Pierwiastek kwadratowy z macierzy

W matematyce pierwiastek kwadratowy z macierzy rozszerza pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczb na macierze . Mówimy, że macierz $B$ jest pierwiastkiem kwadratowym z $A$ , jeśli iloczyn macierzowy $BB$ jest równy $A$ .

Niektórzy autorzy używają nazwy pierwiastek kwadratowy lub notacji $A 1/2$ tylko w konkretnym przypadku, gdy $A$ jest dodatnio półokreślona , do oznaczenia unikalnej macierzy $B$ , która jest dodatnio półokreślona i taka, że $BB = B T B = A$ (dla wartości rzeczywistych macierze, gdzie $B T$ jest transpozycją B $)$ .

Rzadziej pierwiastek kwadratowy z $nazwy B TB = A$ może być użyty do dowolnego rozkładu na czynniki dodatniej półokreślonej macierzy $A$ jako , jak w rozkładzie Cholesky'ego , nawet jeśli $BB \neq A$ . To odrębne znaczenie jest omówione w Pozytywnie określona macierz § Dekompozycja .

Przykłady

Ogólnie rzecz biorąc, macierz może mieć kilka pierwiastków kwadratowych. W szczególności, jeśli to $^$ b 2 $=$

Macierz tożsamości 2 × 2 ma nieskończenie wiele pierwiastków kwadratowych ${\ Displaystyle \ textstyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ koniec {pmatrix}}} .$ Są one podane przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ pm 1 i 0 \\ 0 i \ pm 1 \ koniec {pmatrix}}} i ( za b do - za ) {\

Displaystyle

& b \ \c&-a\end{pmacierz}}}

gdzie ${\ Displaystyle (a, b, c)}$ dowolne liczby (rzeczywiste lub zespolone) takie, że ${\ Displaystyle a ^ {2} + bc = 1}$ . $Pitagorasa -$ szczególności jeśli trójką to dodatnich liczb całkowitych takich, ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = t ^ {2}}$ 1 $\ Displaystyle {\ Frac {1} {t}} {\ rozpocząć { pmatrix} a&b\\b&-a\end {pmatrix}}}$ jest macierzą pierwiastkową z pierwiastka kwadratowego, $jest$ symetryczna i ma wpisy wymierne. Zatem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}} ^ {2} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{ 2}.}

Minus tożsamość ma pierwiastek kwadratowy, na przykład:

{\ Displaystyle - {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i - 1 \\ 1 & 0 \ koniec {pmatrix }}^{2},}

którego można użyć do przedstawienia jednostki urojonej $i$ , a zatem wszystkich liczb zespolonych przy użyciu macierzy rzeczywistych 2 × 2, patrz Macierzowa reprezentacja liczb zespolonych .

Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych , macierz rzeczywista może nie mieć rzeczywistego pierwiastka kwadratowego, ale mieć pierwiastek kwadratowy z wpisami o wartościach zespolonych . Niektóre macierze nie mają pierwiastka kwadratowego. Przykładem jest macierz ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}.}$

Podczas gdy pierwiastek kwadratowy z nieujemnej liczby całkowitej jest albo liczbą całkowitą, albo liczbą niewymierną , w przeciwieństwie do tego macierz liczb całkowitych może mieć pierwiastek kwadratowy, którego wpisy są wymierne, ale niecałkowite, jak w powyższych przykładach.

Pozytywne macierze półokreślone

Symetryczna rzeczywista macierz n × n nazywana jest dodatnią półokreśloną , jeśli dla wszystkich ${\ Displaystyle x ^ {\ textsf {T}} Ax \ geq 0}$ $wektor$ ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R$ } ^ {n}} (tutaj oznacza transpozycję $x$ kolumnowy na wektor $wierszowy$ ). Kwadratowa macierz rzeczywista jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A = B ^ {\ textsf {T}} B}$ dla jakiejś macierzy $B$ . Może być wiele różnych takich macierzy $B$ . Dodatnia półokreślona macierz $A$ może również mieć wiele macierzy $B$ takich, że ${\ displaystyle A = BB}$ . Jednak $A$ zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek kwadratowy $B$ , który jest dodatnio półokreślony (a zatem symetryczny). W szczególności, ponieważ $B$ musi być symetryczne, ${\ Displaystyle B = B ^ {\ textsf {T}}}$ , więc te dwa warunki ${\ Displaystyle A = BB}$ lub ${\ Displaystyle A = B ^ {\ textsf {T }}B}$ są równoważne.

$.$ przypadku macierzy o wartościach zespolonych $zamiast$ transpozycja sprzężona , a dodatnie macierze półokreślone co oznacza

Twierdzenie — Niech $A$ będzie dodatnią półokreśloną macierzą (rzeczywistą lub zespoloną). Wtedy istnieje dokładnie jedna dodatnia półokreślona macierz $B$ taka, że ${\ Displaystyle A = B ^ {*} B}$ .

Ta unikalna macierz nazywana jest głównym , nieujemnym lub dodatnim pierwiastkiem kwadratowym (ten ostatni w przypadku dodatnio określonych macierzy ).

Główny pierwiastek kwadratowy z rzeczywistej dodatniej półokreślonej macierzy jest rzeczywisty. Główny pierwiastek kwadratowy dodatnio określonej macierzy jest dodatnio określony; bardziej ogólnie, ranga głównego pierwiastka kwadratowego $A$ jest taka sama jak ranga $A$ .

Operacja wyciągnięcia głównego pierwiastka kwadratowego jest ciągła na tym zbiorze macierzy. Właściwości te są konsekwencją holomorficznego rachunku funkcyjnego do macierzy. Istnienie i wyjątkowość głównego pierwiastka kwadratowego można wywnioskować bezpośrednio z postaci normalnej Jordana (patrz poniżej).

Macierze o różnych wartościach własnych

n $pierwiastków \times n$ z $n$ różnymi niezerowymi wartościami własnymi ma 2 ⁿ kwadratowych. Taka macierz $A$ ma rozkład własny $VDV -1 ,$ gdzie $V$ jest macierzą, której kolumny są wektorami własnymi $A$ , a $D$ jest macierzą diagonalną, której elementy diagonalne są odpowiednimi $n$ wartościami własnymi $λ i$ . Zatem pierwiastki kwadratowe z $A$ są dane przez $VD 1/2 V -1$ , gdzie $D 1/2$ jest dowolną macierzą pierwiastkową $D$ , która dla różnych wartości własnych musi być diagonalna z elementami diagonalnymi równymi pierwiastkom kwadratowym elementów diagonalnych $D$ ; ponieważ istnieją dwa możliwe wybory dla pierwiastka kwadratowego z każdego elementu przekątnej $D$ , są 2 ⁿ wyborów dla macierzy $D 1/2$ .

Prowadzi to również do dowodu powyższej obserwacji, że dodatnio określona macierz ma dokładnie jeden dodatnio określony pierwiastek kwadratowy: dodatnio określona macierz ma tylko dodatnie wartości własne, a każda z tych wartości własnych ma tylko jeden dodatni pierwiastek kwadratowy; a ponieważ wartości własne macierzy pierwiastkowej są elementami diagonalnymi $D 1/2$ , aby macierz pierwiastkowa sama w sobie była dodatnio określona, konieczne jest użycie tylko unikalnych dodatnich pierwiastków kwadratowych pierwotnych wartości własnych.

Rozwiązania w formie zamkniętej

Jeśli macierz jest idempotentna , co oznacza $kwadratowych$ jest sama macierz

Macierze diagonalne i trójkątne

Jeśli $D$ jest macierzą o przekątnej n × n re $Displaystyle D = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {n}) }$ $_$ kwadratowych _ Gdzie ${\ Displaystyle \ mu _ {i} = \ pm {\ sqrt {\ lambda _ {i}}}}$ . Jeśli przekątne elementów $D$ są rzeczywiste i nieujemne, to jest dodatnio półokreślone, a jeśli pierwiastki kwadratowe są wzięte ze znakiem nieujemnym, wynikowa macierz jest głównym pierwiastkiem $D$ . Macierz diagonalna może mieć dodatkowe pierwiastki niediagonalne, jeśli niektóre wpisy na przekątnej są równe, jak ilustruje powyższa macierz tożsamości.

Jeśli $U$ jest $wpisów$ macierzą trójkątną $co$ że wpisy to ) i najwyżej jeden z jej $zero , to jedno$ rozwiązanie równania można znaleźć w następujący Ponieważ równanie ${\ Displaystyle u_ {i, i} = b_ {i, i} ^ {2}}$ powinno być spełnione, niech ${\ Displaystyle b_ {i, i}}$ będzie głównym pierwiastkiem kwadratowym z liczby zespolonej ${\ displaystyle u_ {i, i}}$ . U ${\ Displaystyle u_ {i, i} \ neq 0}$ gwarantuje to, ${\ Displaystyle b_ {i, i} + b_ {j, j} \ neq 0}$ dla wszystkich $i, j$ (ponieważ wszystkie główne pierwiastki kwadratowe liczb zespolonych leżą na połowie płaszczyzny zespolonej). Z równania

{\ Displaystyle u_ {i, j} = b_ {i, i} b_ {i, j} + b_ {i, i + 1} b_ {i + 1, j} + b_ {i, i + 2} b_ { i+2,j}+\kropki +b_{i,j}b_{j,j}}

wywnioskujemy, że ${\ displaystyle b_ {i$ obliczyć rekurencyjnie dla zwiększając od 1 do n jako: $,$

{\ Displaystyle b_ {i, j} = {\ Frac {1} {b_ {i, i} + b_ {j, j}}} \ lewo (u_ {i, j} -b_ {i, i + 1} b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\kropki -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\prawo).}

Jeśli $U jest trójkątem górnym$ $, ale ma wiele zer na$ może nie istnieć, na przykład . Zauważ, że przekątne wpisy macierzy trójkątnej są dokładnie jej wartościami własnymi (patrz Macierz trójkątna#Właściwości ).

Poprzez diagonalizację

Macierz A n × n jest diagonalizowalna , jeśli istnieje macierz $V$ i macierz diagonalna $D$ taka, $że$ $A = VDV -1$ . Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy $Cn A$ $ma$ wektory własne , które stanowią bazę dla . W tym przypadku $V$ można wybrać jako macierz z n wektorami własnymi jako kolumnami, a zatem pierwiastek kwadratowy z $A$ wynosi

{\ Displaystyle R = VSV ^ {- 1} ~,}

gdzie $S$ jest dowolnym pierwiastkiem kwadratowym z $D$ . Rzeczywiście,

{\ Displaystyle \ lewo (VD ^ {\ Frac {1} {2}} V ^ {-1} \ prawo) ^ {2} = VD ^ {\ Frac {1} {2}} \ lewo (V ^ { -1}V\prawo)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.}

Na przykład macierz można przekątować jako $VDV -1$ , gdzie ${\ Displaystyle A = \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 33 i 24 \\ 48 i 57 \ koniec {mała macierz}} \ prawo)}$

{\ Displaystyle V = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ 2 i -1 \ koniec {pmatrix}}}

i re

{\ Displaystyle D = {\ rozpocząć {

.

$D$ ma główny pierwiastek kwadratowy

{\ Displaystyle D ^ {\ Frac {1} {2}} = {\ początek {pmatrix} 9 i 0 \\ 0 i 3 \ koniec {pmatrix}}}

,

podając pierwiastek kwadratowy

{\ Displaystyle A ^ {\ Frac {1} {2}} = VD ^ {\ Frac {1} {2}} V ^ {- 1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}}

.

Kiedy $A$ jest symetryczne, diagonalizującą macierz $V$ można przekształcić w macierz ortogonalną , odpowiednio dobierając wektory własne (patrz twierdzenie spektralne ). Wtedy odwrotność $V$ jest po prostu transpozycją, tak że

{\ Displaystyle R = VSV ^ {\ textsf {T}} ~.}

Przez rozkład Schura

Każda macierz kwadratowa o wartościach $ZA$ $,$ niezależnie od diagonalizowalności, ma wzorem gdzie jest górny trójkąt. $}$ i ${\ displaystyle Q}$ jest jednostkowy (co oznacza ${\ displaystyle Q ^ {*} = Q ^ {- 1}} )$ . Wartości własne _ ${\ displaystyle A}$ są dokładnie ukośnymi wpisami ${\ displaystyle U}$ ; jeśli co najwyżej jeden z nich wynosi zero, to następny jest pierwiastkiem kwadratowym

{\ Displaystyle A ^ {\ Frac {1} {2}} = QU ^ {\ Frac {1} {2}} Q ^ {*}.}

gdzie pierwiastek kwadratowy $z$ górnej trójkątnej macierzy $opisano$ , jak

Jeśli $określona , to$ $wszystkie$ wartości własne są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, więc wybrana przekątna się również z dodatnich liczb rzeczywistych Stąd wartości własne są $, że$ wynikowa macierz jest pierwiastkiem głównym z $}$ $\ displaystyle$ .

Przez rozkład Jordana

$Podobnie$ $a$ w rozkładu Schura, każdą macierz kwadratową $jako$ gdzie P , J $jest$ normalny w forma .

Aby zobaczyć, że dowolna zespolona macierz z dodatnimi wartościami własnymi ma pierwiastek kwadratowy z tej samej postaci, wystarczy to sprawdzić dla bloku Jordana. Każdy taki blok ma postać λ( I + N ) gdzie λ > 0 i N nilpotent . Jeśli $(1 + z) 1/2 = 1 + a 1 z + a 2 z 2 + \dots$ jest dwumianowym rozwinięciem pierwiastka kwadratowego (ważne w | z | < 1), to jako formalny szereg potęgowy jego kwadrat jest równy 1 + z . Zastępując N zamiast z , tylko skończenie wiele wyrazów będzie niezerowych, a $S = \sqrtλ (I + a 1 N + a 2 N 2 + \dots)$ daje pierwiastek kwadratowy z bloku Jordana o wartości własnej $\sqrtλ$ .

Wystarczy sprawdzić jednoznaczność bloku Jordana z λ = 1. Skonstruowany powyżej kwadrat ma postać S = I + L , gdzie L jest wielomianem w N bez stałego wyrazu. Każdy inny pierwiastek kwadratowy T z dodatnimi wartościami własnymi ma postać T = I + M z $M$ nilpotent, dojeżdżając z N , a zatem L . Ale wtedy $0 = S 2 - T 2 = 2(L - M) (ja + (L + M)/2)$ . Ponieważ $L$ i $M$ dojeżdżają do pracy, macierz $L + M$ jest nilpotentna, a $I + (L + M)/2$ jest odwracalna z odwrotnością określoną przez szereg Neumanna . Stąd $L = M$ .

Jeśli $A$ jest macierzą z dodatnimi wartościami własnymi i minimalnym wielomianem $p (t)$ , to rozkład Jordana na uogólnione przestrzenie własne $A$ można wywnioskować z częściowego rozwinięcia ułamka $p (t) -1$ . Odpowiednie rzuty na uogólnione przestrzenie własne są podane przez rzeczywiste wielomiany w $A$ . W każdej przestrzeni własnej $A$ ma postać $λ (I + N)$ jak powyżej. Wyrażenie szeregów potęgowych dla pierwiastka kwadratowego w przestrzeni własnej pokazuje, że główny pierwiastek kwadratowy z $A$ ma postać q ( A ), gdzie q ( t ) jest wielomianem o rzeczywistych współczynnikach.

Serie mocy

Przypomnij sobie formalny szereg potęgowy ${\ textstyle (1-z) ^ {\ Frac {1} {2}} = \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}} , która jest zbieżna pod warunkiem$ ‖ $\ displaystyle \|z\|\leq 1}$ (ponieważ współczynniki szeregu potęgowego są sumowalne). Podłączanie ${\ displaystyle z = IA}$ do tego wyrażenia daje

{\ Displaystyle A ^ {\ Frac {1} {2}}: = \ suma _ {n = 0} ^{\infty}(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(IA)^{n}}

pod warunkiem, że ${\ textstyle \ limsup _ {n} \ | (IA) ^ {n} \| ^ {\ frac {1}{n} <1 }$ . Na mocy wzoru Gelfanda warunek ten $D (1,1) \ subseteq \ mathbb { C} }$ równoważny wymaganiu, aby widmo było zawarte w dysku $Displaystyle$ . Ta metoda definiowania lub obliczania $jest szczególnie$ w przypadku, $półokreślona$ . W takim przypadku mamy ${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1} i$ dlatego ${\textstyle \ lewo \|\ lewo (I- {\ Frac {A} {\|A \|}} \ prawo) ^ {n} \ prawo \|\ równoważnik \ lewo \|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1} , więc$ wyrażenie ${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{\binom {1/2 }{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)} definiuje pierwiastek kwadratowy z$ A $\displaystyle A}$ , który ponadto okazuje się być unikalnym dodatnim półokreślonym pierwiastkiem. Ta metoda pozostaje aktualna do definiowania pierwiastków kwadratowych operatorów na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha lub Hilberta lub niektórych elementach algebr (C*) Banacha.

Rozwiązania iteracyjne

Przez iterację Denmana-Beaversa

Innym sposobem znalezienia pierwiastka kwadratowego z macierzy A n × n jest iteracja pierwiastka kwadratowego Denmana – Beaversa.

₀₀ Niech Y = A i Z = I , gdzie I jest macierzą identyczności n × n . Iteracja jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {k + 1} & = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (Y_ {k} + Z_ {k} ^ {- 1} \ prawej), \\ Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}}

Ponieważ wykorzystuje to parę sekwencji odwrotności macierzy, których późniejsze elementy zmieniają się stosunkowo niewiele, tylko pierwsze elementy mają wysoki koszt obliczeniowy, ponieważ resztę można obliczyć z wcześniejszych elementów za pomocą zaledwie kilku przebiegów wariantu metody Newtona do obliczania odwrotności ,

{\ Displaystyle X_ {n + 1} = 2X_ {n} -X_ {n} BX_ {n}.}

W ten sposób dla późniejszych wartości $k$ można by ustawić ${\ Displaystyle X_ {0} = Z_ {k-1} ^ {- 1}}$ i ${\ Displaystyle B = Z_ {k},},$ a następnie użyj dla jakiegoś małego $Displaystyle$ być może tylko 1) i $Z_ {k} ^ {-1} = X_ {n}}$ podobnie dla ${\ Displaystyle Y_ {k} ^ {-1}.}$

$jest$ zbieżny, macierz zbiega się kwadratowo do pierwiastka kwadratowego $ZA$ ^1/2 , podczas gdy $\ displaystyle Z_ {k}}$ zbiega się do swojej odwrotności, $A$ ^−1/2 .

metodą babilońską

₀ Jeszcze inną metodę iteracyjną uzyskuje się, biorąc dobrze znaną formułę metody babilońskiej do obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby rzeczywistej i stosując ją do macierzy. Niech X = I , gdzie I jest macierzą tożsamości . Iteracja jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle X_ {k + 1} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (X_ {k} + AX_ {k} ^ {-1} \ prawo) \,.}

$kwadratowego$ jest zbieżny, macierz zbiega się kwadratowo do pierwiastka ZA ^1/2 W porównaniu z iteracją Denmana-Beaversa zaletą metody babilońskiej jest to, że tylko jedna macierz jest odwrotna należy obliczyć dla każdego kroku iteracji. Z drugiej strony, ponieważ iteracja Denmana-Beaversa wykorzystuje parę sekwencji odwrotnych macierzy, których późniejsze elementy zmieniają się stosunkowo niewiele, tylko pierwsze elementy mają wysoki koszt obliczeniowy, ponieważ resztę można obliczyć z wcześniejszych elementów za pomocą zaledwie kilku przebiegów a wariant metody Newtona do obliczania odwrotności (patrz iteracja Denmana – Beaversa powyżej); oczywiście to samo podejście można zastosować, aby uzyskać pojedynczą sekwencję odwrotności potrzebną w metodzie babilońskiej. Jednak w przeciwieństwie do iteracji Denmana-Beaversa, metoda babilońska jest liczbowo niestabilna i istnieje większe prawdopodobieństwo, że nie osiągnie zbieżności.

Metoda babilońska wynika z metody Newtona $}$ równania i przy użyciu $\$ $Displaystyle AX_ {k} = X_ {$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k.}$

Pierwiastki kwadratowe operatorów dodatnich

W algebrze liniowej i teorii operatorów , biorąc pod uwagę ograniczony dodatni operator półokreślony (operator nieujemny) T na zespolonej przestrzeni Hilberta, B jest pierwiastkiem kwadratowym z T , jeśli T = B* B , gdzie B* oznacza sprzężenie hermitowskie z B . ^{[ potrzebne źródło ]} Zgodnie z twierdzeniem spektralnym , ciągły rachunek funkcjonalny można zastosować w celu uzyskania operatora T1 ^/2 takiego, że T1 ^{/2 samo w} sobie jest dodatnie i ( T1 ^/2 ) ² = T. Operator T ^1/2 jest unikalnym nieujemnym pierwiastkiem kwadratowym z T . ^{[ potrzebne źródło ]}

Ograniczony operator nieujemny na zespolonej przestrzeni Hilberta jest z definicji samosprzężony. Więc T = ( T ^1/2 )* T ^1/2 . I odwrotnie, trywialnie prawdą jest, że każdy operator postaci B* B jest nieujemny. Dlatego operator T jest nieujemny wtedy i tylko wtedy, gdy T = B* B dla pewnego B (równoważnie T = CC* dla pewnego C ).

Faktoryzacja Cholesky'ego stanowi kolejny szczególny przykład pierwiastka kwadratowego, którego nie należy mylić z unikalnym nieujemnym pierwiastkiem kwadratowym.

Jednolita swoboda pierwiastków kwadratowych

Jeśli T jest operatorem nieujemnym na skończonej przestrzeni Hilberta, to wszystkie pierwiastki kwadratowe z T są powiązane przez przekształcenia jednostkowe. Dokładniej, jeśli T = A*A = B*B , to istnieje takie unitarne U , że A = UB .

Rzeczywiście, weźmy B = T ^{1/2 kwadratowy z} jako jedyny nieujemny pierwiastek T . Jeśli T jest ściśle dodatnie, to B jest odwracalne, więc U = AB ⁻¹ jest jednostkowe:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U ^ {*} U & = \ lewo (\ lewo (B ^ {*} \ prawo) ^ {-1} A ^ {*} \ prawo) \ lewo (AB ^ {- 1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right) ^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{wyrównane}}}

Jeśli T jest nieujemne, ale nie jest ściśle dodatnie, to nie można zdefiniować odwrotności B , ale można zdefiniować pseudoodwrotność B ^{+ Moore'a-Penrose'a.} W takim przypadku operator B ⁺ A jest izometrią częściową , to znaczy operatorem unitarnym z zakresu T do samego siebie. Można to następnie rozszerzyć na operatora unitarnego U na całej przestrzeni, ustawiając go na równą tożsamości na jądrze T . Mówiąc bardziej ogólnie, jest to prawdą w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta, jeśli dodatkowo T ma zamknięty zakres . Ogólnie, jeśli A , B są zamkniętymi i gęsto zdefiniowanymi operatorami na przestrzeni Hilberta H , a A* A = B* B , to A = UB , gdzie U jest izometrią częściową.

Niektóre aplikacje

Pierwiastki kwadratowe i jednostkowa swoboda pierwiastków kwadratowych mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i algebrze liniowej.

Rozkład polarny

Jeśli A jest operatorem odwracalnym w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta, to istnieje unikalny operator unitarny U i operator dodatni P taki, że

{\ Displaystyle A = GÓRA;}

to jest polarny rozkład A . Operator dodatni P jest unikalnym dodatnim pierwiastkiem kwadratowym operatora dodatniego A ^∗ A , a U jest zdefiniowane przez U = AP ⁻¹ .

Jeśli A nie jest odwracalne, to nadal ma skład biegunowy, w którym P jest zdefiniowane w ten sam sposób (i jest unikalne). Operator unitarny U nie jest unikalny. Raczej możliwe jest wyznaczenie „naturalnego” operatora unitarnego w następujący sposób: AP ⁺ jest operatorem unitarnym z zakresu A do samego siebie, który można rozszerzyć o tożsamość na jądrze A ^∗ . Otrzymany operator unitarny U daje następnie polarny rozkład A .

Operatory Krausa

Według wyniku Choi, mapa liniowa

{\ Displaystyle \ Phi: C ^ {n \ razy n} \ do C ^ {m \ razy m}}

jest całkowicie dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać

{\ Displaystyle \ Phi (A) = \ suma _ {i} ^ {k} V_ {i} AV_ {i} ^ {*}}

gdzie k ≤ nm . Niech { E _pq } ⊂ C ^{n × n} będzie n ² elementarnymi jednostkami macierzowymi. Pozytywna matryca

{\ Displaystyle M _ {\ Phi} = \ lewo (\ Phi \ lewo (E_ {pq} \ prawej) \ prawej) _ {pq }\w C^{nm\razy nm}}

nazywana jest macierzą Choi Φ. Operatory Krausa odpowiadają, niekoniecznie kwadratowemu, pierwiastkowi kwadratowemu M _Φ : Dla dowolnego pierwiastka kwadratowego B z M _Φ można otrzymać rodzinę operatorów Kraus VI _przez cofnięcie operacji Vec dla każdej kolumny b _i z B . Zatem wszystkie zbiory operatorów Krausa są powiązane częściowymi izometriami.

Zespoły mieszane

W fizyce kwantowej macierz gęstości dla układu kwantowego na poziomie n jest macierzą zespoloną n × n ρ , która jest dodatnio półokreślona ze śladem 1. Jeśli ρ można wyrazić jako

{\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {i} p_ {i} v_ {i} v_ {i} ^ {*}}

gdzie ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$ i Σ p _ja = 1, zbiór

{\ Displaystyle \ lewo \ {p_ {i}, v_ {i} \ prawo \}}

mówi się, że jest zespołem opisującym stan mieszany ρ . Uwaga { v _i } nie musi być ortogonalna. Różne zespoły opisujące stan ρ są powiązane operatorami unitarnymi poprzez pierwiastki kwadratowe z ρ . Załóżmy na przykład

{\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {j} a_ {j} a_ {j} ^ {*}.}

Warunek śladu 1 oznacza

\ Displaystyle \ suma _ {j} a_ {j} ^ {*} a_ {j} = 1.}

Pozwalać

\ Displaystyle p_ {i} = a_ {i} ^ {*} a_ {i},}

a v _i będzie znormalizowanym a _i . Widzimy to

{\ Displaystyle \ lewo \ {p_ {i}, v_ {i} \ prawo \}}

daje stan mieszany ρ .

Zobacz też

Notatki

Bourbaki, Nicolas (2007), spektrale teorii, rozdziały 1 i 2 , Springer, ISBN 978-3540353317
Conway, John B. (1990), Kurs analizy funkcjonalnej , Graduate Texts in Mathematics, tom. 96, Springer, s. 199–205, ISBN 978-0387972459 , rozdział IV, rachunek funkcjonalny Reisza
Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J .; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J. (2001), „Przybliżanie logarytmu macierzy do określonej dokładności” (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 22 (4): 1112–1125, CiteSeerX 10.1.1.230.912 , doi : 10.1137/S0895479899364015 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 09.08.2011
Burleson, Donald R., Obliczanie pierwiastka kwadratowego z macierzy Markowa: wartości własne i szereg Taylora
Denman, Eugene D.; Bobry, Alex N. (1976), „Funkcja znaku macierzy i obliczenia w systemach”, Applied Mathematics and Computation , 2 (1): 63–94, doi : 10,1016 / 0096-3003 (76) 90020-5
Higham, Nicholas (2008), Funkcje macierzy. Teoria i obliczenia , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7
Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Analiza macierzy (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0-521-54823-6 .
Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Tematy analizy macierzy , Cambridge University Press, ISBN 978-0521467131
Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .