Ogólne transformacje kowariantne

W fizyce ogólne $kowariantne$ to symetrie teorii grawitacji na rozmaitości świata . Są to przekształcenia cechowania , których funkcjami parametrycznymi są pola wektorowe na ${\ displaystyle X}$ . Z fizycznego punktu widzenia, ogólne transformacje kowariantne są traktowane jako szczególne ( holonomiczne ) transformacje układu odniesienia w ogólnej teorii względności . W matematycznych , ogólne przekształcenia kowariantne definiuje się jako szczególne automorfizmy tzw. wiązek włókien naturalnych .

Definicja matematyczna

Niech ${\ Displaystyle \ pi: Y \ do X}$ będzie włóknistą rozmaitością z lokalnymi współrzędnymi światłowodowymi ${\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, y ^ {i}) \ ,}$ . $.$ automorfizm $jest$ rzutowany na dyfeomorfizm podstawy Jednak odwrotność nie jest prawdziwa. Dyfeomorfizm ${\ Displaystyle X}$ nie musi powodować automorfizmu ${\ displaystyle Y}$ .

W szczególności nieskończenie mały generator jednoparametrowej grupy automorfizmów Liego jest rzutowanym polem wektorowym ${\ displaystyle Y}$

{\ Displaystyle u = u ^ {\ lambda} (x ^ {\ mu}) \ częściowe _ {\ lambda} + u ^{i}(x^{\mu},y^{j})\częściowe _{i}}

na ${\ Displaystyle Y}$ . $,$ pole wektorowe jest $.$ wektorowe jednoparametrowy grupa dyfeomorfizmów ${\ displaystyle X}$ . I odwrotnie, niech będzie polem wektorowym na ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ tau = \ tau ^ {\ lambda} \ częściowe _ {\ lambda}}$ . Istnieje problem z skonstruowaniem jego windy do rzutowanego pola wektorowego na rzutowanym na $displaystyle$ $\ tau}$ . Taka winda zawsze istnieje, ale nie musi być kanoniczna. Biorąc pod uwagę połączenie na ${\ displaystyle Y$ $} , każde$ $\$ wektorowe na $displaystyle X}$ powoduje powstanie poziomego pola wektorowego Γ {

{\ Displaystyle \ Gamma \ tau = \ tau ^ {\ lambda} (\ częściowe _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda} ^ {i} \częściowe _{i})}

na ${\ Displaystyle Y}$ . Ta pozioma winda $.$ monomorfizm modułu pól wektorowych na $Displaystyle C ^ {$ $\ Displaystyle X}$ $}$ do -modułu pól wektorowych na $Y)}$ $\ Displaystyle C ^ {\ infty} ($ $płaski$ ale ten monomorfizm nie jest morfizmem algebry Liego, chyba że jest .

Istnieje jednak kategoria wyżej wspomnianych wiązek naturalnych $}$ $które$ dopuszczają funktoralną windę dowolnego ${\ displaystyle {\ widetilde {\$ pole wektorowe ${\ Displaystyle \ tau}$ na $}$ $}}}$ takie, że jest monomorfizmem algebry Liego

{\ Displaystyle [{\ widetilde {\ tau}}, {\ widetilde {\ tau}} '] = {\ widetilde {[\ tau, \ tau ']}}.}

Ten funktoralny wzrost $nieskończenie$ małą ogólną kowariantną transformacją $\ displaystyle T}$ .

W ogólnym ustawieniu bierze się pod uwagę monomorfizm grupy dyfeomorfizmów z grupy automorfizmów wiązki naturalnej wiązki $}$ ${\ Displaystyle f \ do {\ widetilde {f}$ ${\ Displaystyle T \ do X}$ . Automorfizmy $_$ ogólnymi transformacjami $.$ Na przykład brak pionowego automorfizmu ${\ displaystyle T}$ jest ogólną transformacją kowariantną.

Przykładem wiązek naturalnych są wiązki tensorowe . $X}$ przykład $displaystyle$ styczna z jest wiązką naturalną. Każdy dyfeomorfizm z $Displaystyle$ $X}$ powoduje powstanie automorfizmu stycznego ${\ Displaystyle {\ widetilde {f}} = Tf}$ z $TX},$ który jest ogólna transformacja kowariantna ${\ displaystyle TX}$ . W odniesieniu do współrzędnych holonomicznych na tej transformacji $}$ $\ Displaystyle (x ^ {\ lambda}, {\ kropka {x}} ^ {\ lambda}$ czyta

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} '^ {\ mu} = {\ Frac {\ częściowe x' ^ {\ mu}} {\ częściowe x ^ {\ nu}}} {\ kropka {x}} ^ {\nu}.}

Wiązka klatek liniowych klatek stycznych w $displaystyle$ $TX}$ wiązką naturalną. Ogólne $transformacje kowariantne$ podgrupę automorfizmów . Wszystkie wiązki powiązane z wiązką ramek są naturalne. Istnieją jednak naturalne wiązki, które nie są związane z ${\ displaystyle FX}$ .

Zobacz też

Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operacje naturalne w geometrii różniczkowej. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
Sardanashvily, G. , Zaawansowana geometria różniczkowa dla teoretyków. Wiązki włókien, kolektory strumieniowe i teoria Lagrange'a , Lambert Academic Publishing: Saarbrücken, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; ar Xiv : 0908.1886
Saunders, DJ (1989), Geometria wiązek odrzutowych , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7