Geometria paraboliczna (geometria różniczkowa)

W geometrii różniczkowej i badaniu grup Liego geometria paraboliczna jest przestrzenią jednorodną G / P , która jest ilorazem półprostej grupy Liego G przez paraboliczną podgrupę P. Mówiąc bardziej ogólnie, zakrzywione analogi geometrii parabolicznej w tym sensie są również nazywane geometrią paraboliczną: każda geometria modelowana na takiej przestrzeni za pomocą połączenia Cartana .

Przykłady

Przykładem jest ^przestrzeń rzutowa Pn . Jest to przestrzeń jednorodna PGL( n +1)/ H , gdzie H jest grupą izotropową linii. W tej przestrzeni geometrycznej pojęcie linii prostej ma znaczenie, ale nie ma preferowanego („afinicznego”) parametru wzdłuż linii. Zakrzywiony analog przestrzeni rzutowej jest rozmaitością, w której pojęcie geodezji ma sens, ale dla której nie ma preferowanych parametryzacji tych geodezji. Połączenie rzutowe jest odpowiednim połączeniem Cartana, które daje środki do opisu geometrii rzutowej poprzez przyklejenie kopii przestrzeni rzutowej do przestrzeni stycznych rozmaitości podstawowej. Mówiąc ogólnie, geometria rzutowa odnosi się do badania rozmaitości z tego rodzaju połączeniem.

Innym przykładem jest sfera konformalna . Topologicznie jest to n -sfera, ale nie ma na niej zdefiniowanego pojęcia długości, a jedynie kąt między krzywymi. Równoważnie, ta geometria jest opisana jako klasa równoważności metryk riemannowskich na kuli (zwana klasą konforemną). Grupą przekształceń zachowujących kąty na kuli jest grupa Lorentza O( n +1,1), a więc S ⁿ = O( n +1,1)/ P . Geometria konforemna jest, szerzej, badaniem rozmaitości z konforemną klasą równoważności metryk riemannowskich, tj. rozmaitościami wzorowanymi na sferze konforemnej. Tutaj skojarzone połączenie Cartana jest połączeniem konforemnym .

Inne przykłady obejmują:

• Q $SU (p, q) / P \ subseteq \ mathbb {C} ^ {p + q}}$$\ Displaystyle Q ^ {2 (p + q)$ -1 } $kolektor$ , gdzie jest stabilizatorem linii izotropowej (patrz CR )
• $gdzie$ badanie rozmaitości wzorowanych na $jest$ podgrupą symplektycznej stabilizującej pierwszą wektor w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

•   Czap, Andreas; Slovák, Jan (2009), Geometria paraboliczna: tło i ogólna teoria , AMS, ISBN 978-0-8218-2681-2
• Slovak, J. Parabolic Geometries , Research Lecture Notes, Part of DrSc-dissertation, Masaryk University, 1997, 70 pp, IGA Preprint 97/11 (University of Adelaide)