Stała elastyczność substytucji

Stała elastyczność substytucji ( CES ) w ekonomii jest własnością niektórych funkcji produkcji i funkcji użyteczności . Kilku ekonomistów poruszyło ten temat i przyczyniło się do ostatecznego ustalenia stałej. Należą do nich Tom McKenzie, John Hicks i Joan Robinson . Istotnym elementem ekonomicznym środka jest to, że dał on producentowi jasny obraz tego, jak przechodzić między różnymi trybami lub rodzajami produkcji.

W szczególności powstaje w określonym typie funkcji agregującej, która łączy dwa lub więcej rodzajów dóbr konsumpcyjnych lub dwa lub więcej rodzajów nakładów produkcyjnych w zagregowaną ilość. Ta funkcja agregatora wykazuje stałą elastyczność podstawienia .

Funkcja produkcji CES

Pomimo posiadania kilku czynników produkcji w substytucyjności, najpowszechniejsze są formy elastyczności substytucji. W przeciwieństwie do ograniczania bezpośredniej oceny empirycznej, stała elastyczność substytucji jest prosta w użyciu i dlatego jest szeroko stosowana. McFadden stwierdza, że;

Założenie o stałej ES jest ograniczeniem formy możliwości produkcyjnych i można scharakteryzować klasę funkcji produkcji, które mają tę własność. Zostało to zrobione przez Arrow-Chenery-Minhas-Solow dla przypadku produkcji dwuczynnikowej.

Funkcja produkcji CES jest neoklasyczną funkcją produkcji , która wykazuje stałą elastyczność substytucji . Innymi słowy, technologia produkcji charakteryzuje się stałą procentową zmianą proporcji czynników produkcji (np. pracy i kapitału ) ze względu na procentową zmianę krańcowej stopy substytucji technicznej . Dwuczynnikowa (kapitał, praca) funkcja produkcji CES wprowadzona przez Solowa , a później spopularyzowana przez Arrowa , Chenery'ego , Minhasa i Solowa to:

{\ Displaystyle Q = F \ cdot \ lewo (a \ cdot K ^ {\ rho} + (1-a) \ cdot L ^{\rho}\right)^{\frac {\upsilon}}{\rho}}}

Gdzie

${\ Displaystyle Q}$ = Ilość produkcji
${\ displaystyle F}$ = Czynnik produktywności
${\ displaystyle a}$ = parametr udziału
${\ Displaystyle K}$ , ${\ Displaystyle L}$ = Ilości podstawowych czynników produkcji (kapitał i praca)
${\ Displaystyle \ rho}$ = ${\ Displaystyle {\ Frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}$ = parametr podstawienia
${\ Displaystyle \ sigma}$ = ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1- \ rho}}}$ = Elastyczność podstawienia
${\ displaystyle \ upsilon}$ = stopień jednorodności funkcji produkcji. Gdzie ${\ displaystyle \ upsilon}$ = 1 (stały powrót do skali) , ${\ displaystyle \ upsilon}$ < 1 (malejący powrót do skali) , ${\ displaystyle \ upsilon}$ > 1 (rosnący powrót do skali) .

Jak sama nazwa wskazuje, funkcja produkcji CES wykazuje stałą elastyczność substytucji między kapitałem a pracą. Funkcje Leontiefa, liniowe i Cobba-Douglasa to szczególne przypadki funkcji produkcji CES. To jest,

Jeśli zbliża się do $1$ , mamy lub doskonałą funkcję substytucyjną ;
Jeśli $zera$ w granicy, otrzymujemy funkcję produkcji Cobba-Douglasa ;
Jeśli zbliża się do $nieskończoności,$ otrzymujemy funkcję produkcji Leontiefa lub doskonałych uzupełnień.

Ogólna postać funkcji produkcji CES z n danymi wejściowymi to:

{\ Displaystyle Q = F \ cdot \ lewo [\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i} ^ {r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}

Gdzie

${\ Displaystyle Q}$ = Ilość produkcji
${\ displaystyle F}$ = Czynnik produktywności
${\ Displaystyle a_ {i}}$ = parametr udziału wejścia ja, ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 1}$
${\ Displaystyle X_ {i}}$ = Ilości czynników produkcji (i = 1,2 ... n)
${\ Displaystyle s = {\ Frac {1} {1-r}}}$ = Elastyczność podstawienia.

Rozszerzenie formy funkcjonalnej CES (Solow) w celu uwzględnienia wielu czynników produkcji stwarza pewne problemy. Jednak nie ma całkowicie ogólnego sposobu, aby to zrobić. Uzawa pokazał, że jedyne możliwe n-czynnikowe funkcje produkcji (n>2) ze stałymi cząstkowymi elastycznościami substytucji wymagają albo, aby wszystkie elastyczności między parami czynników były identyczne, albo jeśli są różne, wszystkie muszą być sobie równe, a wszystkie pozostałe elastyczności muszą być jedność. Dotyczy to każdej funkcji produkcji. Oznacza to, że użycie formy funkcjonalnej CES dla więcej niż 2 czynników będzie generalnie oznaczać, że nie ma stałej elastyczności substytucji wśród wszystkich czynników.

Zagnieżdżone funkcje CES są powszechnie spotykane w modelach równowagi częściowej i równowagi ogólnej . Różne gniazda (poziomy) pozwalają na wprowadzenie odpowiedniej elastyczności substytucji.

Funkcja narzędziowa CES

Ta sama forma funkcjonalna CES pojawia się jako funkcja użyteczności w teorii konsumenta . Na przykład, jeśli istnieją $,$ dóbr konsumpcyjnych to zagregowaną konsumpcję można zdefiniować za pomocą agregatora CES: $displaystyle$ $x_ {i}}$

{\ Displaystyle X = \ lewo [\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {\ Frac {1} {s}} x_ {i} ^ {\ Frac {s-1} {s }}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}

Tutaj ponownie współczynniki $są parametrami$ $elastyczność$ , a . Dlatego dobra konsumpcyjne $do$ doskonałymi substytutami , gdy $nieskończoności$ i doskonale uzupełniają się, gdy $się$ do zera. W przypadku, gdy $do jednego,$ ponownie jest to przypadek graniczny, w którym obowiązuje reguła L'Hôpitala . Agregator CES jest czasami nazywany agregatorem Armingtona , co zostało omówione przez Armingtona (1969).

Funkcje użyteczności CES są szczególnym przypadkiem preferencji homotetycznych .

Poniżej znajduje się przykład funkcji użyteczności CES dla dwóch towarów i równych udziałów: ${\ displaystyle x}$ i ${\ displaystyle y}$

{\ Displaystyle u (x, y) = (x ^ {r} + y ^ {r}) ^ {1/r}.}

Funkcja wydatków w tym przypadku to:

{\ Displaystyle e (p_ {x}, p_ {y}, u) = (p_ {x} ^ {r / (r-1)} + p_ {y} ^ {r / (r-1)}) ^ {(r-1)/r}\cdot u.}

Pośrednia funkcja użyteczności jest jej odwrotnością:

{\ Displaystyle v (p_ {x}, p_ {y}, ja) = (p_ {x} ^ {r / (r-1)} + p_ {y} ^ {r / (r-1)}) ^ {(1-r)/r}\cdot I.}

Funkcje popytu to:

{\ Displaystyle x (p_ {x },p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^ {r/(r-1)}}}\cdot ja,}

{\ Displaystyle y (p_ {x}, p_ {y}, ja) = {\ Frac {p_ {y} ^ {1 / (r-1)}} {p_ {x} ^ {r / (r-1) )}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}

Funkcja użyteczności CES jest jednym z przypadków rozważanych przez Dixita i Stiglitza (1977) w badaniu optymalnej różnorodności produktów w kontekście konkurencji monopolistycznej .

Zwróć uwagę na różnicę między użytecznością CES a użytecznością izoelastyczną : funkcja użyteczności CES jest porządkową funkcją użyteczności, która reprezentuje preferencje dotyczące pewnych pakietów towarów konsumpcyjnych, podczas gdy funkcja użyteczności izoelastycznej jest kardynalną funkcją użyteczności , która reprezentuje preferencje dotyczące loterii. Pośrednia (podwójna) funkcja użyteczności CES została wykorzystana do wyprowadzenia systemów popytu na marki spójnych pod względem użyteczności, w których żądania kategorii są określane endogenicznie przez wielokategoriową pośrednią (podwójną) funkcję użyteczności CES. Wykazano również, że preferencje CES są samodualne i że zarówno pierwotne, jak i dualne preferencje CES dają układy krzywych obojętności, które mogą wykazywać dowolny stopień wypukłości.

Linki zewnętrzne