f ( R ) grawitacja

f ( R ) jest rodzajem zmodyfikowanej teorii grawitacji, która uogólnia ogólną teorię względności Einsteina . grawitacja f ( R ) jest w rzeczywistości rodziną teorii, z których każda jest zdefiniowana przez inną funkcję f skalara Ricciego R . Najprostszym przypadkiem jest po prostu funkcja równa skalarowi; to jest ogólna teoria względności. Konsekwencją wprowadzenia dowolnej funkcji może być dowolność wyjaśnienia przyspieszonej ekspansji i formowania się struktury Wszechświata bez dodawania nieznanych form ciemnej energii lub ciemnej materii . Niektóre formy funkcjonalne mogą być inspirowane poprawkami wynikającymi z kwantowej teorii grawitacji . grawitacja f ( R ) została po raz pierwszy zaproponowana w 1970 r. przez Hansa Adolpha Buchdahla (chociaż φ zamiast f zostało użyte jako nazwa dowolnej funkcji). Stało się aktywnym polem badań po pracy Starobinsky'ego nad kosmiczną inflacją . Z tej teorii można wytworzyć szeroki zakres zjawisk, przyjmując różne funkcje; jednak wiele form funkcjonalnych można obecnie wykluczyć na podstawie obserwacji lub z powodu patologicznych problemów teoretycznych.

Wstęp

W grawitacji f ( R ) dąży się do uogólnienia Lagrange'a działania Einsteina -Hilberta :

$${\ Displaystyle S [g] = \ int {1 \ ponad 2 \ kappa} R {\ sqrt {-g}} \, \ operatorname {d} ^ {4}x}$$

Do

$${\ Displaystyle S [g] = \ int {1 \ ponad 2 \ kappa} f (R) {\ sqrt {-g}} \, \mathrm {d} ^{4}x}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g_ {\ mu \ nu$$pewną$ wyznacznikiem tensora metrycznego i funkcją skalarną

Istnieją dwa $śledzenia$ wpływu zmiany $Uzyskania$ , tj. teorii Pierwszym jest użycie formalizmu metrycznego , a drugim jest użycie formalizmu Palatiniego . Podczas gdy te dwa formalizmy prowadzą do tych samych równań pola dla ogólnej teorii względności, tj. Gdy równania pola mogą się różnić, gdy $R}$$(R)\neq R}$$\ displaystyle$ .

metryczna f ( R ).

Wyprowadzanie równań pola

W grawitacji metrycznej f ( R ) do równań pola dochodzi się, zmieniając działanie w odniesieniu do metryki i nie traktując związku ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ alfa \ beta} ^ {\ mu}}$ niezależnie. Dla kompletności wymienimy teraz pokrótce podstawowe kroki wariacji akcji. Główne kroki są takie same, jak w przypadku wariacji działania Einsteina-Hilberta (więcej w artykule), ale są też pewne istotne różnice.

Odmiana wyznacznika jest jak zawsze:

$${-g}}$$

Skalar Ricciego jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}$$

Dlatego jego zmienność w odniesieniu do odwrotnej metryki jest określona przez sol $}}$

$$\ Displaystyle {\begin{wyrównane}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_ {\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{wyrównane}}}$$

Drugi krok znajdziesz w artykule o działaniu Einsteina-Hilberta . Ponieważ $.$ różnicą dwóch połączeń, powinna Dlatego można to zapisać jako

$${\ Displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = {\ Frac {1} {2}} g ^ {\ lambda a} \ lewo (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$$

Podstawiając do powyższego równania:

$$R_ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$ jest kowariantną pochodną i ${\ Displaystyle \ kwadrat = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _{\nu }}$ jest operatorem d'Alemberta .

Oznaczając , odmiana akcji brzmi: ${\ Displaystyle F (R) = {\ Frac {df} {dR}}}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta S [g] & = \ int {\ Frac {1} {2 \$$

Wykonując całkowanie przez części na drugim i trzecim wyrazie (pomijając składki brzegowe), otrzymujemy:

$${\ Displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ Frac {1} {2 \ kappa}}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ lewo (F (R) R_ {\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _ {\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Wymagając, aby działanie pozostało niezmienne przy zmianach metryki, otrzymuje się ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}$ równania pola:

$$\ Displaystyle F (R) R_ {\ mu \nu }-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu \nu }+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{ \nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$

gdzie jest tensorem energii i pędu zdefiniowanym jako ${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

$${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ Frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ Frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m}})}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$

gdzie ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}$ to materia Lagrange'a.

Uogólnione równania Friedmanna

Zakładając metrykę Robertsona $kappa = 1}$ Walkera ze współczynnikiem skali, $): za ( t )$ znaleźć uogólnione równania Friedmanna (w jednostkach, w \ :

$${\ Displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rm {m}} + \ rho _ { \rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$$

$${\ Displaystyle -2F {\ kropka {H}} = \ rho _ {\ rm {m}} + {\ Frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle H = {\ Frac {\ kropka {a}} {a}}}$$

jest parametrem Hubble'a , kropka jest pochodną względem czasu kosmicznego t , a wyrażenia ρ _m i ρ _rad reprezentują odpowiednio gęstość materii i promieniowania; spełniają one równania ciągłości :

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {m}} + 3H \ rho _ {\ rm {m}} = 0;}$$

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {rad}} + 4H \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}$$

Zmodyfikowana stała Newtona

Ciekawą cechą tych teorii jest fakt, że stała grawitacji jest zależna od czasu i skali. Aby to zobaczyć, dodaj małe zaburzenie skalarne do metryki (w cechowaniu newtonowskim ):

$${\ Displaystyle \ operatorname {d} s ^ {2} = - ($$

gdzie Φ i Ψ to potencjały Newtona i użyj równań pola do pierwszego rzędu. Po kilku długich obliczeniach można zdefiniować równanie Poissona w przestrzeni Fouriera i przypisać dodatkowe wyrazy, które pojawiają się po prawej stronie, efektywnej stałej grawitacji G _eff . W ten sposób otrzymujemy potencjał grawitacyjny (ważny w skalach podhoryzontowych k ² ≫ a ² H ² ):

$${\ Displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ operatorname {skutek}} {\ Frac {a ^ {2}} {k ^ {2} }}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$$

gdzie δ ρ _m to zaburzenie gęstości materii, k to skala Fouriera, a G _eff to:

$${\ Displaystyle G _ {\ operatorname {eff}} = {\ Frac {1} {8 \ pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2 }R}}m}},}$$

z

$${\ Displaystyle m \ równoważnik {\ Frac {RF_ {R}} {F}}.}$$

Potężne fale grawitacyjne

Ta klasa teorii po zlinearyzowaniu wykazuje trzy tryby polaryzacji fal grawitacyjnych , z których dwa odpowiadają bezmasowemu grawitonowi (helikalność ±2), a trzeci (skalarny) wynika z faktu, że jeśli weźmiemy pod uwagę transformację konforemną, teoria czwartego rzędu f ( R ) staje się ogólną teorią względności plus pole skalarne . Aby to zobaczyć, zidentyfikuj się

$${\ Displaystyle \ Phi \ do f' (R) \ quad {\ textrm {i}} \ quad {\frac {dV}{d\Phi}}\do {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$$

i użyj powyższych równań pola, aby uzyskać

$${\ Displaystyle \ Box \ Phi = {\ Frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} \ Phi}}}$$

Praca nad pierwszym rzędem teorii zaburzeń:

$${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h_ {\ mu \ nu}}$$

$${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0} + \ delta \ Phi}$$

a po żmudnej algebrze można znaleźć zaburzenie metryczne, które odpowiada falom grawitacyjnym. Konkretną składową częstotliwości dla fali rozchodzącej się w z można zapisać jako

$${\ Displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A ^ {+} (\ omega) \ exp ( -i\omega (tz))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times}(\omega)\exp(-i\omega (tz))e_{\mu \nu }^{ \times }+h_{f}(v_{\mathrm {g}}tz;\omega )\eta _{\mu \nu }}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle h_ {f} \ równoważnik {\ Frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}}}$$

a v _g ( ω ) = d ω /d k jest prędkością grupową pakietu falowego h _f wyśrodkowanego na wektorze falowym k . Pierwsze dwa wyrazy odpowiadają zwykłym polaryzacjom poprzecznym z ogólnej teorii względności, podczas gdy trzeci odpowiada nowemu trybowi polaryzacji masywnej teorii f ( R ). Ten tryb jest mieszanką bezmasowego trybu oddychania poprzecznego (ale nie bezśladowego) i masywnego podłużnego trybu skalarnego. Mody poprzeczne i bezśladowe (znane również jako mody tensorowe) rozchodzą się z prędkością światła , ale masywny mod skalarny porusza się z prędkością v _G < 1 (w jednostkach, gdzie c = 1), ten mod jest dyspersyjny. Jednak w $R$ fa ( R dla modelu (znanego ${2}}$$R$ ), trzeci tryb polaryzacji jest czystym trybem oddychania i rozchodzi się z prędkością światła w czasoprzestrzeni.

Formalizm równoważny

Pod pewnymi dodatkowymi warunkami możemy uprościć analizę teorii f ( R ) wprowadzając pole pomocnicze Φ . Zakładając, $)$ wszystkich , niech $Displaystyle \ Phi = f' (R)}$ ( Φ ) będzie Legendre'a f R tak , że R \ i ${\ Displaystyle R = V' (\ Phi)}$ . Następnie uzyskuje się akcję O'Hanlona (1972):

$${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ lewo [{\ Frac {1} {2 \ kappa}} \ lewo (\ Phi RV (\ Phi) \ prawo) + {\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$$

Mamy równania Eulera-Lagrange'a

$${\ Displaystyle V '(\ Phi) = R}$$

$${\ Displaystyle \ Phi \ lewo (R_ {\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\ nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$$

Eliminując Φ , otrzymujemy dokładnie takie same równania jak poprzednio. Jednak równania są tylko drugiego rzędu w pochodnych, zamiast czwartego rzędu.

Obecnie pracujemy z ramą Jordan . Wykonując konforemne przeskalowanie

$${\ Displaystyle {\ tylda {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g _ {\ mu \ nu},}$$

przekształcamy do układu Einsteina :

$${\ Displaystyle R = \ Phi \ lewo [{\ tylda {R}} + {\ Frac {3 {\ tylda { \Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tylda {\nabla}}\Phi }{\Phi }}\right)^ {2}\prawo]}$$

$${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt { -{\tylda {g}}}}{\frac {1}{2\kappa}}\left[{\tylda {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac { {\ tylda {\ nabla }} \ Phi }{\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ Frac {V (\ Phi)}} {\ Phi ^ {2}}} \ right]}$$

po całkowaniu przez części.

Definiowanie i podstawienie ${\ Displaystyle {\ tylda {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}$

$${\ Displaystyle S = \ int \ operatorname {d} ^ {4} x {\sqrt {-{\tylda {g}}}}{\frac {1}{2\kappa}}\left[{\tylda {R}}-{\frac {1}{2}}\left( {\ tylda {\ nabla}} {\ tylda {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ tylda {V}} ({\ tylda {\ Phi}}) \ right]}$$

$${\ Displaystyle {\ tylda {V}} ({\ tylda {\ Phi}}) = e ^ {- {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tylda {\ Phi}}} V \ left(e^{{\tylda {\Phi}}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Jest to ogólna teoria względności powiązana z rzeczywistym polem skalarnym: używanie teorii f ( R ) do opisu przyspieszającego wszechświata jest praktycznie równoznaczne z użyciem kwintesencji . (Przynajmniej równoważne z zastrzeżeniem, że nie określiliśmy jeszcze sprzężeń materii, więc (na przykład) f ( R ) grawitacja, w której materia jest minimalnie sprzężona z metryką (tj. w układzie Jordana), jest równoważna teorii kwintesencji w którym pole skalarne pośredniczy w piątej sile grawitacyjnej).

Palatini f ( R ) grawitacja

W grawitacji Palatiniego f ( R ) metrykę i koneksję traktuje się niezależnie i zmienia się działanie w odniesieniu do każdego z nich z osobna. Zakłada się, że materia Lagrange'a jest niezależna od związku. Wykazano, że teorie te są równoważne z teorią Bransa-Dicke'a z ω = − 3 / 2 . Jednak ze względu na strukturę teorii, teorie Palatiniego f ( R ) wydają się być w konflikcie z Modelem Standardowym, mogą naruszać eksperymenty Układu Słonecznego i wydają się tworzyć niepożądane osobliwości.

Metryczno-afiniczna grawitacja f ( R ).

W metryczno-afinicznej grawitacji f ( R ) można jeszcze bardziej uogólnić rzeczy, traktując niezależnie zarówno metrykę, jak i związek, i zakładając, że materia Lagrange'a zależy również od związku.

Testy obserwacyjne

Ponieważ istnieje wiele potencjalnych form grawitacji f ( R ), trudno jest znaleźć ogólne testy. Ponadto, ponieważ odchylenia od ogólnej teorii względności mogą być w niektórych przypadkach dowolnie małe, niemożliwe jest definitywne wykluczenie niektórych modyfikacji. Można poczynić pewien postęp bez przyjmowania konkretnej postaci funkcji f ( R ) przez rozwinięcie Taylora

$${\ Displaystyle f (R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots}$$

Pierwszy wyraz jest podobny do stałej kosmologicznej i musi być mały. Następny współczynnik a ₁ można ustawić na jeden, jak w ogólnej teorii względności. W przypadku metrycznej f ( R ) (w przeciwieństwie do grawitacji Palatiniego lub metrycznej afinicznej f ( R )) człon kwadratowy jest najlepiej ograniczony pomiarami piątej siły , ponieważ prowadzi do poprawki Yukawy do potencjału grawitacyjnego. Najlepsze obecne granice to | za ₂ | < ^| 4 × 10-9 m ² lub równoważnie za ₂ | < 2,3 × 10 ²² GeV ^-2 .

Sparametryzowany formalizm postnewtonowski ma na celu ograniczenie generycznych zmodyfikowanych teorii grawitacji. Jednak f ( R ) ma wiele takich samych wartości jak ogólna teoria względności i dlatego jest nie do odróżnienia za pomocą tych testów. W szczególności ugięcie światła pozostaje niezmienione, więc f ( R ), podobnie jak ogólna teoria względności, jest całkowicie zgodna z granicami śledzenia Cassini .

Grawitacja Starobinsky'ego

Główny artykuł: inflacja Starobinsky'ego

Grawitacja Starobinsky'ego ma następującą postać

$${\ Displaystyle f (R) = R + {\ Frac {R ^ {2}} {6 M ^ {2}}}}$$

gdzie $.$ wymiary masy

Grawitacja Starobinsky'ego zapewnia mechanizm kosmicznej inflacji tuż po $duży$ Wybuchu , kiedy był jeszcze . Jednak nie nadaje się do opisywania obecnego $małe$ wszechświata, ponieważ obecnie jest bardzo . $_$ to _ tj. dąży się do ogólnej teorii względności z zerową stałą kosmologiczną . ${\ displaystyle f (R) = R}$

Grawitacja Gogoi-Goswamiego

Grawitacja Gogoi-Goswamiego ma następującą formę

$${\ Displaystyle f (R) = R - {\ frac {\alpha }{\pi}}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\ beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$

gdzie i $są$$stałymi$$,$ a jest stałą

Uogólnienie tensoryczne

f ( R ) przedstawiona w poprzednich rozdziałach jest skalarną modyfikacją ogólnej teorii względności. Bardziej ogólnie, możemy mieć

$${\ Displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {D} x {\ sqrt {-g} }\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$$

sprzężenie obejmujące niezmienniki tensora Ricciego i tensora Weyla . Szczególnymi przypadkami są grawitacja f ( R ), grawitacja konforemna , grawitacja Gaussa – Bonneta i grawitacja Lovelocka . Zauważmy, że przy każdej nietrywialnej zależności tensorycznej, poza bezmasowym grawitonem i masywnym skalarem, zazwyczaj mamy dodatkowe masywne stopnie swobody o spinie 2. Wyjątkiem jest grawitacja Gaussa-Bonneta, w której człony czwartego rzędu dla składowych spin-2 znoszą się.

Zobacz też

• Rozszerzone teorie grawitacji
• Grawitacja Gaussa-Bonneta
• Grawitacja Lovelocka

Dalsza lektura

• Patrz rozdział 29 w podręczniku „Particles and Quantum Fields” autorstwa Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (dostępny również online )
•   Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). „F (R) Teorie grawitacji”. Recenzje współczesnej fizyki . 82 (1): 451–497. ar Xiv : 0805.1726 . Bibcode : 2010RvMP...82..451S . doi : 10.1103/RevModPhys.82.451 . S2CID 15024691 .
•   Sotiriou, TP (2009). „6 + 1 lekcji z grawitacji f (R)” . Journal of Physics: seria konferencji . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S . doi : 10.1088/1742-6596/189/1/012039 . S2CID 14820388 .
•   Capozziello S.; De Laurentis, M. (2011). „Rozszerzone teorie grawitacji”. Raporty fizyczne . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Bibcode : 2011PhR...509..167C . doi : 10.1016/j.physrep.2011.09.003 . S2CID 119296243 .
• Salvatore Capozziello i Mariafelicia De Laurentis, (2015) „F(R) teorie grawitacji”. Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R., (2021) „Badanie f (R)” grawitacja i kosmologie ”. Archiwum przeddruków fizyki matematycznej, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Linki zewnętrzne

• f ( R ) grawitacja na arxiv.org
• Rozszerzone teorie grawitacji