygląda następująco:

{\ Displaystyle {\ początek {bmatrix} {\ Frac {\ częściowy x_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} i {\ Frac {\ częściowy x_ {1}} {\ częściowy p_ {2}}} \\{\frac {\częściowy x_{2}}{\częściowy p_{1}}}&{\frac {\częściowy x_{2}}{\częściowy p_{2}}}\\\end{bmatrix} }={\begin{bmatrix}{\frac {\częściowy h_{1}}{\częściowy p_{1}}}&{\frac {\częściowy h_{1}}{\częściowy p_{2}}}\ \{\frac {\częściowy h_{2}}{\częściowy p_{1}}}&{\frac {\częściowy h_{2}}{\częściowy p_{2}}}\\\end{bmatrix}} -{\begin{bmatrix}{\frac {\częściowy x_{1}}{\częściowy w}}x_{1}&{\frac {\częściowy x_{1}}{\częściowy w}}x_{2} \\{\frac {\częściowy x_{2}}{\częściowy w}}x_{1}&{\frac {\częściowy x_{2}}{\częściowy w}}x_{2}\\\end{ bmacierz}}}

Chociaż ściśle rzecz biorąc, równanie Słuckiego ma zastosowanie tylko do nieskończenie małych zmian cen, jest ono standardowo używane jako przybliżenie liniowe dla skończonych zmian. Jeśli ceny dwóch towarów zmienią się o i $}$ wpływ na popyt na te dwa dobra jest następujący: $displaystyle \ Delta p_$

{\ Displaystyle {\ początek {bmatrix} \ Delta x_ {1} \\\ Delta x_ {2} \ koniec {bmatrix}} \ około {\ początek {bmatrix} {\ Frac {\ częściowe h_ {1}} {\ częściowe p_{1}}}&{\frac {\częściowe h_{1}}{\częściowe p_{2}}}\\{\frac {\częściowe h_{2}}{\częściowe p_{1}}} &{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2 }\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\częściowe x_{1}}{\częściowe w}}x_{1}&{\frac {\częściowe x_{2}}{\częściowe w}}x_{2}\\{\frac {\częściowy x_{1}}{\częściowy w}}x_{1}&{\frac {\częściowy x_{2}}{\częściowy w}}x_{ 2}\\\end{bmacierz}}}

Mnożenie macierzy dałoby na przykład wpływ na dobro 1

{\ Displaystyle \ Delta x_ {1} \ około \ lewo ({\ Frac {\ częściowy h_ {1}} {\ częściowy p_ {1}}} \ Delta p_ {1} + {\ Frac {\ częściowy h_ {1 }}{\częściowe p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\częściowe x_{1}}{\częściowe w}}\right)\left(x_{1 }\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}

Pierwszy termin to efekt substytucyjny. Drugi człon to efekt dochodowy, na który składa się reakcja konsumenta na utratę dochodu pomnożona przez wielkość straty dochodu wynikającej ze wzrostu ceny.

Towar Giffena

Dobro Giffena to produkt, na który istnieje większe zapotrzebowanie, gdy cena wzrasta, co jest również szczególnym przypadkiem dóbr gorszej jakości. W skrajnym przypadku niższości dochodów wielkość efektu dochodowego przewyższa wielkość efektu substytucyjnego, co prowadzi do pozytywnej ogólnej zmiany popytu w odpowiedzi na wzrost ceny. Rozkład Słuckiego zmiany popytu na czysty efekt substytucyjny i efekt dochodowy wyjaśnia, dlaczego prawo popytu nie obowiązuje w przypadku dóbr Giffena.

Zobacz też

Bibliografia

Varian, HR (2020). Mikroekonomia średniozaawansowana: podejście nowoczesne (wydanie dziewiąte). WWNorton & Company.