Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Powierzchnia produkcyjna Cobba-Douglasa z siatki drucianej z izokwantami

Dwuwejściowa funkcja produkcji Cobba-Douglasa z izokwantami

W ekonomii i ekonometrii funkcja produkcji Cobba -Douglasa jest szczególną funkcjonalną formą funkcji produkcji , szeroko stosowaną do reprezentowania technologicznego związku między ilościami dwóch lub więcej nakładów (zwłaszcza kapitału fizycznego i pracy) a wielkością produkcji, która może być wytwarzane przez te wkłady. Formularz Cobba-Douglasa został opracowany i przetestowany na podstawie dowodów statystycznych przez Charlesa Cobba i Paula Douglasa w latach 1927-1947; według Douglasa sama forma funkcjonalna została opracowana wcześniej przez Philipa Wicksteeda .

Sformułowanie

W swojej najbardziej standardowej postaci do produkcji pojedynczego dobra z dwoma czynnikami funkcja ma postać

${\ Displaystyle Y = AL ^ {\ beta} K ^ {\ alfa}}$

Gdzie:

• Y = produkcja całkowita (rzeczywista wartość wszystkich towarów wyprodukowanych w ciągu roku lub 365,25 dni)
• L = nakłady pracy (osobogodziny przepracowane w roku lub 365,25 dni)
• K = nakłady kapitałowe (miara wszystkich maszyn, urządzeń i budynków; wartość nakładów kapitałowych podzielona przez cenę kapitału)
• A = całkowita produktywność czynników produkcji
• α i β to odpowiednio elastyczność produkcji kapitału i pracy. Wartości te są stałymi określonymi przez dostępną technologię.

Elastyczność produkcji mierzy reakcję produkcji na zmianę poziomu pracy lub kapitału wykorzystywanego w produkcji, ceteris paribus . Na przykład, jeśli α = 0,45 , wzrost wykorzystania kapitału o 1% doprowadziłby do wzrostu produkcji o około 0,45% .

Czasami termin ten ma bardziej ograniczone znaczenie, wymagając, aby funkcja wyświetlała stałą powracającą do skali , co oznacza, że ​​podwojenie wykorzystania kapitału K i pracy L również podwoi produkcję Y . To obowiązuje, jeśli

α + β = 1 ,

Jeśli

α + β < 1 ,

efekty skali maleją, co oznacza, że ​​procentowy wzrost kapitału K i pracy L spowoduje mniejszy procentowy wzrost produkcji Y ,

i jeśli

α + β > 1 ,

zyski skali rosną, co oznacza, że ​​procentowy wzrost kapitału K i pracy L spowoduje większy procentowy wzrost produkcji Y . Zakładając doskonałą konkurencję i α + β = 1 , można pokazać, że α i β to udziały kapitału i pracy w produkcji.

W swojej uogólnionej formie funkcja Cobba-Douglasa modeluje więcej niż dwa dobra. Funkcję Cobba-Douglasa można zapisać jako

${\ Displaystyle f (x) = A \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ lambda _ {i}}, \ qquad x = (x_ {1}, \ ldots, x_ { N}).}$

Gdzie

• A jest parametrem wydajności
• n to całkowita liczba zmiennych wejściowych (towarów)
• x ₁ , ..., x _n to (nieujemne) ilości dobra konsumowanego, produkowanego itp.
• ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ jest parametrem elastyczności dla dobra i

Historia

Paul Douglas wyjaśnił, że jego pierwsze sformułowanie funkcji produkcji Cobba-Douglasa zostało opracowane w 1927 roku; poszukując formy funkcyjnej do powiązania oszacowań, które wyliczył dla pracowników i kapitału, rozmawiał z matematykiem i współpracownikiem Charlesem Cobbem , który zasugerował funkcję postaci Y = AL ^β K ^{1− β} , używaną wcześniej przez Knuta Wicksella , Philipa Wicksteeda , i Léon Walras , chociaż Douglas uznaje tylko Wicksteeda i Walrasa za ich wkład. Niedługo po śmierci Knuta Wicksella w 1926 roku Paul Douglas i Charles Cobb po raz pierwszy zastosowali funkcję Cobba-Douglasa w swojej pracy obejmującej przedmiotowy sposób teorii producenta. Szacując to metodą najmniejszych kwadratów , uzyskał wynik dla wykładnika pracy równy 0,75, co zostało następnie potwierdzone przez Narodowe Biuro Badań Ekonomicznych jako 0,741. Późniejsze prace w latach czterdziestych XX wieku skłoniły ich do dopuszczenia zmian wykładników K i L , co dało szacunki, które później okazały się bardzo zbliżone do ulepszonej miary produktywności opracowanej w tamtym czasie.

Główną krytyką w tamtym czasie było to, że szacunki funkcji produkcji, choć pozornie dokładne, opierały się na tak nielicznych danych, że trudno było nadać im dużą wiarygodność. Douglas zauważył: „Muszę przyznać, że ta krytyka zniechęciła mnie i pomyślałem o rezygnacji z wysiłku, ale było coś, co mówiło mi, że powinienem się trzymać”. Przełom nastąpił w wykorzystaniu danych ze spisu powszechnego w USA , które były przekrojowe i dostarczyły dużej liczby obserwacji. Douglas przedstawił wyniki tych ustaleń, wraz z wynikami dla innych krajów, w swoim przemówieniu w 1947 r. jako prezes Amerykańskiego Stowarzyszenia Ekonomicznego . Wkrótce potem Douglas zajął się polityką i został dotknięty złym stanem zdrowia, co spowodowało niewielki dalszy rozwój po jego stronie. Jednak dwie dekady później jego funkcja produkcyjna była szeroko stosowana, przyjmowana przez ekonomistów, takich jak Paul Samuelson i Robert Solow . Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest szczególnie godna uwagi, ponieważ po raz pierwszy opracowano, oszacowano, a następnie przedstawiono profesji do analizy zagregowaną lub ogólnogospodarczą funkcję produkcji; oznaczało to przełomową zmianę w podejściu ekonomistów do makroekonomii z perspektywy mikroekonomii.

Krytyka

Funkcja była krytykowana za brak podstaw. Na Cobba i Douglasa wpłynęły dowody statystyczne, które zdawały się wskazywać, że udział pracy i kapitału w całkowitej produkcji był stały w czasie w krajach rozwiniętych; wyjaśnili to statystycznie dopasowaną ich funkcji produkcji metodą najmniejszych kwadratów . Obecnie istnieją wątpliwości, czy istnieje stałość w czasie. . Funkcja produkcji zawiera podstawowe założenie, które nie zawsze zapewnia najdokładniejszą reprezentację zdolności produkcyjnych kraju i wydajności po stronie podaży. Założeniem tym jest „stały udział pracy w produkcji”, które może nie być skuteczne w przypadku krajów, których rynki pracy rosną w znaczącym tempie. Inną kwestią w ramach podstawowego składu funkcji produkcji Cobba Douglasa jest obecność równoczesnego obciążenia równania. Kiedy zakłada się konkurencję, jednoczesne obciążenie równania ma wpływ na wszystkie typy funkcji obejmujące wiążące decyzje - w tym funkcję Cobba Douglasa. W niektórych przypadkach to jednoczesne odchylenie równania nie pojawia się. Jednak jest to oczywiste, gdy stosuje się przybliżenia asymptotyczne metodą najmniejszych kwadratów.

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa nie została opracowana na podstawie jakiejkolwiek wiedzy z zakresu inżynierii, technologii lub zarządzania procesem produkcyjnym . To uzasadnienie może być prawdziwe, biorąc pod uwagę definicję pojęcia kapitału. Godziny pracy i kapitał wymagają lepszej definicji. Jeśli kapitał jest zdefiniowany jako budynek, praca jest już zawarta w rozwoju tego budynku. Budynek składa się z towarów, pracy i ryzyka oraz warunków ogólnych. Zamiast tego został opracowany, ponieważ miał atrakcyjne cechy matematyczne , takie jak malejące zwroty krańcowe dla każdego z czynników produkcji oraz właściwość, zgodnie z którą optymalne udziały wydatków na dowolny dany wkład firmy obsługującej technologię Cobba-Douglasa są stałe. Początkowo nie było dla niej fundamentów użytkowych. W epoce nowożytnej niektórzy ekonomiści próbują budować modele na podstawie działania poszczególnych agentów, zamiast narzucać funkcjonalną formę całej gospodarce . Funkcja produkcji Cobba-Douglasa, jeśli jest właściwie zdefiniowana, może być stosowana na poziomie mikroekonomicznym, aż do poziomu makroekonomicznego.

Jednak wielu współczesnych autorów opracowali modele, które dają mikroekonomiczne funkcje produkcji Cobba-Douglasa, w tym wiele modeli nowokeynesowskich . Niemniej jednak błędem matematycznym jest założenie, że tylko dlatego, że funkcja Cobba-Douglasa ma zastosowanie na poziomie mikroekonomicznym, zawsze ma również zastosowanie na poziomie makroekonomicznym . Podobnie niekoniecznie jest tak, że makro Cobba-Douglasa ma zastosowanie na poziomie zdezagregowanym. Wczesna mikropodstawa technologii agregatów Cobba-Douglasa oparta na aktywnościach liniowych została wyprowadzona w Houthakker (1955). Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest niespójna ze współczesnymi empirycznymi szacunkami elastyczności substytucji między kapitałem a pracą, które sugerują, że kapitał i praca są dopełnieniami brutto. W metaanalizie 3186 szacunków z 2021 r. Stwierdzono, że „ciężar dowodów zgromadzonych w literaturze empirycznej zdecydowanie odrzuca specyfikację Cobba-Douglasa”.

Narzędzia Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa jest często używana jako funkcja użyteczności . Użyteczność jest funkcją ilości $displaystyle {\ displaystyle {$ towarów: u $}}$$}$

${\ Displaystyle {\ tylda {u}} (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ lambda _ {I}}}$

Funkcje użyteczności reprezentują preferencje porządkowe i nie mają jednostek naturalnych, w przeciwieństwie do funkcji produkcji. W rezultacie monotoniczna transformacja funkcji użyteczności reprezentuje te same preferencje. W przeciwieństwie do funkcji produkcji Cobba-Douglasa, gdzie suma wykładników określa stopień korzyści skali , sumę można znormalizować do jednej dla funkcji użyteczności, ponieważ normalizacja jest monotoniczną transformacją pierwotnej funkcji użyteczności. Zatem $_$ α $_ alfa _ {i} = {\ Frac {\ lambda _ {i}} {\ lambda}}}$ , więc ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _{i}=1}$ i zapisz funkcję użyteczności jako:

${\ Displaystyle u (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alfa _ {i}}}$

$użyteczność$ z zastrzeżeniem ograniczenia budżetowego, zgodnie z którym koszt towarów jest niższy niż jej . Pozwalając na oznaczenie cen towarów, rozwiązuje: ${\ displaystyle p_ {i}}$

${\ Displaystyle \ max _ {x_ {i}} \ prod _ {i = 1} ^ {n }x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ podlega ograniczeniu }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w }$

Okazuje się, że rozwiązaniem dla popytu Cobba-Douglasa jest

${\ Displaystyle \ forall j: \ qquad x_ {j} ^ {\ gwiazda} = {\ Frac {w \ alfa _ {j}} {p_ {j}}} }$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ alpha _ {j} = {\ Frac {p_ {j} x_ {j} ^ {*}} {w}}}, konsument wydaje$ ułamek ${ w}}} \displaystyle \alpha _{j}}$ jej bogactwa na dobre j . Zauważ, że jest to rozwiązanie dla albo ${\ Displaystyle u (x)}$ lub ${\ Displaystyle {\ tylda {u}} (x)},$ ponieważ te same preferencje generują ten sam popyt .

Pośrednią funkcję użyteczności można obliczyć, podstawiając żądania $do$ . ${\ Displaystyle K = \ Pi _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} ^ {\ alfa _ {i}}$ } } Dostawać:

${\ Displaystyle v (p, w) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ lewo ({\ Frac {w \ alfa _ {i}} {p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\Pi _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i }}}}=K\left({\frac {w}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

co jest szczególnym przypadkiem formy biegunowej Gormana . Funkcja wydatków jest odwrotnością pośredniej funkcji użyteczności:

${\ Displaystyle e (p, u) = (1/K) \ prod _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}^{\alfa _{i}}u}$

Różne reprezentacje funkcji produkcji

Postać funkcji Cobba-Douglasa można oszacować jako zależność liniową za pomocą następującego wyrażenia:

$\ Displaystyle \ ln (Y) = a_ {0} + \ suma _ {i} a_ {i} \ ln (I_ {i}) }$

Gdzie

• ${\ Displaystyle Y = {\ tekst {wyjście}}}$
• ${\ Displaystyle I_ {i} = {\ tekst {dane wejściowe}}}$
• ${\ Displaystyle a_ {i} = {\ tekst {współczynniki modelu}}}$

Model można również zapisać jako

${\ Displaystyle Y = e ^ {a_ {0}} (I_ {1}) ^ {a_ {1}} \ cdot (I_ {2} })^{a_{2}}\cdots}$

Jak wspomniano, powszechną funkcją Cobba-Douglasa używaną w modelowaniu makroekonomicznym jest

${\ Displaystyle Y = K ^ {\ alfa} L ^ {\ beta}}$

gdzie K to kapitał, a L to praca. Kiedy wykładniki modelu sumują się do jedności, funkcja produkcji jest jednorodna pierwszego rzędu , co implikuje stałe korzyści skali — to znaczy, jeśli wszystkie dane wejściowe są skalowane przez wspólny czynnik większy od zera, produkcja będzie skalowana przez ten sam czynnik.

Związek z funkcją produkcji CES

Funkcja produkcji stałej elastyczności substytucji (CES) (w przypadku dwuczynnikowym) wynosi

${\ Displaystyle Y = A \ lewo (\ alfa K ^ {\ gamma} + (1- \ alfa) L ^ {\ gamma} \right)^{1/\gamma},}$

w którym przypadek graniczny γ = 0 odpowiada funkcji Cobba-Douglasa, ${\ Displaystyle Y = AK ^ {\ alfa} L ^ {1- \ alfa},}$ ze stałymi zwrotami skalować.

Aby to zobaczyć, dziennik funkcji CES,

${\ Displaystyle \ ln (Y) = \ ln (A) + {\ Frac {1} {\gamma}}\ln \left(\alpha K^{\gamma}+(1-\alpha)L^{\gamma}\right)}$

można doprowadzić do granic możliwości, stosując regułę l'Hôpitala :

${\ Displaystyle \ lim _ {\ gamma \ do 0} \ ln (Y) = \ ln (A) + \ alfa \ ln (K) + (1- \ alfa) \ ln (L).}$

Dlatego $\ Displaystyle Y = AK ^ {\ alfa} L ^ {1-\ alfa}}$ .

Transloguj funkcję produkcji

$jest$ przybliżeniem funkcji CES przez wielomian Taylora drugiego rzędu zmiennej około , $Douglasa$ . przypadek Cobba- Nazwa translog oznacza „logarytm transcendentalny”. Jest często używany w ekonometrii ze względu na fakt, że jest liniowy w parametrach, co oznacza, że ​​można by zastosować zwykłą metodę najmniejszych kwadratów , gdyby można było założyć, że dane wejściowe są egzogeniczne .

W powyższym przypadku dwuczynnikowym funkcja produkcji translog jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ ln (Y) & = \ ln (A) + \ alfa \ ln (K) + (1- \ alfa) \ ln (L) +{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A )+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+ b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{wyrównane}}}$

gdzie za $\ Displaystyle a_ {K}}$ , ${\ Displaystyle a_ {L}}$ , ${\ Displaystyle b_ {KK}}$ , ${\ Displaystyle b_ {LL}}$ i ${\ displaystyle b_ {KL}}$ są odpowiednio zdefiniowane. W przypadku trzech czynników funkcja produkcji translogu to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ ln (Y) & = \ ln (A) + a_ {L} \ ln (L) + a_ {K} \ ln (K) + a_ {M} \ ln (M )+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\& =f(L,K,M).\end{wyrównane}}}$

gdzie = całkowita produktywność czynników produkcji, $Displaystyle$$L}$ = praca, ${\ Displaystyle K}$ kapitał, ${\ Displaystyle M}$ = materiały i dostawy, oraz $=$ produkcja .

Zobacz też

• Funkcja produkcji Leontiefa
• Granica możliwości produkcji
• Teoria produkcji

Dalsza lektura

•   Renshaw, Geoff (2005). Matematyka dla ekonomii . Nowy Jork: Oxford University Press. s. 516–526. ISBN 0-19-926746-4 .

Linki zewnętrzne

• Anatomia funkcji produkcyjnych typu Cobba-Douglasa w 3D
• Analiza funkcji Cobba-Douglasa jako funkcji użyteczności
• Rozwiązanie w formie zamkniętej dla firmy z funkcją produkcji N-input