Bezpieczeństwo asymptotyczne w grawitacji kwantowej

Bezpieczeństwo asymptotyczne (czasami określane również jako nieperturbacyjna renormalizowalność ) to koncepcja kwantowej teorii pola , której celem jest znalezienie spójnej i predykcyjnej kwantowej teorii pola grawitacyjnego . Jego kluczowym składnikiem jest nietrywialny stały punkt przepływu grupy renormalizacji teorii , który kontroluje zachowanie stałych sprzężenia w reżimie ultrafioletowym (UV) i zabezpiecza wielkości fizyczne przed rozbieżnościami. Chociaż pierwotnie zaproponowany przez Stevena Weinberga w celu znalezienia teorii kwantowej grawitacji , idea nietrywialnego punktu stałego zapewniającego możliwe uzupełnienie UV może być zastosowana również do innych teorii pola, w szczególności do teorii perturbacyjnych nierenormalizowalnych . Pod tym względem przypomina trywialność kwantową .

Istotą bezpieczeństwa asymptotycznego jest spostrzeżenie, że nietrywialne punkty stałe grupy renormalizacji mogą być użyte do uogólnienia procedury perturbacyjnej renormalizacji . W asymptotycznie bezpiecznej teorii sprzężenia nie muszą być małe lub dążyć do zera w górnej granicy energii, ale raczej do wartości skończonych: zbliżają się do nietrywialnego punktu stałego UV . Przebieg stałych sprzężenia, tj. ich zależności od skali opisanej przez grupę renormalizacji (RG), jest zatem szczególny w swojej granicy UV w tym sensie, że wszystkie ich bezwymiarowe kombinacje pozostają skończone. To wystarczy, aby uniknąć niefizycznych rozbieżności, np. w amplitudach rozpraszania . Wymóg stałego punktu UV ogranicza formę samego działania i wartości gołych stałych sprzężenia, które stają się przewidywaniami asymptotycznego programu bezpieczeństwa, a nie danymi wejściowymi.

Jeśli chodzi o grawitację, standardowa procedura perturbacyjnej renormalizacji zawodzi, ponieważ stała Newtona , odpowiedni parametr rozszerzalności, ma ujemny wymiar masy , co powoduje, że ogólna teoria względności jest perturbacyjna nierenormalizowalna. Doprowadziło to do poszukiwania nieperturbacyjnych ram opisujących grawitację kwantową, w tym bezpieczeństwa asymptotycznego, które – w przeciwieństwie do innych podejść – charakteryzuje się wykorzystaniem metod kwantowej teorii pola, jednak bez zależności od technik perturbacyjnych. W chwili obecnej gromadzi się dowody na istnienie punktu stałego odpowiedniego dla bezpieczeństwa asymptotycznego, podczas gdy wciąż brakuje rygorystycznego dowodu na jego istnienie.

Motywacja

Grawitację na poziomie klasycznym opisują równania pola ogólnej teorii względności Einsteina , ${\ Displaystyle \ textstyle R_ {\ mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\,T_{\mu \nu }}$ . Równania te łączą geometrię $pędu$ w $metryce$ z zawartością zawartą w tensorze Kwantowa natura materii została przetestowana eksperymentalnie, na przykład elektrodynamika kwantowa jest obecnie jedną z najdokładniej potwierdzonych teorii w fizyce. Z tego powodu kwantyzacja grawitacji również wydaje się prawdopodobna. Niestety kwantyzacji nie można przeprowadzić w standardowy sposób (renormalizacja perturbacyjna): Już proste rozważenie liczenia mocy sygnalizuje perturbacyjną brak renormalizacji, ponieważ wymiar masowy stałej Newtona wynosi ${\ displaystyle -2}$ . Problem występuje w następujący sposób. Zgodnie z tradycyjnym punktem widzenia renormalizacja jest realizowana poprzez wprowadzenie przeciwwarunków, które powinny anulować rozbieżne wyrażenia występujące w całekach pętlowych . Jednak stosując tę metodę do grawitacji, kontrwarunki wymagane do wyeliminowania wszystkich rozbieżności mnożą się w nieskończonej liczbie. Ponieważ nieuchronnie prowadzi to do nieskończonej liczby swobodnych parametrów do zmierzenia w eksperymentach, jest mało prawdopodobne, aby program miał moc predykcyjną poza jego wykorzystaniem jako teorii o niskim zużyciu energii .

Okazuje się, że pierwsze rozbieżności w kwantyzacji ogólnej teorii względności, których nie da się konsekwentnie wchłonąć w kontrtermy (tj. bez konieczności wprowadzania nowych parametrów), pojawiają się już na poziomie jednej pętli w obecności pól materii. Na poziomie dwóch pętli problematyczne rozbieżności pojawiają się nawet w czystej grawitacji. Aby przezwyciężyć tę koncepcyjną trudność, konieczne było opracowanie technik nieperturbacyjnych, dostarczających różnych kandydujących teorii grawitacji kwantowej . Przez długi czas dominował pogląd, że sama koncepcja kwantowej teorii pola – choć wybitnie skuteczna w przypadku innych oddziaływań fundamentalnych – jest skazana na niepowodzenie dla grawitacji. Dla kontrastu, idea asymptotycznego bezpieczeństwa zachowuje pola kwantowe jako arenę teoretyczną i zamiast tego porzuca jedynie tradycyjny program perturbacyjnej renormalizacji.

Historia bezpieczeństwa asymptotycznego

Po uświadomieniu sobie perturbacyjnej nierenormalizowalności grawitacji, fizycy próbowali zastosować alternatywne techniki, aby rozwiązać problem dywergencji, na przykład resumowanie lub rozszerzone teorie z odpowiednimi polami materii i symetriami, z których wszystkie mają swoje wady. W 1976 roku Steven Weinberg zaproponował uogólnioną wersję warunku renormalizowalności, opartą na nietrywialnym stałym punkcie podstawowego przepływu grupy renormalizacji (RG) dla grawitacji. Nazywano to bezpieczeństwem asymptotycznym. Pomysł uzupełnienia UV za pomocą nietrywialnego punktu stałego grup renormalizacji został zaproponowany wcześniej przez Kennetha G. Wilsona i Giorgio Parisi w teorii pola skalarnego (patrz także Trywialność kwantowa ). Możliwość zastosowania do perturbacyjnie nierenormalizowalnych teorii została po raz pierwszy wyraźnie wykazana dla nieliniowego modelu sigma i wariantu modelu Grossa – Neveu .

$czasoprzestrzennych$ przeprowadzono w pod koniec lat siedemdziesiątych Dokładnie w dwóch wymiarach istnieje teoria czystej grawitacji, którą można zrenormalizować zgodnie ze starym punktem widzenia. (Aby oddać działanie Einsteina-Hilberta ${\ Displaystyle \ textstyle {1 \ ponad 16 \ pi G} \ int \ operatorname {d} ^ {2} x {\ sqrt { g}} \, R} bezwymiarowa,$ $stała$ Newtona musi mieć wymiar masowy zero.) Dla małych, ale skończonych $nadal$ zaburzeń ma zastosowanie i można rozszerzyć funkcję beta ${\ displaystyle \ beta}$ -funkcja) opisująca przebieg grupy renormalizacji stałej Newtona jako szereg potęgowy w ${\ displaystyle \ epsilon}$ . Rzeczywiście, w tym duchu można było udowodnić, że wyświetla nietrywialny punkt stały.

$jak$ wykonać kontynuację od $wymiarów,$ do opierały się na małości ${\ Displaystyle \ epsilon}$ . Do tego czasu nie było jeszcze dostępnych metod obliczeniowych do leczenia nieperturbacyjnego. Z tego powodu idea asymptotycznego bezpieczeństwa w grawitacji kwantowej została odłożona na kilka lat. Dopiero na początku lat 90. aspekty grawitacji wymiarowej zostały poprawione w różnych pracach, ale nadal nie kontynuowano $.$

Jeśli chodzi o obliczenia wykraczające poza teorię perturbacji, sytuacja poprawiła się wraz z pojawieniem się nowych metod grupy renormalizacji funkcjonalnej , w szczególności tak zwanego efektywnego działania średniego (zależna od skali wersja efektywnego działania ). Wprowadzony w 1993 roku przez Christofa Wettericha i Tima R Morrisa dla teorii skalarnych oraz przez Martina Reutera i Christofa Wettericha dla ogólnych teorii cechowania (na płaskiej przestrzeni euklidesowej), jest podobny do działania Wilsona ( gruboziarnista energia swobodna) i chociaż argumentuje się, że aby różnić się na głębszym poziomie, jest w rzeczywistości powiązany przez transformację Legendre'a. Zależność odcięcia tego funkcjonału jest regulowana równaniem przepływu funkcyjnego, które w przeciwieństwie do wcześniejszych prób można łatwo zastosować również w obecności lokalnych symetrii cechowania.

W 1996 roku Martin Reuter skonstruował podobne skuteczne działanie średnie i związane z nim równanie przepływu dla pola grawitacyjnego. Spełnia wymóg niezależności od tła , jednego z podstawowych założeń grawitacji kwantowej. Prace te można uznać za istotny przełom w asymptotycznych badaniach grawitacji kwantowej związanych z bezpieczeństwem, ponieważ zapewniają one możliwość nieperturbacyjnych obliczeń dla dowolnych wymiarów czasoprzestrzeni. Wykazano, że przynajmniej dla obcięcia Einsteina-Hilberta , najprostszego ansatz dla efektywnej średniej akcji, rzeczywiście występuje nietrywialny punkt stały.

Wyniki te wyznaczają punkt wyjścia dla wielu późniejszych obliczeń. Ponieważ w pionierskiej pracy Martina Reutera nie było jasne, w jakim stopniu ustalenia zależały od rozważanego obcięcia ansatz, następnym oczywistym krokiem było powiększenie obcięcia. Proces ten został zainicjowany przez Roberto Percacciego i współpracowników, zaczynając od włączenia pól materii. Do chwili obecnej wiele różnych prac stale rosnącej społeczności - w tym np. $obciętych$ kwadraty tensorów Weyla - potwierdziły niezależnie, że asymptotyczny scenariusz bezpieczeństwa jest rzeczywiście możliwy nietrywialny punkt stały został pokazany w każdym zbadanym do tej pory obcięciu. Chociaż nadal brakuje ostatecznego dowodu, istnieje coraz więcej dowodów na to, że asymptotyczny program bezpieczeństwa może ostatecznie doprowadzić do spójnej i predykcyjnej kwantowej teorii grawitacji w ogólnych ramach kwantowej teorii pola .

Bezpieczeństwo asymptotyczne: główna idea

Przestrzeń teorii

Trajektorie grupy renormalizacji płyną w przestrzeni teoretycznej, sparametryzowanej przez nieskończenie wiele stałych sprzężenia. Zgodnie z konwencją strzałki pola wektorowego (i ta na zielonej trajektorii) wskazują skale od UV do IR. Zbiór oddziaływań, które leżą wewnątrz przestrzeni teoretycznej i są przyciągane do stałego punktu pod wpływem odwrotnego przepływu RG (tj. biegnące w kierunku przeciwnym do strzałek) jest nazywany powierzchnią krytyczną UV. Asymptotyczna hipoteza bezpieczeństwa głosi, że trajektoria może zostać zrealizowana w Naturze tylko wtedy, gdy jest zawarta w krytycznej powierzchni UV, ponieważ tylko wtedy ma dobrze zachowaną wysoką granicę energii (na przykład trajektorie pomarańczowa, niebieska i magenta). Trajektorie poza tą powierzchnią uciekają z przestrzeni teoretycznej na

.

ponieważ rozwijają niedopuszczalne rozbieżności w UV, przechodząc do niższych skal, zbliżają się do krytycznej powierzchni Sytuację tę reprezentuje zielona trajektoria, która leży nad powierzchnią i oddala się od niej w celu zwiększenia skali RG (przeciwnie do zielonej strzałki).

Asymptotyczny program bezpieczeństwa przyjmuje współczesny wilsonowski punkt widzenia na kwantową teorię pola. Tutaj podstawowymi danymi wejściowymi, które należy ustalić na początku, są, po pierwsze, rodzaje pól kwantowych przenoszących stopnie swobody teorii , a po drugie, leżące u ich podstaw symetrie . Dla każdej rozważanej teorii dane te określają etap, na którym zachodzi dynamika grupy renormalizacji, tzw. przestrzeń teoretyczna. Składa się on ze wszystkich możliwych funkcjonałów akcji w zależności od wybranych pól i z zachowaniem określonych zasad symetrii. Każdy punkt w tej przestrzeni teoretycznej reprezentuje więc jedno możliwe działanie. Często można pomyśleć, że przestrzeń obejmuje wszystkie odpowiednie jednomiany pola. $przestrzeni$ teoretycznej jest liniową kombinacją jednomianów pola, gdzie odpowiednie współczynniki sprzężenia (Tutaj zakłada się, że wszystkie sprzężenia są bezwymiarowe. Sprzężenia zawsze można uczynić bezwymiarowymi przez pomnożenie przez odpowiednią potęgę skali RG).

Przepływ grupy renormalizacji

Grupa renormalizacji (RG) opisuje zmianę układu fizycznego spowodowaną wygładzeniem lub uśrednieniem szczegółów mikroskopowych przy przejściu do niższej rozdzielczości. Wprowadza to do gry pojęcie zależności skali dla interesujących nas funkcjonałów działania. Nieskończenie małe transformacje RG odwzorowują działania na pobliskie, dając w ten sposób pole wektorowe w przestrzeni teoretycznej. Zależność działania od skali jest zakodowana w „biegu” stałych sprzężenia parametryzujących to działanie, ${\ Displaystyle \ {g_ {\ alfa} \} \ równoważnik \ {g_ {\ alfa} (k) \}}$ ze skalą RG ${\ displaystyle k}$ . Daje to początek trajektorii w przestrzeni teoretycznej (trajektoria RG), opisującej ewolucję funkcjonału działania względem skali. To, która ze wszystkich możliwych trajektorii jest realizowana w Naturze, trzeba określić pomiarami.

Biorąc limit UV

sprowadza się do znalezienia trajektorii RG, która jest nieskończenie rozciągnięta w tym sensie, że funkcjonał działania opisany przez { sol $Displaystyle \ {g _ {\ alfa} (k) \}}$ dobrze wychowany dla wszystkich wartości parametru skali pędu , w tym granicy podczerwieni $∞$ $\ rightarrow \ infty }$ $→$ { . Bezpieczeństwo asymptotyczne jest sposobem radzenia sobie z tą ostatnią granicą. Jego podstawowym wymogiem jest istnienie stałego punktu przepływu RG. Z definicji jest to punkt $sprzężeń ,$ zero wszystkich funkcje beta : ${\ Displaystyle \ beta _ {\ gamma} (\ {g_ {\ alfa} ^ {*} \}) = 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ gamma }$ . Ponadto ten stały punkt musi mieć co najmniej jeden kierunek przyciągający promieniowanie UV. Zapewnia to, że istnieje jedna lub więcej trajektorii RG, które biegną do stałego punktu w celu zwiększenia skali. Zbiór wszystkich punktów w przestrzeni teoretycznej, które są „przyciągane” do punktu stałego UV poprzez przejście do większej skali, nazywany jest powierzchnią krytyczną UV . Zatem powierzchnia krytyczna UV składa się ze wszystkich trajektorii, które są bezpieczne przed rozbieżnościami UV w tym sensie, że wszystkie sprzężenia zbliżają się do skończonych wartości punktów stałych jako ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ . Kluczowa hipoteza leżąca u podstaw bezpieczeństwa asymptotycznego głosi, że tylko trajektorie biegnące całkowicie w obrębie krytycznej powierzchni UV odpowiedniego punktu stałego mogą być rozciągane w nieskończoność, a tym samym definiować podstawową kwantową teorię pola. Jest oczywiste, że takie trajektorie zachowują się dobrze w granicy UV, ponieważ istnienie stałego punktu pozwala im „pozostać w punkcie” przez nieskończenie długi „czas” RG.

W odniesieniu do punktu stałego kierunki przyciągające promieniowanie UV nazywane są istotnymi, odpychające promieniowanie UV nieistotne, ponieważ odpowiadające im pola skalowania odpowiednio rosną i maleją, gdy skala jest zmniejszana. Dlatego wymiarowość powierzchni krytycznej UV jest równa liczbie odpowiednich sprzężeń. Asymptotycznie bezpieczna teoria jest zatem tym bardziej przewidywalna, im mniejsza jest wymiarowość odpowiedniej krytycznej powierzchni UV.

Na przykład, jeśli powierzchnia krytyczna UV ma skończony wymiar $wystarczy$ wykonać tylko $.$ , aby jednoznacznie zidentyfikować trajektorię RG Natury Po $zmierzeniu$ sprzężeń wymóg asymptotycznego bezpieczeństwa ustala wszystkie inne sprzężenia, ponieważ te ostatnie muszą być wyregulowane w taki sposób, aby trajektoria RG leżała w krytycznej powierzchni UV. W tym duchu teoria jest wysoce predykcyjna, ponieważ nieskończenie wiele parametrów jest ustalanych przez skończoną liczbę pomiarów.

W przeciwieństwie do innych podejść, nagie działanie, które powinno być promowane do teorii kwantowej, nie jest tutaj potrzebne jako wkład. To przestrzeń teoretyczna i równania przepływu RG określają możliwe punkty stałe UV. Ponieważ z kolei taki stały punkt odpowiada działaniu nagiemu, działanie nagie można uznać za predykcję w asymptotycznym programie bezpieczeństwa. Można to traktować jako systematyczną strategię wyszukiwania wśród teorii, które już są „kwantowe”, która identyfikuje „wyspy” fizycznie akceptowalnych teorii w „morzu” nieakceptowalnych teorii, nękanych przez osobliwości na krótkich odległościach.

Stałe punkty gaussowskie i niegaussowskie

Punkt stały nazywany jest Gaussem , jeśli odpowiada teorii swobodnej. Jego wykładniki krytyczne zgadzają się z kanonicznymi wymiarami masy odpowiednich operatorów, co zwykle sprowadza się do trywialnych wartości punktu stałego $dla$ wszystkich istotnych sprzężeń $g_{\alfa}}$ $_ {\ alfa} ^ {*} = 0}$ . Zatem standardowa teoria zaburzeń ma zastosowanie tylko w pobliżu stałego punktu Gaussa. Pod tym względem asymptotyczne bezpieczeństwo w punkcie stałym Gaussa jest równoważne perturbacyjnej renormalizowalności plus asymptotyczna swoboda . Jednak ze względu na argumenty przedstawione we wstępie taka możliwość jest wykluczona ze względu na wagę.

Natomiast nietrywialny punkt stały, to znaczy punkt stały, którego wykładniki krytyczne różnią się od wykładników kanonicznych, nazywany jest niegaussowskim . Zwykle wymaga to co najmniej jednego podstawowego $alfa} ^ {*} \ neq 0$ $_ {\$ . Jest to taki nie-gaussowski punkt stały, który zapewnia możliwy scenariusz kwantowej grawitacji. Dotychczasowe badania na ten temat koncentrowały się więc głównie na ustaleniu jego istnienia.

Kwantowa grawitacja Einsteina (QEG)

Quantum Einstein Gravity (QEG) to ogólna nazwa dowolnej kwantowej teorii pola grawitacyjnego, która (niezależnie od jej samego działania ) przyjmuje metrykę czasoprzestrzeni jako dynamiczną zmienną pola i której symetrię określa niezmienność dyfeomorfizmu . To ustala przestrzeń teorii i przepływ RG efektywnego średniego działania zdefiniowanego na niej, ale nie wyróżnia a priori żadnego konkretnego funkcjonału działania. Jednak równanie przepływu określa pole wektorowe w tej przestrzeni teoretycznej, które można zbadać. Jeśli wyświetla niegaussowski stały punkt, za pomocą którego można przyjąć granicę UV w sposób „asymptotycznie bezpieczny”, punkt ten uzyskuje status samego działania.

Wdrażanie poprzez efektywną akcję średnią

Dokładne równanie grupy renormalizacji funkcjonalnej

Podstawowym narzędziem do badania grawitacyjnego $RG$ w odniesieniu do skali energii na poziomie $nieperturbacyjnym$ jest efektywne średnie . Jest to zależna od skali wersja skutecznego działania , w której w leżącym u podstaw funkcjonalnym polu integralnym mody z kowariantnymi pędami poniżej $są$ tłumione, podczas gdy tylko pozostałe są integrowane Dla danej przestrzeni teoretycznej $.$ $odpowiednio$ oznaczają zbiór pól dynamicznych i Wtedy spełnia następujące funkcjonalne równanie RG typu Wettericha-Morrisa (FRGE): ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} }$

{\ Displaystyle k \ częściowe _ {k} \ Gamma _ {k} {\ duży [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} {\ duży ]} = {\ Frac {1} {2}} \, {\mbox{STR}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi}}{\big ]} +{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi}}]{\big )}^{-1}k\częściowe _{k}{\mathcal {R}}_{k} [{\bar {\Fi}}]{\Duży ]}.}

Tutaj jest drugą funkcjonalną pochodną Γ $\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {(2)}}$ w odniesieniu do pól kwantowych $\ Gamma _ {k}}$ $\ Phi}$ $Displaystyle$ na stałe ${\ Displaystyle {\ bar {\ Phi}}}$ . Operator $masowy$ $.$ zależny _ z kowariantnym pędem $p ^ {2} \ gg k ^$ znika dla ${$ \ Jego pojawienie się w liczniku i mianowniku sprawia, że superśledzenie zarówno podczerwieni, jak i UV jest skończone, osiągając szczyt w momencie $p$ $k^{2}}$ $\ Displaystyle p ^ {2}$ . FRGE jest dokładnym równaniem bez perturbacyjnych przybliżeń. $pod uwagę$ określa jednoznacznie dla wszystkich skal.

Rozwiązania $k$ interpolują między nagim (mikroskopowym) działaniem przy ${\ Displaystyle \ Gamma [\ Phi] = \ Gamma _ {k = 0} {\ duży [} \ Phi, {\ bar {\ Phi}} = \ Phi {\ duży ]} }$ $Displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ a efektywnym działaniem w ${\ displaystyle k \ rightarrow 0}$ . Można je wizualizować jako trajektorie w podstawowej przestrzeni teoretycznej . Zauważ, że samo FRGE jest niezależne od samego działania. $jest$ przypadku asymptotycznie bezpiecznej teorii, samo stałego

Skrócenia przestrzeni teorii

Załóżmy, że istnieje zbiór podstawowych funkcjonałów $obejmujący$ przestrzeń teorii , tj. dowolny punkt tej przestrzeni teoretycznej można zapisać jako liniową kombinację ' s . ${\ displaystyle P _ {\ alpha}}$ Wtedy rozwiązania FRGE mają rozwinięcia postaci ${k}}$ _

{\ Displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] = \ suma \ limity _ {\ alfa = 1} ^ {\ infty} g_ {\ alfa} (k) P_ {\ alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi}}].}

Wstawiając to rozwinięcie do FRGE i rozwijając ślad po jego prawej stronie w celu wyodrębnienia funkcji beta , otrzymujemy dokładne równanie RG w postaci składowej: ${\ Displaystyle k \ częściowe _ {k} g _ {\ alfa} (k) = \ beta _ {\ alfa} (g_ {1}, g_ {2}, \ cdots)}$ . $równania$ $te$ ustalają ewolucję działających sprzężeń a . Jak widać, FRGE $daje$ początek układowi nieskończenie wielu sprzężonych równań różniczkowych, ponieważ istnieje nieskończenie wiele sprzężeń, a mogą zależeć od nich wszystkich. To sprawia, że bardzo trudno jest ogólnie rozwiązać system.

Możliwym wyjściem jest ograniczenie analizy do skończenie wymiarowej podprzestrzeni jako przybliżenia pełnej przestrzeni teoretycznej. Innymi słowy, takie obcięcie przestrzeni teorii ustawia wszystkie sprzężenia oprócz skończonej liczby na zero, biorąc pod uwagę tylko zredukowaną podstawę ${\ Displaystyle \ {P_ {\ alfa} [\, \ cdot \ ,] \}}$ z ${\ Displaystyle \ alpha = 1, \ cdots, N}$ . To oznacza ansatz

{\ Displaystyle \ Gamma _ {k} [\ Phi, {\ bar {\ Phi}}] =\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha}(k)P_{\alpha}[\Fi ,{\bar {\Fi }}],}

$\ częściowe _ {k} g _ {\ alfa} (k) = \beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}$ ∂ , które można teraz rozwiązać za pomocą technik analitycznych lub numerycznych.

Oczywiście obcięcie powinno być tak dobrane, aby obejmowało jak najwięcej cech dokładnego przepływu. Chociaż jest to przybliżenie, okrojony przepływ nadal wykazuje nieperturbacyjny charakter FRGE, a -funkcje $.$ zawierać udziały ze wszystkich mocy sprzężeń

Dowody na asymptotyczne bezpieczeństwo z obciętych równań przepływu

QEG dla obcięcia Einsteina-Hilberta. Strzałki wskazują skale od UV do IR. Ciemny kolor tła wskazuje obszar szybkiego przepływu, w obszarach jasnego tła przepływ jest wolny lub nawet zerowy. Ten ostatni przypadek obejmuje odpowiednio okolice stałego punktu Gaussa w początku i NGFP w środku spiralnych strzałek. Trajektoria skrzyżowania styczna do zielonych strzałek łączy niegaussowski punkt stały z gaussowskim punktem stałym i pełni rolę separatora .

Obcięcie Einsteina-Hilberta

Jak opisano w poprzedniej sekcji, FRGE nadaje się do systematycznej konstrukcji nieperturbacyjnych przybliżeń grawitacyjnych funkcji beta poprzez rzutowanie dokładnego przepływu RG na podprzestrzenie rozpięte przez odpowiedni ansatz dla ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$ . W najprostszej postaci $Displaystyle$ ansatz jest dawany przez działanie Einsteina-Hilberta, w którym stała Newtona i stała kosmologiczna zależą od skali RG . $\ Lambda _ {k}}$ ${\ displaystyle k}$ . Niech ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ i ${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ mu \ nu}}$ oznaczają odpowiednio metrykę dynamiczną i tło Następnie czytamy , $\$ dla dowolnego wymiaru czasoprzestrzennego $displaystyle d}$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {k} [g, {\ bar {g}}, \ xi, {\ bar {\ xi}}] = {\ Frac {1} {16 \ pi G_ {k}}} \ int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\ xi, {\ bar {\ xi}}].}

Portret fazowy dla obcięcia Einsteina-Hilberta. Pokazane są trajektorie RG odpowiadające schematowi blokowemu po lewej stronie. (Pierwszy uzyskany w Ref.)

Tutaj $sol$ skalarną krzywizną zbudowaną z metryki $\ mu \ nu}$ . Ponadto ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ tekst {gf}}}$ oznacza działanie ustalające miernika i ${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {\ tekst {gh}} }$ akcja ducha z polami duchów i $displaystyle {\ bar {\ xi$ $}}$ .

Odpowiednie funkcje opisujące ewolucję bezwymiarowej stałej Newtona $=$ ${\ Displaystyle g_ {k} = k ^ {d-2} G_ {k$ i bezwymiarowa stała kosmologiczna $po$ raz pierwszy $czasoprzestrzenny$ $wymiarów$ w tym przypadki poniżej i powyżej . W szczególności w $RG$ po lewej stronie Najważniejszym wynikiem jest istnienie niegaussowskiego stałego punktu odpowiedniego dla bezpieczeństwa asymptotycznego. Jest atrakcyjny dla $promieniowania UV zarówno$ -, jak $iw$ .

Ten stały punkt jest powiązany z punktem znalezionym w $wymiarach metodami perturbacyjnymi$ $2$ tym sensie, że jest odzyskiwany w przedstawionym tutaj $\epsilon}$ + na $.$ i rozwijanie potęg $\epsilon$ Ponieważ wykazano $,$ że -funkcje istnieją i jawnie obliczono dla dowolnej rzeczywistej, tj. niekoniecznie całkowitej wartości $,$ ma tu żadnej analitycznej kontynuacji Stały punkt w $\$ również jest bezpośrednim wynikiem nieperturbacyjnych równań przepływu i, w przeciwieństwie do wcześniejszych prób, nie jest wymagana żadna ekstrapolacja w { $epsilon}$

Rozszerzone obcięcia

potwierdzono istnienie punktu stałego znalezionego w obcięciu Einsteina – Hilberta w podprzestrzeniach o sukcesywnie rosnącej złożoności. Następnym krokiem w tym rozwoju $skróconego$ włączenie -terminu ansatz. Zostało to dalej rozszerzone, biorąc pod uwagę wielomiany skalarnej krzywizny $($ $-obcięcia$ ) tensora Weyla . W szczególności wykazano, że rozszerzenie ogólnej teorii względności uzyskane przez dodanie wszystkich lokalnych wyrazów kwadratu w krzywiźnie do Lagrange'a Einsteina-Hilberta, czyli grawitacji kwadratowej, oprócz tego, że można go renormalizować, ma również punkt stały UV (nawet w obecności realistyczne sektory materii). Również teorie f(R) zostały zbadane w Lokalnym Przybliżeniu Potencjału, znajdując nieperturbacyjne punkty stałe na poparcie scenariusza bezpieczeństwa asymptotycznego, co prowadzi do tak zwanego punktu stałego Benedettiego – Caravellego (BC). W takim sformułowaniu BC równanie różniczkowe dla skalarnego Ricciego R jest nadmiernie ograniczone, ale niektóre z tych ograniczeń można usunąć poprzez rozdzielczość ruchomych osobliwości.

Ponadto zbadano wpływ różnego rodzaju pól materii. Również obliczenia oparte na niezmienniczej efektywnej średniej akcji reparametryzacji pola wydają się odzyskiwać kluczowy stały punkt. W połączeniu wyniki te stanowią mocny dowód na to, że grawitacja w czterech wymiarach jest kwantową teorią pola, która nie podlega renormalizacji w sposób nieperturbacyjny, w rzeczywistości z krytyczną powierzchnią UV o zmniejszonej wymiarowości, skoordynowaną tylko przez kilka odpowiednich sprzężeń.

Mikroskopijna struktura czasoprzestrzeni

, że efektywne czasoprzestrzenie QEG mają właściwości podobne do fraktali w skali mikroskopowej. Można np. określić ich wymiar widmowy i argumentować, że ulegają one redukcji wymiarowej z 4 wymiarów przy odległościach makroskopowych do 2 wymiarów mikroskopowych. W tym kontekście możliwe byłoby nawiązanie połączenia z innymi podejściami do grawitacji kwantowej, np. przyczynowymi triangulacjami dynamicznymi i porównanie wyników.

Zastosowania fizyczne asymptotycznie bezpiecznej grawitacji

Fenomenologiczne konsekwencje asymptotycznego scenariusza bezpieczeństwa były badane w wielu dziedzinach fizyki grawitacyjnej. Na przykład bezpieczeństwo asymptotyczne w połączeniu z Modelem Standardowym pozwala na stwierdzenie masy bozonu Higgsa i wartości stałej struktury subtelnej . Ponadto dostarcza możliwych wyjaśnień dla poszczególnych zjawisk w kosmologii i astrofizyce , na przykład dotyczących czarnych dziur lub inflacji . Te różne badania wykorzystują możliwość, że wymóg bezpieczeństwa asymptotycznego może prowadzić do nowych prognoz i wniosków dla rozważanych modeli, często bez polegania na dodatkowych, być może nieobserwowanych założeniach.

Krytyka bezpieczeństwa asymptotycznego

Niektórzy badacze argumentowali, że obecne implementacje asymptotycznego programu bezpieczeństwa dla grawitacji mają cechy niefizyczne, takie jak działanie stałej Newtona. Inni argumentowali, że sama koncepcja bezpieczeństwa asymptotycznego jest myląca, ponieważ sugeruje nową cechę w porównaniu z paradygmatem Wilsona RG, podczas gdy jej nie ma (przynajmniej w kontekście kwantowej teorii pola, gdzie ten termin jest również używany).

Zobacz też

Dalsza lektura

Niedermaier, Max; Reutera, Martina (2006). „Asymptotyczny scenariusz bezpieczeństwa w grawitacji kwantowej” . Żyjący ks. Relativ . 9 (1): 5. Bibcode : 2006LRR.....9....5N . doi : 10.12942/lrr-2006-5 . PMC 5256001 . PMID 28179875 .
Percacci, Roberto (2009). „Bezpieczeństwo asymptotyczne”. W Oriti, D. (red.). Podejścia do grawitacji kwantowej: w kierunku nowego zrozumienia przestrzeni, czasu i materii . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ar Xiv : 0709.3851 . Bibcode : 2007arXiv0709.3851P .
Berges, Jürgen; Tetradis, Nikolaos; Wetterich, Christof (2002). „Nieperturbacyjny przepływ renormalizacji w kwantowej teorii pola i fizyce statystycznej”. Raporty fizyczne . 363 (4–6): 223–386. arXiv : hep-ph/0005122 . Bibcode : 2002PhR...363..223B . doi : 10.1016/S0370-1573(01)00098-9 . S2CID 119033356 .
Reuter, Marcin; Saueressig, Frank (2012). „Kwantowa grawitacja Einsteina”. Nowy J. Phys . 14 (5): 055022. arXiv : 1202.2274 . Bibcode : 2012NJPh...14e5022R . doi : 10.1088/1367-2630/14/5/055022 . S2CID 119205964 .
Bonanno, Alfio; Saueressig, Frank (2017). „Asymptotycznie bezpieczna kosmologia - raport o stanie”. Comptes Rendus Physique . 18 (3–4): 254. arXiv : 1702.04137 . Bibcode : 2017CRPhy..18..254B . doi : 10.1016/j.crhy.2017.02.002 . S2CID 119045691 .
Litim, Daniel (2011). „Grupa renormalizacji i skala Plancka”. Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego A. 69 (1946): 2759–2778. ar Xiv : 1102.4624 . Bibcode : 2011RSPTA.369.2759L . doi : 10.1098/rsta.2011.0103 . PMID 21646277 . S2CID 8888965 .
Nagy, Sandor (2012). „Wykłady z renormalizacji i bezpieczeństwa asymptotycznego”. Roczniki fizyki . 350 : 310–346. ar Xiv : 1211.4151 . Bibcode : 2014AnPhy.350..310N . doi : 10.1016/j.aop.2014.07.027 . S2CID 119183995 .

Linki zewnętrzne

Często zadawane pytania dotyczące bezpieczeństwa asymptotycznego — zbiór pytań i odpowiedzi dotyczących bezpieczeństwa asymptotycznego oraz obszerna lista odniesień.
Bezpieczeństwo asymptotyczne w grawitacji kwantowej — artykuł w Scholarpedii na ten sam temat, zawierający więcej szczegółów na temat grawitacyjnego efektywnego średniego działania.
Kwantowa teoria pól: skuteczna czy fundamentalna? – Przemówienie Stevena Weinberga w CERN 7 lipca 2009 r.
Asymptotic Safety - 30 Years Later – Wszystkie referaty warsztatów, które odbyły się w Instytucie Perimeter w dniach 5-8 listopada 2009 r.
Cztery radykalne drogi do teorii wszystkiego – artykuł Amandy Gefter na temat grawitacji kwantowej, opublikowany w 2008 r. w New Scientist (Physics & Math).
„Weinberg„ Życie z nieskończonościami ”- wykład Källéna 2009” . YouTube . Andrea Idini. 14 stycznia 2022 r. (Od 1:11:28 do 1:18:10 na filmie Weinberg krótko omawia bezpieczeństwo asymptotyczne. Zobacz także odpowiedź Weinberga na pytanie Cecilii Jarlskog na końcu wykładu. The 2009 Wykład Källéna został nagrany 13 lutego 2009 r.)