Funkcjonalna grupa renormalizacji

W fizyce teoretycznej funkcjonalna grupa renormalizacyjna ( FRG ) jest implementacją koncepcji grupy renormalizacyjnej (RG), która jest stosowana w kwantowej i statystycznej teorii pola, zwłaszcza w przypadku układów silnie oddziałujących . Metoda łączy funkcjonalne metody kwantowej teorii pola z intuicyjną ideą grupy renormalizacji Kennetha G. Wilsona . Technika ta pozwala na płynną interpolację między znanymi prawami mikroskopowymi a skomplikowanymi zjawiskami makroskopowymi w układach fizycznych. W tym sensie stanowi pomost między przejściem od prostoty mikrofizyki do złożoności makrofizyki. Mówiąc obrazowo, FRG działa jak mikroskop o zmiennej rozdzielczości. Zaczyna się od obrazu o wysokiej rozdzielczości znanych praw mikrofizycznych, a następnie zmniejsza rozdzielczość, aby uzyskać gruboziarnisty obraz makroskopowych zjawisk zbiorowych. Metoda jest nieperturbacyjna, co oznacza, że ​​nie opiera się na rozszerzaniu małej stałej sprzężenia . Matematycznie FRG opiera się na dokładnym funkcjonalnym równaniu różniczkowym dla skutecznego działania zależnego od skali .

Równanie przepływu dla skutecznego działania

W kwantowej teorii pola $.$ działanie jest $analogiem$ klasycznego funkcjonału i zależy od pól danej teorii Obejmuje wszystkie fluktuacje kwantowe i termiczne. Odmiana daje dokładne kwantowe równania pola, na przykład dla kosmologii $lub$ elektrodynamiki . Matematycznie ${\ Displaystyle \ Gamma}$ jest funkcjonałem generującym jednocząstkowych nieredukowalnych diagramów Feynmana . Można z niej łatwo wydobyć interesującą fizykę, jako propagatory i efektywne sprzężenia interakcji. Jednak w ogólnej teorii pola oddziałującego skuteczne działanie $jest$ FRG zapewnia praktyczne narzędzie do obliczania $renormalizacji$ wykorzystaniem koncepcji grupy .

Centralnym obiektem w RFN jest funkcjonał efektywnego działania zależny od skali, $przeciętnym$ lub działaniem płynnym. Zależność od ruchomej skali RG $jest$$k}^{(2)}}$ dodanie regulatora (odcięcie podczerwieni) do pełnego odwrotnego propagatora $2$$Displaystyle \ Gamma _$ . Z grubsza mówiąc regulator ${\ Displaystyle R_ {k}}$ oddziela powolne tryby od pędu $im$ dużą masę, podczas gdy tryby o dużym pędzie nie ulegają zmianie Zatem obejmuje wszystkie fluktuacje kwantowe i statystyczne z pędem $q$$q \ gtrsim k}$ . Płynąca akcja jest zgodna z dokładnym funkcjonalnym równaniem przepływu ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$

${\ Displaystyle k \ \ częściowe _ {k} \ Gamma _ {k} = {\ frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\częściowe _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{ k})^{-1},}$

wyprowadzone przez Christofa Wettericha i $Tima$ R. Morrisa w 1993 r. Tutaj $oznacza$ w odniesieniu do skali RG wartościach pól. Ponadto ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ oznacza funkcjonalną pochodną ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$ odpowiednio z lewej i prawej strony, ze względu na tensorową strukturę równania. Ta cecha jest często przedstawiana w uproszczeniu przez drugą pochodną skutecznego działania. Funkcjonalne $_$$gdzie$ uzupełnić _ klasyczne działanie” $=$ fizykę w mikroskopijnej skali ${\ Displaystyle k = \ Lambda}$ . $_$$.$ granicy uzyskuje pełne działanie W równaniu Wettericha $.$ superślad, który sumuje pędy, częstotliwości, wewnętrzne wskaźniki i pola (biorąc bozony ze znakiem plus i fermiony ze znakiem minus) Dokładne równanie przepływu dla ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$ ma konstrukcję jednopętlową. Jest to istotne uproszczenie w porównaniu z teorią zaburzeń , w której muszą być uwzględnione diagramy wielopętlowe. Γ $= \ Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ to pełny propagator pola odwrotnego zmodyfikowany przez obecność regulatora ${\ displaystyle R_ {k}}$ .

Ewolucję grupy renormalizacji można zilustrować w $_ {k}} \}}$ wielowymiarową przestrzenią wszystkich możliwych działających sprzężeń. $Gamma$ dozwolone przez symetrie problemu. Jak schematycznie na rysunku, w mikroskopowej skali ultrafioletowej zaczyna się od stanu początkowego $\ Displaystyle k$${\ Displaystyle \ Gamma _ {k = \ Lambda} = S}$ .

Przepływ grup renormalizacyjnych w przestrzeni teoretycznej wszystkich możliwych sprzężeń dozwolonych przez symetrie.

$przesuwana$ skala jest obniżana, płynne działanie $.$ z funkcjonalnym równaniem $przepływu$ regulatora nie jest unikalny, co wprowadza pewną zależność schematu do renormalizacji . $Z tego$ różne wybory regulatora odpowiadają różnym ścieżkom rysunku. W skali podczerwieni $k = 0}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {k = 0} = \ Gamma$$} R_{k}}$ pełne skuteczne działanie odzyskiwane dla każdego wyboru punktu odcięcia , a wszystkie trajektorie spotykają się w tym samym punkcie w przestrzeni teorii.

W większości interesujących nas przypadków równanie Wettericha można rozwiązać tylko w przybliżeniu. Zwykle przeprowadza się pewien rodzaj rozwinięcia , które jest następnie obcinane $skończonego układu równań różniczkowych zwyczajnych.$ Opracowano różne systematyczne schematy ekspansji (takie jak ekspansja pochodnej, ekspansja wierzchołków itp.). Wybór odpowiedniego schematu powinien być motywowany fizycznie i zależny od danego problemu. Rozszerzenia niekoniecznie obejmują mały parametr (taki jak stała sprzężenia interakcji ), a zatem mają na ogół charakter nieperturbacyjny.

Należy jednak zauważyć, że ze względu na wielość wyborów dotyczących (prefaktor-)konwencji i konkretną definicję skutecznego działania, w literaturze można znaleźć inne (równoważne) wersje równania Wettericha.

Aspekty renormalizacji funkcjonalnej

• Równanie przepływu Wettericha jest równaniem dokładnym. Jednak w praktyce funkcjonalne równanie różniczkowe musi być obcięte, tj. musi być rzutowane na funkcje kilku zmiennych lub nawet na jakąś skończenie wymiarową przestrzeń podteoryczną. Jak w przypadku każdej metody nieperturbacyjnej, kwestia oszacowania błędu jest nietrywialna w renormalizacji funkcjonalnej. Jednym ze sposobów oszacowania błędu w FRG jest poprawianie obcięcia w kolejnych krokach, czyli powiększanie przestrzeni podteorii o coraz więcej działających sprzężeń. Różnica w przepływach dla różnych obcięć daje dobre oszacowanie błędu. Alternatywnie można zastosować różne funkcje regulatora ${\ displaystyle R_ {k}}$ w zadanym (stałym) obcięciu i określ różnicę przepływów RG w podczerwieni dla odpowiednich wyborów regulatora. W przypadku zastosowania bozonizacji można sprawdzić niewrażliwość wyników końcowych w odniesieniu do różnych procedur bozonizacji.
• W FRG, podobnie jak we wszystkich metodach RG, wiele informacji o systemie fizycznym można uzyskać z topologii przepływów RG. Szczególnie istotna jest identyfikacja stałych punktów ewolucji grupy renormalizacji. W pobliżu stałych punktów przepływ działających sprzęgieł skutecznie zatrzymuje się, a funkcje - RG ${\ displaystyle \ beta}$ zbliżają się do zera. Obecność (częściowo) stabilnych punktów stałych w podczerwieni jest ściśle związana z koncepcją uniwersalności . Uniwersalność przejawia się w obserwacji, że niektóre bardzo różne systemy fizyczne mają takie samo krytyczne zachowanie. Na przykład, z dobrą dokładnością, krytyczne wykładniki przejścia fazowego ciecz-gaz w wodzie i ferromagnetycznego przejścia fazowego w magnesach są takie same. W języku grupy renormalizacji różne systemy z tej samej klasy uniwersalności płyną do tego samego (częściowo) stabilnego punktu stałego w podczerwieni. W ten sposób makrofizyka uniezależnia się od mikroskopijnych szczegółów konkretnego modelu fizycznego.
• W porównaniu z teorią zaburzeń , renormalizacja funkcjonalna nie wprowadza ścisłego rozróżnienia między sprzężeniami renormalizowalnymi i nierenormalizowalnymi. Wszystkie działające sprzężenia, na które pozwalają symetrie problemu, są generowane podczas przepływu FRG. Jednak sprzężenia nierenormalizowalne bardzo szybko zbliżają się do częściowych punktów stałych podczas ewolucji w kierunku podczerwieni, a zatem przepływ skutecznie załamuje się na hiperpowierzchni o wymiarze określonym przez liczbę sprzężeń renormalizowalnych. Uwzględnienie sprzężeń nierenormalizowalnych pozwala badać cechy nieuniwersalne, które są wrażliwe na konkretny wybór działania mikroskopowego ${\ displaystyle S}$ i skończone odcięcie ultrafioletu ${\ displaystyle \ Lambda}$ .
• Równanie Wettericha można otrzymać z transformacji Legendre'a równania funkcyjnego Polchinskiego, wyprowadzonego przez Josepha Polchinskiego w 1984 roku. Koncepcja efektywnego działania średniego, stosowana w RFN, jest jednak bardziej intuicyjna niż płynna akcja w równaniu Polchinskiego . Ponadto metoda FRG okazała się bardziej odpowiednia do obliczeń praktycznych.
• Zazwyczaj fizykę niskoenergetyczną układów silnie oddziałujących opisują makroskopowe stopnie swobody (tj. wzbudzenia cząstek), które bardzo różnią się od mikroskopijnych wysokoenergetycznych stopni swobody. Na przykład chromodynamika kwantowa jest teorią pola oddziałujących kwarków i gluonów. Jednak przy niskich energiach właściwymi stopniami swobody są bariony i mezony. Innym przykładem jest problem skrzyżowania BEC/BCS w fizyce materii skondensowanej . Podczas gdy teoria mikroskopowa jest zdefiniowana w kategoriach dwuskładnikowych nierelatywistycznych fermionów, przy niskich energiach dimer kompozytowy (cząstka-cząstka) staje się dodatkowym stopniem swobody i wskazane jest wyraźne włączenie go do modelu. Niskoenergetyczne złożone stopnie swobody można wprowadzić do opisu metodą częściowej bozonizacji ( transformacja Hubbarda-Stratonowicza ). Ta transformacja jest jednak wykonywana raz na zawsze w skali UV ${\ displaystyle \ Lambda}$ . W RFN wprowadzono skuteczniejszy sposób włączania makroskopowych stopni swobody, znany jako płynna bozonizacja lub rebozonizacja. Za pomocą transformacji pola zależnej od skali pozwala to na ciągłe wykonywanie transformacji Hubbarda-Stratonowicza we wszystkich skalach RG ${\ displaystyle k}$ .

Funkcjonalna grupa renormalizacji dla efektywnej interakcji uporządkowanej przez Wicka

W przeciwieństwie do równania przepływu dla skutecznego działania, schemat ten jest sformułowany dla efektywnego oddziaływania

${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} [\ eta, \ eta ^ {+ }]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}}$

cząstek , amputowane przez nagie $;$${\ Displaystyle Z [\ eta, \ eta ^ {+}]}$ jest „standardowym” generującym funkcjonałem dla n-cząstkowych funkcji Greena.

Porządek Wick'a efektywnej interakcji w odniesieniu do funkcji Greena można zdefiniować jako ${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} [\ eta, \ eta ^ {+}] = \ exp (- \ Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta,\eta ^{+}]}$ .

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta = D \ delta ^ {2} / (\ delta \ eta \ delta \ eta ^ {+})}$ jest Laplace'em w przestrzeni pola . Ta operacja jest podobna do porządku normalnego i wyklucza z interakcji wszystkie możliwe terminy, utworzone przez splot pól źródłowych z odpowiednią funkcją Greena D. Wprowadzenie pewnego odcięcia równania Polchinskii ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ Lambda}} {{V} _ {\ Lambda}} (\ psi) = - {{\ kropka {\ Delta}} _ {G_ {0, \ Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{ \Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}}$

przybiera postać równania uporządkowanego przez Wicka

${\ Displaystyle {\ częściowe _ {\ Lambda}} {{\ mathcal {W}} _ {\ Lambda}} = - {\ Delta _ {{{\ kropka {D}} _ {\ Lambda}} + {{ \dot {G}}_{0,\Lambda}}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda}}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda}}^{12} }}\Delta _{{\kropka {G}}_{0,\Lambda}}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda}^{(1)}{\mathcal {W}} _{\Lambda}^{(2)}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Delta _ {{\ kropka {G}} _ {0, \ Lambda}} ^ {12} {\ mathcal {V}} _ {\ Lambda} ^ {(1)} {\ mathcal {V} }_{\Lambda}^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda}}(\psi)}{\ delta \psi }},{{\kropka {G}}_{0,\Lambda}}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda}}(\psi)}{\delta \psi}} }\Prawidłowy)}$

Aplikacje

Metodę zastosowano do wielu problemów fizyki, np.:

• W statystycznej teorii pola $FRG$$-symetrycznych$ obrazu przejść fazowych w klasycznych liniowych skalarnych w różnych wymiarach $wykładniki$ krytyczne dla i przejście fazowe Berezinskii – Kosterlitz – Thouless dla ${\ Displaystyle d = 2}$ , ${\ Displaystyle N = 2}$ .
• W kwantowej teorii pola cechowania FRG wykorzystano na przykład do zbadania chiralnego przejścia fazowego i właściwości w podczerwieni QCD i jego rozszerzeń o dużym smaku.
• W fizyce materii skondensowanej metoda okazała się skuteczna w leczeniu modeli sieciowych (np. modelu Hubbarda lub sfrustrowanych układów magnetycznych), odpychającego gazu Bosego, skrzyżowania BEC/BCS dla dwuskładnikowego gazu Fermiego, efektu Kondo , układów nieuporządkowanych i zjawisk nierównowagowych.
• Zastosowanie FRG do grawitacji dostarczyło argumentów przemawiających za nieperturbacyjną renormalizowalnością grawitacji kwantowej w czterech wymiarach czasoprzestrzennych, co jest znane jako asymptotyczny scenariusz bezpieczeństwa .
• W fizyce matematycznej FRG użyto do udowodnienia renormalizowalności różnych teorii pola.

Zobacz też

• Grupa renormalizacji
• Renormalizacja
• Zjawiska krytyczne
• Niezmienność skali
• Bezpieczeństwo asymptotyczne w grawitacji kwantowej

Dokumenty tożsamości

•   Wetterich, C. (1993), „Dokładne równanie ewolucji efektywnego potencjału”, Phys. Łotysz. B , 301 (1): 90, arXiv : 1710.05815 , Bibcode : 1993PhLB..301...90W , doi : 10.1016/0370-2693(93)90726-X , S2CID 119536989
•   Morris, TR (1994), „Grupa renormalizacji dokładnej i rozwiązania przybliżone”, Int. J. mod. fizyka A , A (14): 2411–2449, arXiv : hep-ph/9308265 , Bibcode : 1994IJMPA...9.2411M , doi : 10.1142/S0217751X94000972 , S2CID 15749927
• Polchinski, J. (1984), "Renormalizacja i efektywne Lagrange'y", Nucl. fizyka B , 231 (2): 269, Bibcode : 1984NuPhB.231..269P , doi : 10.1016/0550-3213(84)90287-6

•    Reuter, M. (1998), „Nieperturbacyjne równanie ewolucji grawitacji kwantowej”, Phys. D , 57 (2): 971–985, arXiv : hep-th/9605030 , Bibcode : 1998PhRvD..57..971R , CiteSeerX 10.1.1.263.3439 , doi : 10.1103/PhysRevD.57.971 , S2CID 119 454616

Recenzje pedagogiczne

•   J. Bergesa; N. Tetradis; C. Wetterich (2002), „Nieperturbacyjny przepływ renormalizacji w kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej”, Phys. Rep. , 363 (4–6): 223–386, arXiv : hep-ph/0005122 , Bibcode : 2002PhR...363..223B , doi : 10.1016/S0370-1573(01)00098-9 , S2CID 119033356

• J Polonyi, Janos (2003), „Wykłady z metody grupowej renormalizacji funkcjonalnej”, Cent. Eur. J. Fiz. , 1 (1): 1–71,   arXiv : hep-th/0110026 , Bibcode : 2003CEJPh...1....1P , doi : 10.2478/BF02475552 , S2CID 53407529

• H.Gies (2006). „Wprowadzenie do funkcjonalnego RG i zastosowań w teoriach cechowania”. Grupa renormalizacji i podejścia efektywnej teorii pola do systemów wielociałowych . Notatki z wykładów z fizyki . Tom. 852. s. 287–348. arXiv : hep-ph/0611146 . doi : 10.1007/978-3-642-27320-9_6 .    ISBN 978-3-642-27319-3 . S2CID 15127186 .

•    B. Delamotte (2007). „Wprowadzenie do nieperturbacyjnej grupy renormalizacji”. Grupa renormalizacji i podejścia efektywnej teorii pola do systemów wielociałowych . Notatki z wykładów z fizyki . Tom. 852. s. 49–132. arXiv : cond-mat/0702365 . doi : 10.1007/978-3-642-27320-9_2 . ISBN 978-3-642-27319-3 . S2CID 34308305 .

• Salmhofer, Manfred; Honerkamp, ​​Carsten (2001), „Przepływy grup renormalizacji fermionowej: technika i teoria”, Prog. Teoria. fizyka , 105 (1): 1, Bibcode : 2001PThPh.105....1S , doi : 10.1143/PTP.105.1

• M. Reuter i F. Saueressig; Franka Saueressiga (2007). „Równania grupy renormalizacji funkcjonalnej, bezpieczeństwo asymptotyczne i kwantowa grawitacja Einsteina”. arXiv : 0708.1317 [ hep-th ].