Różnorodność świata

W teorii grawitacji , rozmaitość świata wyposażona w pewną lorentzowską metrykę pseudo-riemanna i związaną z nią strukturę czasoprzestrzenną jest czasoprzestrzenią . Teoria grawitacji jest sformułowana jako klasyczna teoria pola na naturalnych wiązkach w rozmaitości świata.

Topologia

Światowa rozmaitość to czterowymiarowa, orientowalna, rzeczywista gładka rozmaitość . Zakłada się, że jest to Hausdorffa i druga przeliczalna przestrzeń topologiczna . W konsekwencji jest to przestrzeń lokalnie zwarta , która jest sumą przeliczalnej liczby podzbiorów zwartych, przestrzenią rozłączną , parazwartą i całkowicie regularną . Będąc parazwartą, rozmaitość świata dopuszcza podział jedności przez gładkie funkcje. Parazwartość jest zasadniczą cechą rozmaitości świata. Jest to konieczne i wystarczające, aby rozmaitość świata dopuszczała a Metryka riemannowska i niezbędna do istnienia metryki pseudoriemannowskiej. Zakłada się, że rozmaitość światowa jest połączona , a zatem jest połączona łukowo .

struktura riemannowska

Wiązka styczna $rozmaitości$ i związana z nią wiązka $TX}$ głównych liniowych stycznych w $posiadają$ ogólną grupę liniową $displaystyle$ grupa strukturalna ${\ Displaystyle GL ^ {+} (4, \ mathbb {R})}$ . Rozmaitość świata $\ displaystyle X$ się, że można , jeśli wiązka styczna $i$ odpowiednio wiązka ramek są trywialne, tj. Istnieje przekrój globalny ( pole ramki ) ${$ } fa $\ Displaystyle FX}$ . Istotne jest, aby styczne i powiązane wiązki nad rozmaitością świata dopuszczały atlas wiązek skończonej liczby wykresów trywializacji.

Wiązki styczne i ramowe nad rozmaitością świata są wiązkami naturalnymi charakteryzującymi się ogólnymi przekształceniami kowariantnymi . Te przekształcenia to symetrie cechowania teorii grawitacji na rozmaitości świata.

Na mocy dobrze znanego twierdzenia o $\ displaystyle GL ^ {+} (4,$ grup struktur , grupa struktur wiązki ramek $FX$ $}$ $maksymalnej$ rozmaitości świata $zwartej$ redukowalna do swojej Odpowiednia sekcja globalna pakietu ilorazu ${\ Displaystyle FX / SO (4)}$ jest metryką Riemanna ${\ Displaystyle g ^ {R}}$ na ${\ Displaystyle X}$ . Zatem rozmaitość światowa zawsze przyjmuje metrykę Riemanna, co $metryczną$ przestrzeń topologiczną .

Struktura Lorentza

Zgodnie z zasadą równoważności geometrycznej , $(1,3)}$ światowa ma lorentzowską struktur wiązki ramek musi zredukowana do Lorentza $}$ ${\ displaystyle FX$ . Odpowiednia globalna sekcja pakietu ilorazu ${\ Displaystyle FX / SO (1,3)}$ jest pseudo-riemannowską metryką $+$ ( $\ Displaystyle (+, ---)}$ X $\ Displaystyle X}$ . Jest traktowane jako pole grawitacyjne w ogólnej teorii względności i jako klasyczne pole Higgsa w teorii grawitacji cechowania .

Struktura Lorentza nie musi istnieć. Dlatego zakłada się, że rozmaitość światowa spełnia pewien warunek topologiczny. Jest to albo niezwarta przestrzeń topologiczna, albo przestrzeń zwarta o zerowej charakterystyce Eulera . Zwykle wymaga się również, aby rozmaitość świata dopuszczała strukturę spinorową , aby opisać pola fermionów Diraca w teorii grawitacji. Istnieje dodatkowa przeszkoda topologiczna dla istnienia tej struktury. W szczególności niezwarta rozmaitość świata musi być równoległa.

Struktura czasoprzestrzenna

Jeśli grupa struktury wiązki $redukowalna$ $maksymalnej$ grupy Lorentza, ta ostatnia jest zawsze redukowalna . Mamy więc diagram przemienny

{\ Displaystyle GL (4, \ mathbb {R}) \ do SO (4)}

{\ Displaystyle \ downarrow \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ downarrow }

{\ Displaystyle SO (1,3) \ do SO (3)}

redukcji grup struktur wiązki ramek $.$ grawitacji Z tego diagramu redukcji wynika, co następuje.

$($ $ramek$ $.$ świata zawsze można wiązki ramek charakteryzowanych lokalnymi polami ) z funkcjami przejścia o wartościach ${\ Displaystyle SO (3)} .$ Te funkcje przejścia zachowują składnik podobny do czasu ${\ Displaystyle h_ {0} = h_ {0} ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu}}$ lokalnych pól ramek, które w związku z tym są zdefiniowane globalnie. Jest to nigdzie znikające pole wektorowe na ${\ displaystyle X}$ . $W związku$ tym podwójne pole kowektorowe podobne do czasu a rozkład przestrzenny ${\ Displaystyle {\ mathfrak {F}} \ podzbiór TX}$ na ${\ Displaystyle X}$ tak, że ${\ displaystyle h ^ {0} \ rfloor {\ mathfrak {F}} = 0}$ . Wtedy wiązka styczna światowej rozmaitości dopuszcza rozkład czasoprzestrzenny $^ {0}$ $}$ $Displaystyle$ $TX = {\ mathfrak {F}}$ $jest$ , gdzie jednowymiarową wiązką włókien rozpiętą przez podobne do czasu pole ${\ displaystyle h_ {0}}$ . Ten rozkład nazywa się zgodną strukturą czasoprzestrzenną ${\ displaystyle g}$ . Sprawia, że świat jest zwielokrotniony w czasoprzestrzeni .

(ii) Biorąc pod uwagę wyżej wymieniony diagram redukcji grup struktur, niech i $displaystyle$ odpowiednimi metrykami pseudo-riemannowskimi i riemannowskimi na $\$ $X}$ . Tworzą one potrójne przestrzeganie relacji ${\ Displaystyle (g, g ^ {R}, h ^ {0})}$

{\ Displaystyle g = 2h ^ {0} \ czasami h ^ {0} -g ^ {R}}

.

$rozmaitość$ świata dopuszcza nigdzie znikającą jedną postać $.$ lub, równoważnie, nigdzie nie znikające pole wektorowe Wtedy dowolna metryka Riemanna $}$ on daje metrykę pseudo-riemannowską sol R $displaystyle g ^ {R}$

{\ Displaystyle g = {\ Frac {2} {g ^ {R} (\ sigma, \ sigma)}} \ sigma \ czasami \ sigma -g ^{R}}

.

Wynika z tego, że światowa rozmaitość $dopuszcza$ metrykę pseudo-riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje nigdzie nie znikające pole wektorowe (lub kowektorowe) na $\ displaystyle X}$ .

Zauważmy, że w potrójnej $^ {0})}$ $,$ $) {\ Displaystyle (g, g ^ {R}$ $} {R}}$ -kompatybilna metryka riemannowska definiuje $kompatybilną$ $odległości na$ świata . Taka funkcja przynosi ${\ displaystyle X}$ w przestrzeń metryczną, której lokalnie topologia euklidesowa jest równoważna topologii rozmaitości na ${\ displaystyle X}$ . Biorąc pod uwagę pole grawitacyjne , kompatybilne metryki Riemanna i odpowiadające im funkcje odległości są różne dla różnych rozkładów przestrzennych $i$ fa $\ displaystyle$ $styl wyświetlania {\mathfrak {F}}'}$ $displaystyle$ $}$ . Wynika z tego $, że obserwatorzy fizyczni związani z tymi różnymi rozkładami przestrzennymi postrzegają$ świata jako różne przestrzenie Riemanna. Przykładem tego zjawiska są dobrze znane relatywistyczne zmiany rozmiarów poruszających się ciał.

Jednak próbuje się wyprowadzić topologię świata bezpośrednio ze struktury czasoprzestrzennej ( topologia ścieżki , topologia Aleksandrowa ). Jeśli czasoprzestrzeń spełnia warunek silnej przyczynowości , takie topologie pokrywają się ze znaną rozmaitą topologią rozmaitości świata. W ogólnym przypadku są one jednak dość niezwykłe.

Warunki przyczynowości

Struktura czasoprzestrzenna nazywana jest całkowalną, jeśli rozkład przestrzenny $jest$ . W tym przypadku jej rozmaitości integralne stanowią przestrzenną foliację rozmaitości świata, której liśćmi są przestrzenne trójwymiarowe podprzestrzenie. Przestrzenna foliacja nazywana jest przyczynową, jeśli żadna krzywa poprzeczna do jej liści nie przecina każdego liścia więcej niż raz. Warunek ten jest równoważny stabilnej przyczynowości Stephena Hawkinga . Folia czasoprzestrzenna jest przyczynowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest to foliacja powierzchni poziomych o jakiejś gładkiej funkcji rzeczywistej na ${\ displaystyle X}$ , którego różnica nigdzie nie znika. Takie foliowanie to rozmaitość włóknista ${\ displaystyle X \ do \ mathbb {R}}$ . Jednak tak nie jest w przypadku zwartej rozmaitości świata, która nie może być rozmaitością $włóknistą$ .

Stabilna przyczynowość nie zapewnia najprostszej struktury przyczynowej. Jeśli rozmaitość włóknista $wiązką$ włókien, jest trywialna, tj. $X=\mathbb {R} \times M$ rozmaitością globalnie $hiperboliczną$ . Ponieważ każda zorientowana trójwymiarowa rozmaitość jest równoległa, globalnie hiperboliczna rozmaitość świata jest równoległa.

Zobacz też

SW Hawking , GFR Ellis , wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1973) ISBN 0-521-20016-4
CTG Dodson, kategorie, wiązki i topologia czasoprzestrzeni (Shiva Publ. Ltd., Orpington, Wielka Brytania, 1980) ISBN 0-906812-01-1

Linki zewnętrzne

Sardanashvily, G. (2011). „Klasyczna teoria grawitacji cechowania”. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 8 (8): 1869–1895. ar Xiv : 1110.1176 . Bibcode : 2011IJGMM..08.1869S . doi : 10.1142/S0219887811005993 . S2CID 119711561 .