Grawitacja Gaussa-Bonneta

W ogólnej teorii względności grawitacja Gaussa-Bonneta , zwana także grawitacją Einsteina-Gaussa-Bonneta , jest modyfikacją działania Einsteina-Hilberta w celu uwzględnienia terminu Gaussa-Bonneta (nazwanego na cześć Carla Friedricha Gaussa i Pierre'a Osjana Bonneta )

\ Displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, G}

,

Gdzie

{\ Displaystyle G = R ^ {2} -4 R ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu} + R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }}

.

Ten termin jest nietrywialny tylko w 4+1D lub większym i jako taki ma zastosowanie tylko do modeli wielowymiarowych. W 3+1D redukuje się do topologicznego składnika powierzchniowego . Wynika to z uogólnionego twierdzenia Gaussa-Bonneta o rozmaitości 4D

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {8 \ pi ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g} }\,G=\chi (M)}

.

W niższych wymiarach identycznie znika.

Pomimo tego, że są kwadratowe w tensorze Riemanna (i tensorze Ricciego ), wyrażenia zawierające więcej niż 2 pochodne cząstkowe metryki znoszą się, czyniąc równania Eulera-Lagrange'a quasiliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi drugiego rzędu w metryce. W konsekwencji nie ma dodatkowych dynamicznych stopni swobody, jak np. f(R) grawitacja .

Wykazano również, że grawitacja Gaussa-Bonneta jest powiązana z elektrodynamiką klasyczną za pomocą całkowitej niezmienności cechowania w odniesieniu do twierdzenia Noether .

Bardziej ogólnie możemy rozważyć a

{\ Displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \ f \ lewo (G \ prawo)}

termin dla jakiejś funkcji f . Nieliniowości f czynią to sprzężenie nietrywialnym nawet w 3+1D. Dlatego terminy czwartego rzędu pojawiają się ponownie z nieliniowościami.

Zobacz też