Logarytm macierzy

W matematyce logarytm macierzy jest inną macierzą , taką, że wykładniczy wykładnik tej drugiej macierzy jest równy oryginalnej macierzy. Jest to zatem uogólnienie logarytmu skalarnego iw pewnym sensie funkcja odwrotna do macierzy wykładniczej . Nie wszystkie macierze mają logarytm, a macierze, które mają logarytm, mogą mieć więcej niż jeden logarytm. Badanie logarytmów macierzy prowadzi do teorii kłamstw , ponieważ gdy macierz ma logarytm, to znajduje się w elemencie Grupa Liego i logarytm to odpowiedni element przestrzeni wektorowej algebry Liego .

Definicja

Wykładniczy macierzy A jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle e ^ {A} \ równoważnik \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {A ^ {n}} {n!}}$ }

Biorąc pod uwagę macierz B , mówi się , że inna macierz A jest logarytmem macierzowym B jeśli e ^A = B , . Ponieważ funkcja wykładnicza nie jest bijekcją dla liczb zespolonych (np. ${\ Displaystyle e ^ {\ pi i} = e ^ {3 \ pi i} = -1}$ ), liczby mogą mieć wiele logarytmów zespolonych, w wyniku czego niektóre macierze mogą mieć więcej niż jeden logarytm, jak wyjaśniono poniżej.

Wyrażenie szeregu potęgowego

Jeśli B jest wystarczająco blisko macierzy tożsamości, to logarytm B można obliczyć za pomocą następującego szeregu potęgowego:

${\ Displaystyle \ log (B) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {(-1) ^ {k + 1} {\ Frac {(BI) ^ {k}} { k}}}=(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-{\frac {(BI) ^{4}}{4}}+\cdots}$ .

W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle \ lewo \ | BI \ prawo \ | <1}$ , to poprzedni szereg jest zbieżny i ${\ displaystyle e ^ {\ log (B )}=B}$ .

Przykład: Logarytm obrotów w płaszczyźnie

Obroty w płaszczyźnie dają prosty przykład. Obrót o kąt α wokół początku układu współrzędnych jest reprezentowany przez macierz 2×2

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos (\ alfa) i - \ sin (\ alfa) \\\ sin (\ alfa) i \ cos (\ alfa) \\\ koniec {pmatrix}}.}$

Dla dowolnej liczby całkowitej n macierz

${\ Displaystyle B_ {n} = (\ alfa + 2 \ pi n) {\ początek {pmatrix} 0 i -1 \\ 1 i 0 \\\ koniec { pmatrix}},}$

jest logarytmem A.

Dowód

${\ Displaystyle \ log (A) = B_ {n} ~}$ ⇔ ${\ Displaystyle ~ ~ e ^ {B_ {n}} = A}$ ${\ Displaystyle e ^ {B_ {n}} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {1 \ ponad k!} B_ {n} ^ {k} ~}$ gdzie ${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {0} = 1 ~ I_ {2},}$ ${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {1} = (\ alfa + 2 \ pi n) {\ rozpocząć {pmatrix} 0& -1\\+1&0\\\koniec{pmacierzy}},}$ ${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {2} = (\ alfa + 2 \ pi n) ^ {2} {\ początek{pmacierz}-1&0\\0&-1\\\koniec{pmacierz}},}$ ${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {3} = (\ alfa + 2 \ pi n) ^ {3} {\ zacząć {pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}},}$ ${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {4} = (\ alfa + 2 \ pi n) ^ {4} ~ I_ {2}}$ … ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {1 \ ponad k!} B_ {n} ^ {k} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos (\ alfa) i - \ sin (\ alfa )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.}$ qed.

Zatem macierz A ma nieskończenie wiele logarytmów. Odpowiada to temu, że kąt obrotu jest określany tylko do wielokrotności 2 π .

W języku teorii Liego macierze rotacji A są elementami grupy Liego SO(2) . Odpowiednie logarytmy B są elementami algebry Liego so(2), która składa się ze wszystkich macierzy skośno-symetrycznych . Macierz

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \\\ koniec {pmatrix}}}$

jest generatorem algebry Liego so(2).

Istnienie

Pytanie, czy macierz ma logarytm, ma najłatwiejszą odpowiedź, gdy rozważa się ją w złożonym układzie. Złożona macierz ma logarytm wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna . Logarytm nie jest unikalny, ale jeśli macierz nie ma ujemnych rzeczywistych wartości własnych , to istnieje unikalny logarytm, którego wszystkie wartości własne leżą w pasku { z ∈ C | −π < Ja z < π}. Ten logarytm jest znany jako główny logarytm .

Odpowiedź jest bardziej związana z rzeczywistym otoczeniem. Macierz rzeczywista ma logarytm rzeczywisty wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna, a każdy blok Jordana należący do ujemnej wartości własnej występuje parzystą liczbę razy. Jeśli odwracalna macierz rzeczywista nie spełnia warunku z blokami Jordana, to ma tylko nierzeczywiste logarytmy. Można to już zobaczyć w przypadku skalarnym: żadna gałąź logarytmu nie może być rzeczywista przy -1. Istnienie rzeczywistych logarytmów macierzowych rzeczywistych macierzy 2 × 2 zostanie omówione w dalszej części.

Nieruchomości

Jeśli A i B są macierzami dodatnio określonymi , to

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} {\ log {(AB)}} = \ nazwa operatora {tr} {\ log {(A)}} + \ nazwa operatora {tr} {\ log {(B)}}.}$

Załóżmy, że A i B dojeżdżają do pracy, co oznacza, że ​​AB = BA . Następnie

${\ Displaystyle \ log {(AB)} = \ log {(A)} + \ log {(B)}. \,}$

wtedy i tylko wtedy, gdy $\ pi, \ pi ]}$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {arg} (\ mu _ {j}) + \ nazwa operatora {arg} (\ nu _ {j$$i$${\ Displaystyle A}$ , gdzie jest wartością własną ZA ν ${j} }}$ jest odpowiednikiem wartość własna B $\ Displaystyle B}$ . W szczególności ${\ Displaystyle \ log (AB) = \ log (A) + \ log (B)},$ gdy A i B dojeżdżają do pracy i obaj są dodatnio określony . Ustawienie B = A ⁻¹ w tym równaniu daje wyniki

${\ Displaystyle \ log {(A ^ {-1})} = - \ log {(A)}.}$

$i$ nie dojeżdżających do pracy B $\ displaystyle B}$ można to pokazać.

${\ Displaystyle \ log {(A + tB)} = \ log {(A)} + t \ int _ {0} ^ {\ infty} dz ~ {\ frac {I} {A + zI}} B {\ ułamek {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

Mówiąc bardziej ogólnie, rozwinięcie szeregowe ${\ Displaystyle \ log {(A + tB)}}$ w potęgach można uzyskać za pomocą całkowej definicji logarytmu ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ log {(X + \ lambda I)} - \ log {(X)} = \ int _ {0}^{\lambda}dz{\frac {I}{X+zI}},}$

stosowane zarówno do ${\ Displaystyle X = A}$ , jak i ${\ Displaystyle X = A + tB}$ w granicy ${\ Displaystyle \ lambda \ rightarrow \ infty}$ .

Dalszy przykład: Logarytm obrotów w przestrzeni 3D

Obrót R ∈ SO(3) w ℝ³ jest określony przez macierz ortogonalną 3×3 .

Logarytm takiej macierzy rotacji R można łatwo obliczyć z antysymetrycznej części wzoru na rotację Rodriguesa , wyraźnie w kącie osi . Daje logarytm minimalnej normy Frobeniusa , ale kończy się niepowodzeniem, gdy R ma wartości własne równe -1, gdzie nie jest to unikalne.

Ponadto zauważ, że przy danych macierzach rotacji A i B ,

${\ Displaystyle d_ {g} (A, B): = \|\ log (A ^ {\ top} B) \|_ { F}}$

jest odległością geodezyjną na trójwymiarowej rozmaitości macierzy rotacji.

Obliczanie logarytmu diagonalizowalnej macierzy

Metoda znajdowania ln A dla diagonalizowalnej macierzy A jest następująca:

Znajdź macierz V wektorów własnych A ( każda kolumna V jest wektorem własnym A ).

Znajdź odwrotność V ^-1 z V .

Niech

${\ Displaystyle A'= V ^ {-1} AV. \,}$

Wtedy A ' będzie macierzą diagonalną, której elementy diagonalne są wartościami własnymi A .

Wymień każdy przekątny elementu A′ przez jego (naturalny) logarytm w celu uzyskania ${\ Displaystyle \ log A'}$ .

Wtedy

${\ Displaystyle \ log A = V (\ log A') V ^ {-1}. \,}$

To, że logarytm z A może być macierzą zespoloną, nawet jeśli A jest rzeczywista, wynika z faktu, że macierz z wpisami rzeczywistymi i dodatnimi może mimo wszystko mieć ujemne lub nawet zespolone wartości własne (dotyczy to na przykład macierzy rotacji ). Niejednoznaczność logarytmu macierzy wynika z niejednoznaczności logarytmu liczby zespolonej.

Logarytm macierzy niediagonalizowalnej

Algorytm zilustrowany powyżej nie działa dla macierzy niediagonalizowalnych, takich jak

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Dla takich macierzy trzeba znaleźć rozkład Jordana i zamiast obliczać logarytm wpisów ukośnych, jak powyżej, należałoby obliczyć logarytm bloków Jordana .

To ostatnie osiąga się, zauważając, że blok Jordana można zapisać jako

${\ Displaystyle B = {\ rozpocząć {pmatrix} \ lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^ {-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1 }\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

gdzie K jest macierzą z zerami na i pod główną przekątną. (Liczba λ jest różna od zera przy założeniu, że macierz, której logarytm próbuje się przyjąć, jest odwracalna).

Następnie przez serię Mercator

${\ Displaystyle \ log (1 + x) = x - {\ Frac {x ^ {2}} {2}} +{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots}$

jeden dostaje

${\ Displaystyle \ log B = \ log {\ duży (} \ lambda (I + K) {\ duży)} = \ log (\ lambda I) + \ log (I + K) = (\ log \ lambda) ja +K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Szereg ten ma skończoną liczbę wyrazów ( K ^m wynosi zero, jeśli m jest wymiarem K ), więc jego suma jest dobrze zdefiniowana.

Korzystając z tego podejścia, można znaleźć

${\ Displaystyle \ log {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

Perspektywa analizy funkcjonalnej

Kwadratowa macierz reprezentuje operator liniowy w przestrzeni euklidesowej Rn ^, gdzie n jest wymiarem macierzy. Ponieważ taka przestrzeń jest skończenie wymiarowa, ten operator jest właściwie ograniczony .

Wykorzystując narzędzia holomorficznego rachunku funkcyjnego , mając holomorficzną funkcję f zdefiniowaną na zbiorze otwartym na płaszczyźnie zespolonej i ograniczony operator liniowy T , można obliczyć f ( T ), o ile f jest określone na widmie T.

Funkcję f ( z )=log z można zdefiniować na dowolnym prosto spójnym zbiorze otwartym na płaszczyźnie zespolonej niezawierającej początku i jest ona holomorficzna na takiej dziedzinie. Oznacza to, że można zdefiniować ln T , o ile widmo T nie zawiera początku i istnieje droga od początku do nieskończoności, która nie przecina widma T ( np . pochodzenia wewnątrz niego, nie da się określić ln T ).

Widmo operatora liniowego na Rn jest zbiorem wartości własnych jego macierzy, a więc jest zbiorem skończonym ^. Dopóki początek nie znajduje się w widmie (macierz jest odwracalna), warunek ścieżki z poprzedniego akapitu jest spełniony, a ln T jest dobrze określone. Niejednoznaczność logarytmu macierzowego wynika z faktu, że można wybrać więcej niż jedną gałąź logarytmu zdefiniowanego na zbiorze wartości własnych macierzy.

Perspektywa teorii grup Liego

W teorii grup Liego istnieje mapa wykładnicza od algebry Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ odpowiedniej grupy Liego G sol

${\ Displaystyle \ exp: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow G.}$

W przypadku macierzowych grup Liego elementy $,$ i G są macierzami kwadratowymi a mapa wykładnicza jest określona przez macierz wykładniczą . $.$ mapa i pokrywa się z omawianym tutaj Logarytm odwzorowuje z grupy Liego G do algebry Liego sol {\ Displaystyle $\ mathfrak {g}}}$ . Zauważ $, że mapa wykładnicza$ jest lokalnym dyfeomorfizmem między sąsiedztwem ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {1}} \ w G}$ macierzy zerowej sąsiedztwem macierzy tożsamości . Zatem logarytm (macierzowy) jest dobrze zdefiniowany jako mapa,

${\ Displaystyle \ log: G \ supset V \ rightarrow U \ podzbiór {\ mathfrak {g}}.}$

Ważnym następstwem formuły Jacobiego jest więc

${\ Displaystyle \ log (\ det (A)) = \ operatorname {tr} (\ log A) ~.}$

Ograniczenia w przypadku 2 × 2

Jeśli macierz rzeczywista 2 × 2 ma wyznacznik ujemny , to nie ma logarytmu rzeczywistego. Zauważ najpierw, że dowolną macierz rzeczywistą 2 × 2 można uznać za jeden z trzech typów liczby zespolonej z = x + y ε, gdzie ε² ∈ { −1, 0, +1 }. To z jest punktem na zespolonej podpłaszczyźnie pierścienia macierzy .

Przypadek, w którym wyznacznik jest ujemny, pojawia się tylko na płaszczyźnie z ε² = +1, czyli na płaszczyźnie liczb zespolonych . Tylko jedna ćwiartka tej płaszczyzny jest obrazem mapy wykładniczej, więc logarytm jest zdefiniowany tylko w tej ćwiartce (ćwiartce). Pozostałe trzy ćwiartki to obrazy tego jednego w ramach czterogrupy Kleina generowanej przez ε i −1.

Na przykład niech a = log 2 ; następnie cosh a = 5/4 i sinh a = 3/4. W przypadku macierzy oznacza to, że

${\ Displaystyle A = \ exp {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i a \\ a & 0 \ end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1,25&,75\\,75&1,25\ koniec {pmacierz}}}$ .

Więc ta ostatnia macierz ma logarytm

${\ Displaystyle \ log A = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i \ log 2 \\\ log 2 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$ .

Te macierze nie mają jednak logarytmu:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 3/4 i 5/4 \\ 5/4 i 3/4 \ koniec {pmatrix}}, \ {\ rozpocząć {pmatrix} -3/4 i -5/4 \\ -5/4&- 3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$ .

Reprezentują trzy inne koniugaty przez grupę czterech macierzy powyżej, która ma logarytm.

Niepojedyncza macierz 2 x 2 niekoniecznie ma logarytm, ale jest sprzężona przez grupę czterech z macierzą, która ma logarytm.

Wynika z tego również, że np. pierwiastek kwadratowy z tej macierzy A można otrzymać bezpośrednio z potęgowania (log A )/2,

${\ Displaystyle {\ sqrt {A}} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cosh ((\ log 2)/2) i \ sinh ((\ log 2)/2) \\\ sinh ((\ log 2) /2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Aby uzyskać bogatszy przykład, zacznijmy od trójki pitagorejskiej ( p,q,r ) i niech a = log( p + r ) − log q . Następnie

${\ Displaystyle e ^ {a} = {\ Frac {p + r} {q}} = \ cosh a + \ sinh a}$ .

Teraz

${\ Displaystyle \ exp {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i a \\ a & 0 \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} r /q&p/q\\p/q&r/q\end{pmacierz}}}$ .

Zatem

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {q}} {\ początek {pmatrix} r & p \\ p & r \ koniec {pmatrix}}}$

ma macierz logarytmiczną

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i a \\ a & 0 \ koniec {pmatrix}}}$ ,

gdzie za = log( p + r ) − log q .

Zobacz też

• Funkcja macierzowa
• Pierwiastek kwadratowy z macierzy
• Wykładnicza macierz
• Formuła Bakera-Campbella-Hausdorffa
• Pochodna mapy wykładniczej

Notatki

• Gantmacher, Felix R. (1959), Teoria macierzy , tom. 1, Nowy Jork: Chelsea, s. 239–241 .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations An Elementary Wprowadzenie , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
•   Culver, Walter J. (1966), „O istnieniu i wyjątkowości logarytmu rzeczywistego macierzy”, Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090 / S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN 0002-9939 .
•   Higham, Nicholas (2008), Funkcje macierzy. Teoria i obliczenia , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7 .
•    Engø, Kenth (czerwiec 2001), „O wzorze BCH w tak (3)” , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023 / A: 1021979515229 , ISSN 0006-3835 , S2CID 126053191