Marshallowska funkcja popytu

W mikroekonomii Marshallowska funkcja popytu konsumenta (nazwana na cześć Alfreda Marshalla ) to ilość, jaką żądają na określone dobro w funkcji jego ceny, ich dochodu i cen innych towarów, bardziej techniczna ekspozycja standardowej funkcji popytu . Jest to rozwiązanie problemu maksymalizacji użyteczności , w jaki sposób konsument może zmaksymalizować swoją użyteczność przy danym dochodzie i cenach. Synonimem jest nieskompensowana funkcja popytu , ponieważ przy wzroście ceny konsumentowi nie rekompensuje się wyższym dochodem nominalnym za spadek jego dochodu realnego, inaczej niż w funkcji popytu Hicksa . Tak więc zmiana wielkości popytu jest połączeniem efektu substytucyjnego i efektu bogactwa . Chociaż popyt Marshalla jest w kontekście teorii równowagi częściowej, jest czasami nazywany popytem walrasowskim , jak jest używany w teorii równowagi ogólnej (nazwanej na cześć Léona Walrasa ).

Zgodnie z problemem maksymalizacji użyteczności istnieje L towarów z wektorem ceny p i wybieralnym wektorem ilości x . Konsument ma dochód I , a więc budżetowy zestaw przystępnych cenowo pakietów

{\ Displaystyle B (p, ja) = \ {x: \ langle p, x \ rangle \ równoważnik I \},}

gdzie $wektorów$ i . _ Konsument pełni funkcję użyteczności

{\ Displaystyle u: {\ textbf {R}} _ {+} ^ {L} \ rightarrow {\ textbf {R}}.}

Marshallowska korespondencja popytu konsumenta jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle x ^ {*} (p, ja) = \ nazwa operatora {argmax} _ {x \ w B (p, ja)} u (x).}

Ujawnione preferencje

Teoria Marshalla sugeruje, że pogoń za użytecznością jest dla konsumenta czynnikiem motywacyjnym, który można osiągnąć poprzez konsumpcję towarów lub usług. Wielkość użyteczności konsumenta jest uzależniona od poziomu konsumpcji danego dobra, co podlega fundamentalnej tendencji natury ludzkiej i jest określane jako prawo malejącej użyteczności krańcowej .

Ponieważ zawsze istnieje maksimum użyteczności, Marshallowska korespondencja popytowa musi być niepusta przy każdej wartości odpowiadającej standardowemu zestawowi budżetowemu.

Wyjątkowość

${\ Displaystyle x ^ {*} (p, ja)}$ nazywa się korespondencją , ponieważ ogólnie może mieć wartość ustaloną - może istnieć kilka różnych wiązek, które osiągają tę samą maksymalną użyteczność. W niektórych przypadkach istnieje unikalny pakiet maksymalizujący użyteczność dla każdej sytuacji cenowej i dochodowej; wtedy $_$ funkcją i .

Jeśli konsument ma ściśle wypukłe preferencje , a ceny wszystkich towarów są ściśle dodatnie, to istnieje unikalny pakiet maksymalizujący użyteczność. Aby to udowodnić, $załóżmy$ $przez$ sprzeczność, że istnieją dwa różne pakiety , które Następnie ${\ displaystyle x_ {1}}$ i ${\ displaystyle x_ {2}}$ są równie preferowane. Z definicji ścisłej wypukłości, wiązka mieszana ${\ Displaystyle 0,5x_ {1} + 0,5x_ {2}}$ jest zdecydowanie lepsze niż ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}$ } Ale to jest sprzeczne z optymalnością ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ .

Ciągłość

Twierdzenie o maksimum implikuje, że jeśli:

Funkcja użyteczności jest $\ Displaystyle u (x)$ względem , ${$ }
Korespondencja $ciągła$ względem $p, I$ ,

wtedy $_$ _ _ _ Co $więcej$ , jeśli $}$ , jest funkcją i $p$

W połączeniu z poprzednim podrozdziałem, jeśli konsument ma ściśle wypukłe preferencje, wówczas popyt Marshalla jest wyjątkowy i ciągły. Natomiast jeśli preferencje nie są wypukłe, to popyt Marshalla może być niejednoznaczny i nieciągły.

Jednorodność

Optymalna Marshallowska zgodność popytu ciągłej funkcji użyteczności jest funkcją jednorodną o stopniu zerowym. Oznacza to, że dla każdej stałej ${\ displaystyle a> 0,}$

{\ Displaystyle x ^ {*} (a \ cdot p, a \ cdot ja) = x ^ {*} (p, ja).}

Jest to intuicyjnie jasne. Załóżmy, $są$ i ${\ displaystyle I}$ mierzone w dolarach. Kiedy za $a = 100}$ $displaystyle$ , $ap}$ i są tymi samymi wielkościami mierzonymi w centach. Kiedy ceny i bogactwo rosną o czynnik a, wzorzec zakupowy podmiotu gospodarczego pozostaje stały. Oczywiście wyrażanie w różnych jednostkach miary cen i dochodów nie powinno mieć wpływu na popyt.

Krzywa popytu

Teoria Marshalla wykorzystuje, że krzywa popytu reprezentuje malejące krańcowe wartości danego dobra. Teoria podkreśla, że decyzja konsumenta o zakupie zależy od możliwej do uzyskania użyteczności towaru lub usługi w porównaniu z ceną, ponieważ dodatkowa użyteczność, którą uzyskuje konsument, musi być co najmniej tak duża jak cena. Poniższa sugestia sugeruje, że żądana cena jest równa maksymalnej cenie, jaką konsument zapłaciłby za dodatkową jednostkę towaru lub usługi. W związku z tym użyteczność jest stała wzdłuż krzywej popytu. Kiedy krańcowa użyteczność dochodu jest stała lub jego wartość jest taka sama dla jednostek w ramach krzywej popytu rynkowego, możliwe jest generowanie korzyści netto z zakupionych jednostek lub nadwyżki konsumenta poprzez sumowanie cen popytu.

Punkt przecięcia „Ceny” i „Użyteczności krańcowej = Popyt” pokazuje optymalny poziom indywidualnej konsumpcji.

Przykłady

W poniższych przykładach występują dwa towary, 1 i 2.

1. Funkcja użyteczności ma postać Cobba-Douglasa :

{\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alfa} x_ {2} ^ {\ beta}.}

Optymalizacja z ograniczeniami prowadzi do funkcji popytu Marshalla:

{\ Displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, ja) = \ lewo ({\ Frac {\ alfa I} {(\ alfa + \ beta) p_ {1}}}, {\ frac {\beta I}{(\alpha +\beta)p_{2}}}\right).}

2. Funkcja użyteczności jest funkcją użyteczności CES :

{\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ lewo [{\ Frac {x_ {1} ^ {\ delta}} {\ delta}} + {\ Frac {x_ {2} ^ {\ delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}

Wtedy ${\ Displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, ja) = \ lewo ({\ Frac {Ip_ {1} ^ {\ epsilon -1}} {p_ {1} ^ {\ epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon} }}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta}}.}$

W obu przypadkach preferencje są ściśle wypukłe, popyt jest jednoznaczny, a funkcja popytu jest ciągła.

3. Funkcja użyteczności ma postać liniową :

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}.}

$:$ kiedy dowolnych proporcjach między rodzaje produktów 1 i 2 i uzyskaj to samo narzędzie.

4. Funkcja użyteczności wykazuje nie malejącą krańcową stopę substytucji:

{\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} ^ {\ alfa} +x_{2}^{\alpha}),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}

${1}}$ jest wypukła, a popyt rzeczywiście nie jest ciągły: kiedy $1 {\ displaystyle p_ {1}$ tylko produktu 1, a kiedy $} \displaystyle p_{2}<$ $tylko$ , konsument żąda tylko produktu 2 (kiedy zawiera dwa odrębne pakiety: produkt 1 lub kup tylko produkt 2).

Zobacz też

Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael & Zielony, Jerry (1995). Teoria mikroekonomiczna . Oksford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1 .
Nicholsona, Waltera (1978). Teoria mikroekonomiczna (wyd. Drugie). Hinsdale: Dryden Press. s. 90–93. ISBN 0-03-020831-9 .
Silberberg, E. (2008). Żądania Hicksa i Marshalla . Londyn: Palgrave Macmillan, Londyn. ISBN 978-1-349-95121-5 .
Lewin, Jonatan; Milgrom, Paul (październik 2004). „Teoria konsumenta” (PDF) . Źródło 22 kwietnia 2021 r .
Wong, Stanley (2006). Podstawy ujawnionej teorii preferencji Paula Samuelsona (PDF) (poprawiona red.). Routledge'a. ISBN 0-203-34983-0 . Źródło 19 kwietnia 2021 r .