Grawitacja bimetryczna

Bimetryczna grawitacja lub biggrawitacja odnosi się do dwóch różnych klas teorii. Pierwsza klasa teorii opiera się na zmodyfikowanych matematycznych teoriach grawitacji (lub grawitacji), w których stosuje się dwa tensory metryczne zamiast jednego. Druga metryka może zostać wprowadzona przy wysokich energiach, z sugestią, że prędkość światła może być zależna od energii, umożliwiając modele ze zmienną prędkością światła .

Jeśli te dwie metryki są dynamiczne i oddziałują na siebie, pierwsza możliwość implikuje dwa tryby grawitonowe , jeden masywny i jeden bezmasowy; takie teorie bimetryczne są więc ściśle związane z masywną grawitacją . Istnieje kilka teorii bimetrycznych z masywnymi grawitonami, takich jak te przypisywane Nathanowi Rosenowi (1909–1995) lub Mordehai Milgromowi z relatywistycznymi rozszerzeniami zmodyfikowanej dynamiki newtonowskiej ( MOND ). Niedawno rozwój masowej grawitacji doprowadził również do nowych, spójnych teorii grawitacji bimetrycznej. Chociaż nie wykazano, aby żadna z nich wyjaśniała obserwacje fizyczne dokładniej lub bardziej konsekwentnie niż ogólna teoria względności , wykazano, że teoria Rosena jest niespójna z obserwacjami podwójnego pulsara Hulse-Taylor . Niektóre z tych teorii prowadzą do kosmicznego przyspieszenia w późnych czasach i dlatego stanowią alternatywę dla ciemnej energii . Bimetryczna grawitacja jest również sprzeczna z pomiarami fal grawitacyjnych emitowanych przez połączenie gwiazd neutronowych GW170817 .

Wręcz przeciwnie, druga klasa bimetrycznych teorii grawitacji nie opiera się na masywnych grawitonach i nie modyfikuje prawa Newtona , ale zamiast tego opisuje wszechświat jako rozmaitość mającą dwie sprzężone metryki Riemanna , gdzie materia zamieszkująca te dwa sektory oddziałuje poprzez grawitację (i antygrawitację jeśli rozważana topologia i przybliżenie newtonowskie wprowadzają w kosmologii ujemne stany masy i ujemnej energii jako alternatywę dla ciemnej materii i ciemnej energii). Niektóre z tych modeli kosmologicznych wykorzystują również zmienną prędkość światła w stanie wysokiej gęstości energii w erze wszechświata zdominowanej przez promieniowanie , podważając hipotezę inflacji .

Wielka grawitacja Rosena (1940 do 1989)

W ogólnej teorii względności (GR) przyjmuje się, że odległość między dwoma punktami w czasoprzestrzeni jest określona przez tensor metryczny . Równanie pola Einsteina jest następnie wykorzystywane do obliczania postaci metryki na podstawie rozkładu energii i pędu.

$.$ $}$ $każdym$ punkcie czasoprzestrzeni istnieje euklidesowy tensor metryczny oprócz metrycznego . Zatem w każdym punkcie czasoprzestrzeni istnieją dwie metryki:

$^ {2} = g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}$
${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}$

Pierwszy tensor metryczny, opisuje geometrię czasoprzestrzeni, a tym $samym$ Drugi tensor metryczny , odnosi się do płaskiej czasoprzestrzeni i $.$ Symbole Christoffela utworzone z i $}$ $}$ są oznaczone przez ${\ Displaystyle \ {_ {jk} ^ {i } \}} i$ $\ Displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i}} .$ Γ {

Ponieważ różnica dwóch połączeń jest tensorem, można zdefiniować pole tensorowe podane przez: ${\ Displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i}}$

{\ Displaystyle \ Delta _ {jk} ^ {i} = \ {_ {jk} ^ {i} \} - \ Gamma _ {jk} ^ { I}}

()

Powstają wtedy dwa rodzaje zróżnicowania kowariantnego: ${ij} }$ oparte na (oznaczone średnikiem, np. $Displaystyle X_$ ${; a}}$ ), sol ja $)$ $\ displaystyle X_{/a}}$ kowariantne oparte na (oznaczone ukośnikiem, np. . Zwykłe pochodne cząstkowe są reprezentowane przez przecinek (np. ${\ displaystyle X_ {a}}$ ). Niech ${\ Displaystyle R_ {ijk} ^ {h}}$ $h}}$ będzie tensorami krzywizny Riemanna obliczonymi z ${ij}}$ ${\ Displaystyle$ i odpowiednio ${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$ $tensor$ powyższym podejściu $.$ , płaską

Proste obliczenie daje tensor krzywizny Riemanna

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {ijk} ^ {h} i = P_ {ijk} ^ {h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m} -\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h }+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{wyrównane}}}

Każdy wyraz po prawej stronie jest tensorem. Widać, że z GR można przejść do nowego sformułowania, po prostu zastępując {:} przez i zwykłe różniczkowanie przez kowariant $-różnicowanie$ $-$ sol ${-g}}}$ $displaystyle {\ sqrt$ przez ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {g} {\ gamma}}}} miarą$ integracji ${\ Displaystyle d ^ {4} x}$ przez ${\ Displaystyle {\ sqrt {- \ gamma}} \, d ^ {4} x}$ , gdzie ${\ Displaystyle g = \ det (g_ {ij})}$ , ${\ Displaystyle \ gamma = \ det (\ gamma _ {ij})}$ i ${\ Displaystyle d ^ {4} x = dx ^ {1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$ . Po wprowadzeniu $.$ ogromną liczbę nowych tensorów i skalarów Można ustawić inne równania pola inne niż Einsteina. Możliwe, że niektóre z nich będą bardziej zadowalające dla opisu przyrody.

Równanie geodezyjne w bimetrycznej teorii względności (BR) przyjmuje postać

\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0}

()

1 ) i ( 2 ) widać , że można je $bezwładności,$ ponieważ znika ono po odpowiedniej transformacji współrzędnych.

Będąc wielkością $.$ , jest niezależna od jakiegokolwiek układu współrzędnych, a zatem może być uważana za opisującą stałe pole grawitacyjne

Rosen (1973) stwierdził, że BR spełnia zasadę kowariancji i równoważności. W 1966 roku Rosen wykazał, że wprowadzenie metryki przestrzennej w ramy ogólnej teorii względności nie tylko umożliwia otrzymanie tensora gęstości pędu energii pola grawitacyjnego, ale także umożliwia uzyskanie tego tensora z zasady wariacyjnej. Równania pola BR wyprowadzone z zasady wariacyjnej to

{\ Displaystyle K_ {j} ^ {i} = N_ {j} ^ {i} - {\ Frac {1} 2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}}

()

Gdzie

Displaystyle N_ {j} ^ {i} = {\ Frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ alfa \ beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha})_{/\beta }}

Lub

\ zacząć { wyrównane}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta}\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha} \right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta}^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]- \right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda } \Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[ g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right] \right\}\end{wyrównane}}}

z

{\ Displaystyle N = g ^ {ij} N_ {ij}}

,

{\ Displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ Frac {g} {\ gamma}}}}

i $jest$ tensorem energii

Zasada wariacyjna również prowadzi do relacji

{\ Displaystyle T_ {j; i} ^ {i} = 0}

.

Stąd z ( 3 )

{\ Displaystyle K_ {j; i} ^ {i} = 0}

,

co implikuje, że w BR cząstka testowa w polu grawitacyjnym porusza się po geodezyjnej względem ${\ displaystyle g_ {ij}.}$

Rosen kontynuował ulepszanie swojej bimetrycznej teorii grawitacji dodatkowymi publikacjami w latach 1978 i 1980, w których podjął próbę „usunięcia osobliwości pojawiających się w ogólnej teorii względności poprzez jej modyfikację, aby uwzględnić istnienie fundamentalnej ramy spoczynkowej we wszechświecie”. W 1985 Rosen ponownie próbował usunąć osobliwości i pseudo-tensory z ogólnej teorii względności. Dwukrotnie w 1989 roku, publikując w marcu i listopadzie, Rosen dalej rozwijał swoją koncepcję cząstek elementarnych w bimetrycznym polu ogólnej teorii względności.

Stwierdzono, że teorie BR i GR różnią się w następujących przypadkach:

propagacja fal elektromagnetycznych
pole zewnętrzne gwiazdy o dużej gęstości
zachowanie się intensywnych fal grawitacyjnych rozchodzących się przez silne statyczne pole grawitacyjne.

Od 1992 roku wykazano, że przewidywania promieniowania grawitacyjnego w teorii Rosena są sprzeczne z obserwacjami podwójnego pulsara Hulse-Taylor .

Ogromna biggrawitacja

Od 2010 roku ponownie pojawiło się zainteresowanie biggrawitacją po opracowaniu przez Claudię de Rham , Gregory'ego Gabadadze i Andrew Tolleya (dRGT) zdrowej teorii masywnej grawitacji. Masywna grawitacja jest teorią bimetryczną w $który$ sensie, że nietrywialne warunki interakcji dla metryki zapisać tylko za pomocą drugiej metryki, jako jedynego nie pochodnego terminu, można zapisać za pomocą jednej metryki, jest stałą kosmologiczną . W teorii dRGT wprowadzono niedynamiczną „metrykę odniesienia” $sol$ $\ displaystyle g$ warunki interakcji są zbudowane z macierzy pierwiastka kwadratowego z .

W przypadku masywnej grawitacji dRGT metrykę odniesienia należy określić ręcznie. Metryce referencyjnej można nadać termin Einsteina-Hilberta , w którym to przypadku $nu }}$ $}$ \ $\ mu \ nu$ i być może sprawa. Ta masywna grawitacja została wprowadzona przez Fawada Hassana i Rachel Rosen jako rozszerzenie masywnej grawitacji dRGT.

Teoria dRGT ma kluczowe znaczenie dla opracowania teorii z dwoma dynamicznymi metrykami, ponieważ ogólne teorie bimetryczne są nękane przez ducha Boulware-Deser , możliwą szóstą polaryzację dla masywnego grawitonu. Potencjał dRGT jest konstruowany specjalnie po to, aby uczynić tego ducha niedynamicznym i dopóki człon kinetyczny dla drugiej metryki ma postać Einsteina-Hilberta, wynikowa teoria pozostaje wolna od duchów.

Działanie dla wolnej od duchów masywnej grawitacji jest podane przez

{\ Displaystyle S = - {\ Frac {M_ {g} ^ {2}} {2}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} R (g) - {\ Frac {M_ { f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{ 4} x {\ sqrt {-g}} \ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {4} \ beta _ {n} e_ {n} (\ mathbb {X}) + \ int d ^ {4} x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m}}(g,\Phi _{i}).}

$}$ teorii względności, metryka ma kinetyczny Einsteina-Hilberta proporcjonalny do Ricciego i minimalne sprzężenie ${\ Displaystyle R (g)$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {i}}$ materii Lagrange'a $przy czym$ reprezentuje wszystkie pola materii, takie jak te z Model Standardowy . Podano również termin Einsteina-Hilberta dla ${\ displaystyle f _ {\ mu \ nu}}$ . Każda ${f}} .$ ma swoją własną masę Plancka , oznaczoną odpowiednio i $M_$ Potencjał interakcji jest taki sam jak w przypadku masywnej grawitacji dRGT. β $\ beta _ {i}}$ $m}$ sprzężenia i (lub konkretnie ) $\ displaystyle$ ) jest związana z masą masywnego grawitonu. Teoria ta propaguje siedem stopni swobody, odpowiadających bezmasowemu grawitonowi i masywnemu grawitonowi (chociaż stan masywny i bezmasowy nie są zgodne z żadną z metryk).

${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {I}$ zbudowany z $sol$ wielomianów symetrycznych wartości własnych macierzy lub sparametryzowana przez bezwymiarowe stałe sprzężenia ${\ Displaystyle \ mathbb {X} = {\ sqrt {g ^ {-1} f}}} odpowiednio$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ lub ${\ Displaystyle \ beta _ {i}}$ . Tutaj ${\ Displaystyle {\ sqrt {g ^ {-1} f}}}$ jest macierzą pierwiastka kwadratowego z macierzy ${\ Displaystyle g ^ {-1} f}$ . Zapisane w notacji indeksowej, jest zdefiniowane przez relację ${\ displaystyle \ mathbb {X}}$

{\ Displaystyle X ^ {\ mu} {} _ {\ alfa} X ^ {\ alfa} {} _ {\ nu} = g ^ {\ mu \ alfa} f_ {\ nu \ alfa}.}

mi ${\ displaystyle e_ {n}} można zapisać$ bezpośrednio jako $mathbb {X}}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e_ {0} (\ mathbb {X}) i = 1 ,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X})&={\frac {1}{2}}\ left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1} {6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3} ]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}

gdzie nawiasy wskazują ślad , ${\ Displaystyle [\ mathbb {X}] \ equiv X ^ {\ mu}} _ {\ mu}$ } Jest to szczególna antysymetryczna kombinacja terminów w każdym z nich, $odpowiedzialna$ za uczynienie ducha Boulware-Deser niedynamicznym.

Zobacz też