Maksymalne twierdzenie

Twierdzenie o maksimum zapewnia warunki ciągłości optymalizowanej funkcji i zbioru jej maksymalizatorów względem jej parametrów . Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez Claude'a Berge'a w 1959 roku. Twierdzenie to jest używane głównie w ekonomii matematycznej i optymalnym sterowaniu .

Stwierdzenie twierdzenia

Maksymalne Twierdzenie . Niech $}$$Displaystyle X}$$Displaystyle$ i będą topologicznymi, funkcją na Θ produkt ${\ Displaystyle X \ razy \ Theta}$ i ${\ Displaystyle C: \ Theta \ rightrightarrows X} być$ korespondencją o zwartej wartości takie, że $dla$ wszystkich dla wszystkich $in \ Theta$ . Zdefiniuj funkcję krańcową (lub funkcję wartości ) przez ${\ Displaystyle f ^ {*}: \ Theta \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f ^ {*} (\ teta) = \ sup \ {f (x, \ teta): x \ in C(\theta)\}}$

i zbiór maksymalizatorów przez ${\ Displaystyle C ^ {*}: \ Theta \ rightrightarrows X}$

${\ Displaystyle C ^ {*} (\ teta) = \ operatorname {arg} \ max \ {f (x, \ teta): x \ w C (\ teta) \} = \ {x \ w C (\ teta ):f(x,\theta)=f^{*}(\theta)\}}$ .

Jeśli jest $}$ (tj. zarówno górna, jak i dolna $}}$ ) $w$ , to jest ciągła i do $∗$$^ {$ jest półciągłą górną z niepustymi i zwartymi wartościami. W konsekwencji ${\ displaystyle \ sup}$ może zostać zastąpiony przez ${\ displaystyle \ max}$ .

Interpretacja

Twierdzenie jest zwykle interpretowane jako zapewniające warunki, aby problem optymalizacji parametrycznej miał ciągłe rozwiązania w odniesieniu do parametru. W tym przypadku $θ$$( \ theta )}$$,$ to , która ma być zmaksymalizowana, i $maksymalizowany$ zestaw ograniczeń, który jest . Wtedy $displaystyle$ zmaksymalizowaną wartością funkcji i $jest$ zbiorem punktów, które maksymalizują $f$ .

W rezultacie, jeśli elementy problemu optymalizacyjnego są wystarczająco ciągłe, to część, ale nie cała, tej ciągłości jest zachowana w rozwiązaniach.

Dowód

W całym tym dowodzie będziemy używać terminu sąsiedztwo w odniesieniu do zbioru otwartego zawierającego określony punkt. Przedmowiemy wstępnym lematem, który jest ogólnym faktem w rachunku korespondencji. Przypomnijmy, że korespondencja jest zamknięta , jeśli jej graf jest zamknięty.

Lemat . Jeśli ${\ Displaystyle A, B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ są odpowiednikami, ${\ Displaystyle A}$ jest półciągły górny i ma zwarte wartości, a ${\ Displaystyle B}$ jest zamknięty, to ${\ Displaystyle A \ cap B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ zdefiniowane przez ${\ Displaystyle (A \ nasadka B) (\ teta) = A (\ teta) \ nasadka B (\ teta)}$ jest półciągła górna.

Dowód

Niech ${\ Displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ i załóżmy, że jest $zbiorem$ otwartym zawierającym $}$${\ Displaystyle (A \ cap B) (\ theta$ . Jeśli ${\ Displaystyle A (\ theta) \ subseteq G}$ , to wynik następuje natychmiast. W przeciwnym razie zauważ, że dla każdego ${\ Displaystyle x \ w A (\ theta) \ setminus G}$ mamy ${\ Displaystyle x \ notin B (\ theta)}$$a$ ponieważ jest zamknięty, jest sąsiedztwo ${\ Displaystyle U_ {x} \ razy V_ {x}}$ z ${\ Displaystyle (\ theta, x)}$ w którym ${\ Displaystyle x '\ notin B (\ theta ')}$ kiedykolwiek ${\ Displaystyle (\ theta ', x') \ w U_ {x} \ razy V_ {x }}$ . Zbiór zestawów ${\ Displaystyle \ {G \} \ puchar \ {V_ {x}: x \ w A (\ teta) \ setminus G \ }}$ tworzy otwarte pokrycie zbioru zwartego $,$$V_ {x_ { 1}},\kropki ,V_{x_{n}}}$ wyodrębnić skończone pokrycie podrzędne . Przez górną półciągłość istnieje sąsiedztwo że $}$ _ $}$${\ Displaystyle A (U _ {\ teta}) \ subseteq G \ kubek V_ {x_ {1}} \ kubek \ kropki \ kubek V_ {x_ {n}}}$ . $teta '\ w U_ {\ teta} \ czapka U_ {x_ {1}} \ czapka \ kropki \ czapka U_ {x_ {n }}}$ \ , mamy $_$ _ ${\ Displaystyle (A \ cap B) (\ teta ') \ subseteq G}$ . To kończy dowód. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Ciągłość $twierdzenia$ maksimum jest wynikiem połączenia ze sobą dwóch niezależnych twierdzeń

Twierdzenie 1 . Jeśli $górny półciągły,$$półciągły$ i i zwarty, to jest górny $półciągły$

Dowód twierdzenia 1

Napraw i $_$$_$ _ Dla każdego istnieje sąsiedztwo $C$${\ Displaystyle (\ theta, x)}$$\ Displaystyle x$ w takie, że kiedykolwiek ${\ Displaystyle (\ theta ', x') \ w U_ {x} \ razy V_ {x}}$ , mamy ${\ Displaystyle f (x '\ teta') <f (x, \ teta) + \ varepsilon}$ . Zbiór sąsiedztw ${\ Displaystyle \ {V_ {x}: x \ w C (\ theta) \}}$ obejmuje do $(\ theta)}$ , który jest zwarty, więc ${\ Displaystyle V_ {x_ {1}}, \ kropki, V_ {x_ {n}}}$ wystarczy. $displaystyle C}$ , ponieważ górna $półciągła$ górna istnieje sąsiedztwo $,$ że zawsze wtedy, gdy { wynika, że ${k = 1}^{n}V_{x_{k}}}$$)$ . Niech ${\ Displaystyle U = U '\ czapka U_ {x_ {1}} \ czapka \ kropki \ czapka U_ {x_ {n}}}$ . $theta ') <f (x_ {k}, \ theta) + \ varepsilon}$ dla wszystkich $+$ ( dla każdego ${\ Displaystyle x '\ in C (\ theta ')}$ , jak ${\ Displaystyle x '\ w V_ {x_ {k}}}$ dla jakiegoś ${\ displaystyle k}$ . Wynika, że ${\ Displaystyle f ^ {*} (\ teta ') = \ sup _ {x' \ w C (\ teta ')} f (x', \ teta ') <\ max _ {k = 1, \ kropki, n}f(x_{k},\theta )+\varepsilon \leq f^{*}(\theta )+\varepsilon ,}$ co było pożądane. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Twierdzenie 2 . Jeśli $to$$półciągły$ i niższy półciągły, jest $niższy$

Dowód twierdzenia 2

Napraw i $_$$_$ _ $takie$ definicji $^ {*}$ istnieje że ${\ Displaystyle f ^ {*} (\ teta) <f (x, \ teta) + {\ Frac {\ varepsilon} {2}}$ } Teraz, ponieważ $półciągły$ , istnieje sąsiedztwo takie , że ${\ Displaystyle U_ {1} \ razy V}$${\ Displaystyle (\ theta, x)}$ kiedykolwiek ${\ Displaystyle (\ theta ', x') \ w U_ {1} \ razy V}$ mamy ${\ Displaystyle f (x, \ theta) <f (x', \ theta ') + {\ Frac {\ varepsilon}} {2 }}}$ . Zauważ, że do $\ pusty zbiór}$ (w szczególności ${\ Displaystyle x \ w C (\ theta) \ cap V}$ ). Dlatego też $}$ ponieważ jest $półciągły$ istnieje sąsiedztwo $displaystyle C$ , że zawsze do ${\ Displaystyle x '\ w C (\ teta ') \ cap V}$ . Niech ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ czapka U_ {2}}$ . ${\ Displaystyle \ theta '\ w U}$ istnieje $V}$ cap V} θ ′ ∈ U {\ Displaystyle \ theta '\ cap ${\ Displaystyle f ^ {*} (\ teta) <f ( x,\theta )+{\frac {\varepsilon }{2}}<f(x',\theta ')+\varepsilon \leq f^{*}(\theta ')+\varepsilon }$ co było pożądane. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

$z$ hipotezami twierdzenia o maksimum . Pozostaje sprawdzić, czy $to$ półciągła zgodność z wartościami zwartymi. Niech ${\ Displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ . Aby zobaczyć, że $,$ że funkcja ${\ Displaystyle f _ {\ theta}: C (\ theta) \ do \ mathbb {R}}$ przez ${\ Displaystyle f _ {\ theta} (x) = f (x , \ theta )}$ jest ciągła na zbiorze zwartym do ${\ Displaystyle C (\ theta)$ . Twierdzenie $ekstremalnej$ wartości implikuje że Ponadto, ponieważ ${\ Displaystyle f _ {\ theta}}$ jest ciągły, wynika z tego, że domknięty podzbiór zbioru zwartego do $theta)}$$Displaystyle$ , co implikuje, że $\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta)}$ jest zwarty. Wreszcie niech ${\ Displaystyle D: \ Theta \ rightrightarrows X}$ będzie zdefiniowane przez ${\ textstyle D (\ teta) = \ {x \ w X: f (x, \ teta) = f ^ {*} ( \theta )\}}$ . Ponieważ $funkcją$ ciągłą, $zamkniętą$ korespondencją. Ponadto, ponieważ $(\ theta) \ cap D (\ theta)}$$,$ wstępny lemat implikuje, że jest górna hemiciągła. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Warianty i uogólnienia

Naturalne uogólnienie powyższych wyników daje wystarczające $były$ lokalne, aby ciągłe i $górne$ zwartych wartościach i ciągły.

Jeśli oprócz powyższych warunków, $C^{*}}$ quasi -wklęsły $w$ dla każdego jest wypukły, $to$$∗$$displaystyle$$}$ jest również wypukłe. Jeśli $jest$ ściśle quasi-wklęsły w dla każdego i $displaystyle$$\ theta}$${\ displaystyle C} ma$$jest$ wypukłe, a następnie jednowartościowy, a zatem jest raczej funkcją ciągłą niż odpowiednikiem

Jeśli $wklęsły$ i ma wypukły $}$ , to jest wklęsły i jest wypukły do $Displaystyle$ { \ $*$ } cenny. Podobnie jak powyżej, jeśli $jest$$wklęsły$ to funkcją ciągłą.

Możliwe jest również uogólnienie twierdzenia Berge'a na niezwarte odpowiedniki , jeśli funkcja celu jest K-inf-zwarta.

Przykłady

Rozważ problem maksymalizacji użyteczności , w którym konsument dokonuje wyboru ze swojego zestawu budżetowego. Przekładając powyższą notację na standardową notację teorii konsumentów,

• ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} _ {+} ^ {l}}$ to przestrzeń wszystkich wiązek towarów, ${\ displaystyle l}$
• ${\ Displaystyle \ Theta = \ mathbb {R} _ {++} ^ {l} \ razy \ mathbb {R} _ {++}}$ reprezentuje wektor cen towarów ${\ displaystyle p}$ i bogactwo konsumenta ${\ displaystyle w}$ ,
• ${\ Displaystyle f (x, \ theta) = u (x)} jest$ funkcją użyteczności konsumenta i
• ${\ Displaystyle C (\ theta) = B (p, w) = \ {x \, | \, px \ równoważnik w \}} to$ zestaw budżetu konsumenta .

Następnie,

• ${\ Displaystyle f ^ {*} (\ teta) = v (p, w)}$ jest pośrednią funkcją użyteczności i
• $\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta) = x (p, w)}$ jest popytem Marshalla .

Dowody w teorii równowagi ogólnej często stosują twierdzenia Brouwera lub Kakutaniego o punkcie stałym do popytu konsumenta, które wymagają zwartości i ciągłości, a twierdzenie o maksimum zapewnia do tego wystarczające warunki.

Zobacz też

• Twierdzenie o obwiedni
• Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
• Twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym dla korespondencji

Notatki

• Claude Berge (1963). Przestrzenie topologiczne . Olivera i Boyda. s. 115–117.
•   Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Granica (2006). Nieskończona analiza wymiarowa: przewodnik autostopowicza . Skoczek. s. 569-571 . ISBN 9783540295860 .
• Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Podręcznik analizy wielowartościowej . Tom. 1: Teoria. Springer-Science + Business Media, BV, s. 82–89.