Metryczno-afiniczna teoria grawitacji

W porównaniu z ogólną teorią względności zmienne dynamiczne metryczno $-$ afinicznej teorii grawitacji są zarówno metryką pseudo-riemanna, jak i ogólnym połączeniem liniowym na świata . Teoria grawitacji metryczno-afinicznej została zaproponowana jako naturalne uogólnienie grawitacji Einsteina-Cartana ze skręcaniem , w której połączenie liniowe spełnia warunek, że kowariantna pochodna metryki jest równa zeru.

Metryczno-afiniczna teoria grawitacji bezpośrednio wywodzi się z teorii grawitacji cechowania , w której ogólne połączenie liniowe odgrywa rolę pola cechowania . Niech $będzie$ wiązką styczną nad rozmaitością zaopatrzoną współrzędne wiązki ${\ Displaystyle (x ^ {\ mu}, {\ kropka$ $)$ . Ogólne połączenie liniowe na ${\ Displaystyle TX}$ jest reprezentowany przez połączenie o wartościach stycznych

{\ Displaystyle \ Gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes (\ częściowe _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda}} ^ {\ mu}} {} _ {\ nu} {\ kropka {x} } ^ {\nu }{\kropka {\częściowa}}_{\mu}).}

Jest to związane z $GL(4,\mathbb {R} )}$ połączeniem głównej wiązce ramek $FX$ stycznych do których grupą strukturalną jest grupa liniowa $}$ $\$ . W związku z tym można go traktować jako pole cechowania . Pseudo-riemanna metryka ${\ Displaystyle g = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ otimes dx ^ {\ nu}}$ na ${\ Displaystyle TX}$ jest zdefiniowany jako globalna sekcja ilorazu fa $(1,3) \ do X}$ , gdzie ${\ Displaystyle SO (1,3)}$ to Lorentz Grupa . Dlatego można to uznać za klasyczne pole Higgsa w teorii grawitacji cechowania . Symetrie cechowania metryczno-afinicznej teorii grawitacji są ogólnymi transformacjami kowariantnymi .

Istotne jest, aby biorąc pod uwagę metrykę pseudo-riemanna $displaystyle$ $liniowe$ na dopuszczało rozszczepienie $\ Gamma}$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu \ alfa} = \ {_ {\ mu \ nu \ alfa} \} +{\frac {1}{2}}C_{\mu \nu \alpha}+S_{\mu \nu \alpha}}

w symbolach Christoffela

{\ Displaystyle \ {_ {\ mu \ nu \ alfa} \} = - {\ Frac {1}{2}}(\częściowa _{\mu }g_{\nu \alpha }+\częściowa _{\alpha }g_{\nu \mu }-\częściowa _{\nu }g_{\mu \ alfa }),}

tensor niemetryczny

{\ Displaystyle C _ {\ mu \ nu \ alfa} = C_ {\ mu \ alpha \nu }=\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\nu \alpha }=\częściowa _{\mu }g_{\nu \alpha }+\Gamma _{\mu \nu \alpha }+\Gamma _{\mu \alpha \nu }}

i tensor drgań

{\ Displaystyle S _ {\ mu \ nu \ alfa} = - S _ {\ mu \ alfa \ nu} = {\ Frac {1} {2}} (T_ {\ nu \ mu \ alfa} + T_ {\ nu \ alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha}+C_{\alpha \nu \mu}-C_{\nu \alpha \mu}),}

Gdzie

{\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu \ alfa} = {\ Frac {1} {2}} (\ Gamma _ {\ mu \ nu \alpha }-\Gamma _{\alpha \nu \mu })}

jest tensorem skrętnym Γ { $Displaystyle \ Gamma}$ .

Ze względu na to rozszczepienie, metryczno-afiniczna teoria grawitacji posiada inny zbiór zmiennych dynamicznych, którymi są metryka pseudo-riemanna, tensor niemetryczny i tensor torsyjny. W konsekwencji Lagrangian teorii grawitacji metryczno-afinicznej może zawierać różne wyrazy $wyrażone$ zarówno krzywizną połączenia, i jego tensorami skrętnymi i niemetrycznymi. W szczególności grawitacja f ( R ) pokrewna metrycznie , której Lagrange'a jest dowolną funkcją skalarnej krzywizny rozważa się ${\ Displaystyle \ Gamma} .$ $R}$ displaystyle

Połączenie liniowe $}$ się połączeniem metrycznym dla $\ displaystyle g}$ pseudo-riemanna, jeśli ${$ jest jej częścią całkową, tj. warunkiem metryczności Γ {\ displaystyle \ Gamma

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu} ^ {\ Gamma} g _ {\ nu \ alfa} = 0}

posiada. Odczytuje połączenie metryczne

{\ Displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu \ alfa} = \ {_ {\ mu \ nu \ alfa} \} + {\ Frac {1} {2}} (T_ {\ nu \ mu \ alfa} + T_{\nu \alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha}).}

Na przykład połączenie Levi-Civita w ogólnej teorii względności jest połączeniem metrycznym bez skręcania.

Połączenie metryczne jest powiązane z głównym połączeniem na zmniejszonej wiązce Lorentza $odpowiadającej$ ramek sekcji $g$ $displaystyle$ wiązka ilorazowa ${\ Displaystyle FX / SO (1,3) \ do X}$ . Ograniczona do połączeń metrycznych, metryczno-afiniczna teoria grawitacji dochodzi do wspomnianej wyżej teorii grawitacji Einsteina-Cartana .

W tym samym czasie każde połączenie liniowe ${$ główne dostosowane połączenie na zredukowanej podwiązce Lorentza fa $sol$ $g} X}$ $ograniczenie do$ algebry ogólnej Na przykład operator Diraca $\ Gamma ^ {g}}$ obecności ogólnego związku liniowego jest dobrze zdefiniowany i zależy tylko od dostosowanego połączenia $displaystyle$ . Dlatego teorię grawitacji Einsteina-Cartana można sformułować jako teorię metryczno-afiniczną, bez odwoływania się do ograniczenia metryczności.

W metryczno-afinicznej teorii grawitacji, w porównaniu z teorią Einsteina-Cartana, pojawia się pytanie o źródło materii dla tensora niemetrycznego. Jest to tzw. hypermomentum, np. prąd Noether o symetrii skalującej .

Zobacz też

F.Hehl, J. McCrea, E. Mielke, Y. Ne'eman, Metryczno-afiniczna teoria cechowania grawitacji: równania pola, tożsamości Noether, spinory świata i łamanie niezmienniczości dylatonu, Physics Reports 258 (1995) 1-171 ; arXiv : gr-qc/9402012
V. Vitagliano, T. Sotiriou, S. Liberati, Dynamika grawitacji metrycznej-afinicznej, Annals of Physics 326 (2011) 1259-1273; ar Xiv : 1008.0171
G. Sardanashvily , Klasyczna teoria grawitacji cechowania, Int. J. Geom. Metody mod. fizyka 8 (2011) 1869-1895; ar Xiv : 1110.1176
C. Karahan, A. Altas, D. Demir, Skalary, wektory i tensory z metrycznej grawitacji afinicznej, Ogólna teoria względności i grawitacja 45 (2013) 319-343; ar Xiv : 1110.5168