Preferencje homotetyczne

W teorii konsumenta preferencje konsumenta nazywane są homotetycznymi , jeśli można je przedstawić za pomocą funkcji użyteczności jednorodnej stopnia 1. Na przykład w gospodarce z dwoma dobrami preferencje homotetyczne mogą być ${\ displaystyle x, y} reprezentowana$ $displaystyle$ funkcję użyteczności , która ma następującą właściwość: dla każdego : u $a> 0}$ :

{\ Displaystyle u (a \ cdot x, a \ cdot y) = a \ cdot u (x, y)}

W matematyce funkcja homotetyczna to monotoniczna transformacja funkcji, która jest jednorodna ; jednakże, ponieważ porządkowe funkcje użyteczności są definiowane tylko do rosnącej transformacji monotonicznej , istnieje niewielka różnica między tymi dwoma pojęciami w teorii konsumenta.

W modelu, w którym konkurencyjni konsumenci optymalizują homotetyczne funkcje użyteczności z zastrzeżeniem ograniczeń budżetowych , proporcje dóbr żądanych przez konsumentów będą zależeć tylko od względnych cen , a nie od dochodu czy skali. Przekłada się to na liniową ścieżkę ekspansji dochodu: nachylenie krzywych obojętności jest stałe wzdłuż promieni rozpoczynających się w początku. Oznacza to, że krzywa Engela dla każdego dobra jest liniowa.

Co więcej, pośrednią funkcję użyteczności można zapisać jako liniową funkcję bogactwa: ${\ displaystyle w}$ :

{\ Displaystyle v (p_ {x}, p_ {y}, w) = f (p_ {x}, p_ {y} )\cdot w}

co jest szczególnym przypadkiem postaci biegunowej Gormana . W związku z tym, jeśli wszyscy konsumenci mają homotetyczne preferencje (z tym samym współczynnikiem bogactwa), zagregowany popyt można obliczyć, biorąc pod uwagę pojedynczego „reprezentatywnego konsumenta”, który ma te same preferencje i ten sam zagregowany dochód.

Przykłady

Funkcje użyteczności o stałej elastyczności podstawienia (CES) są homotetyczne. Mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności, taką jak:

{\ Displaystyle u (x, y) = \ lewo (\ lewo ({x \ nad w_ {x}} \right)^{\!r}+\left({y \ponad w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}}

Ta funkcja jest jednorodna stopnia 1:

{\ Displaystyle u (ax, ay) = \ lewo (a ^ {r} \ lewo ({x \ nad w_ {x}} \ prawej) ^ {\! r }+a^{r}\left({y \ponad w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=(a^{r})^{ 1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r} \ \right)^{\!1/r}=au(x,y)}

Narzędzia liniowe , narzędzia Leontiefa i narzędzia Cobba-Douglasa są szczególnymi przypadkami funkcji CES, a zatem są również homotetyczne.

Z drugiej strony użyteczności quasiliniowe nie zawsze są homotetyczne. $_$ funkcja _

Preferencje homotetyczne wewnątrzokresowe a międzyokresowe

Preferencje są homotetyczne wewnątrzczasowo, jeśli w tym samym okresie konsumenci o różnych dochodach, ale mający te same ceny i mający identyczne preferencje, będą żądać towarów w tych samych proporcjach.

Preferencje są międzyokresowo homotetyczne, jeśli w różnych okresach czasu bogaci i biedni decydenci są jednakowo niechętni proporcjonalnym fluktuacjom konsumpcji.

Modele współczesnej makroekonomii i finansów publicznych często przyjmują postać stałej względnej awersji do ryzyka dla użyteczności w okresie (zwanej także użytecznością energetyczną lub użytecznością izoelastyczną ). Powodem jest to, że w połączeniu z addytywnością w czasie daje to homotetyczne preferencje międzyokresowe, a ta homotetyczność jest bardzo wygodna analitycznie (na przykład pozwala na analizę stanów ustalonych w modelach wzrostu). Założenia te implikują, że elastyczność substytucji międzyokresowej i jej odwrotność, współczynnik awersji (do ryzyka) , są stałe.

Dowód

Wiadomo jednak, że w rzeczywistości wzorce konsumpcji zmieniają się wraz z zamożnością ekonomiczną. Oznacza to, że preferencje nie są w rzeczywistości homotetyczne. Od dawna ustalono, że względne zmiany cen wpływają na ludzi w różny sposób, nawet jeśli wszyscy mają do czynienia z tym samym zestawem cen.

Zobacz też